集合的极限

贡献者： JierPeter; lrqlrqlrq; addis

预备知识　集合，极限

1. 特征函数

　　如果我们有可数个集合构成的族 ${A_{n}}$ ，每个 $A_{n}$ 都是编了号的集合，那么对于给定的元素，我们可以观察它是否存在于各 $A_{n}$ 中。为了表达方便，我们用一个特征函数， $X$ ，来表达属于关系：对于元素 $x$ 和集合 $A_{n}$ ，当 $x \in A_{n}$ 时 $X_{A_{n}} (x) = 1$ ；当 $x \notin A_{n}$ 时 $X_{A_{n}} (x) = 0$ 。

　　有了特征函数，我们就可以套用数列的极限来讨论集合的极限。

2. 上极限和下极限

　　给定一列编好了号的集合： ${A_{n}}$ 。为了方便之后的讨论，先定义两列集合： $U_{k} = ⋃_{i \geq k} A_{i}$ ， $J_{k} = ⋂_{i \geq k} A_{i}$ 。

　　这么取的两列集合有很棒的性质：对于任何正整数 $k$ ， $U_{k + 1} \subseteq U_{k}$ ，而 $J_{k + 1} \supseteq J_{k}$ 。如果说真子集时比原来的集合要小的话，我们可以认为 $U_{k}$ 是一个单调不增的集列，而 $J_{k}$ 单调不减。这么一来，对于任何元素 $x$ ，不管 $x$ 是一个数字，一种动物，还是一片凋落在安田讲堂¹前的银杏叶，它的特征函数 $X_{U_{n}} (x)$ 单调不增，也就是说一旦某个 $U_{n}$ 不包含 $x$ ，那么任何 $m > n$ 的 $U_{m}$ 也不包含 $x$ ；同样地， $X_{J_{n}} (x)$ 单调不减，也就是说也就是说一旦某个 $J_{n}$ 包含 $x$ ，那么任何 $m > n$ 的 $J_{m}$ 也包含 $x$ 。

　　单调函数都是必然有极限的，这么一来，任给元素 $x$ ， $X_{U_{n}} (x)$ 和 $X_{J_{n}} (x)$ 都有极限。那么我们可以定义 $U_{n}$ 和 $J_{n}$ 的极限如下：

定义 1　上极限

　　给定一列编好了号的集合： ${A_{n}}$ ，令 $U_{k} = ⋃_{i \geq k} A_{i}$ 。定义 $lim_{k \to \infty} U_{k} = U$ ，其中 $U = {x | 存在无穷多个正整数 n, 使 X_{U_{n}} (x) = 1}$ 。称这个 $U$ 是集列 ${A_{n}}$ 的上极限集合（upper limit set）。

　　简单来说，某元素 $x$ 在上极限 $U$ 中，当且仅当 $x$ 在无穷多个 $A_{n}$ 中。

　　类似地有：

定义 2　下极限

　　给定一列编好了号的集合： ${A_{n}}$ ，令 $J_{k} = ⋂_{i \geq k} A_{i}$ 。定义 $lim_{k \to \infty} J_{k} = J$ ，其中 $J = {x | 存在正整数 N 使得 \forall n > N, X_{J_{n}} (x) = 1}$ 。称这个 $J$ 是集列 ${A_{n}}$ 的下极限集合（lower limit set）。

　　简单来说，某元素 $x$ 在下极限 $J$ 中，当且仅当从集合序列的某一个（比如 $A_{N}$ ）开始， $x$ 在之后的每一个 $A_{n}$ 中。也可以简单地说，只有有限个 $A_{n}$ 不包含 $x$ 。

　　如果从 $A_{n}$ 的视角来看的话，上极限 $U$ 中的元素是包含于无穷多个 $A_{n}$ 的。我们也可以记上极限为 $U = \underset{n \to \infty}{lim^{―}} A_{n}$ 。

　　下极限 $J$ 中的元素，从某个编号 $m$ 开始，包含于每一个 $n > m$ 的 $A_{n}$ 。我们也可以记下极限为 $J = \underset{n \to \infty}{lim_{―}} A_{n}$ 。

　　由定义容易得到，下极限必是上极限的子集。

上下极限的计算

　　给定一列编好了号的集合： ${A_{n}}$ ，则

\begin{matrix} (1) & \underset{n \to \infty}{lim^{―}} A_{n} = \overset{\infty}{⋂_{k = 1}} \overset{\infty}{⋃_{i = k}} A_{i} = \overset{\infty}{⋂_{k = 1}} U_{k}, \end{matrix}

类似地

\begin{matrix} (2) & \underset{n \to \infty}{lim_{―}} A_{n} = \overset{\infty}{⋃_{k = 1}} \overset{\infty}{⋂_{i = k}} A_{i} = \overset{\infty}{⋃_{k = 1}} J_{k}, \end{matrix}

这两个计算公式的依据是单调性。由于

U_{k}

单调不增，

J_{k}

单调不减，于是

\overset{N}{⋂_{k = 1}} U_{k} = U_{N}

，因此

\begin{matrix} (3) & lim_{k \to \infty} U_{k} = lim_{N \to \infty} \overset{N}{⋂_{k = 1}} U_{k} = \overset{\infty}{⋂_{k = 1}} U_{k} lim_{k \to \infty} J_{k} = lim_{N \to \infty} \overset{N}{⋃_{k = 1}} J_{k} = \overset{\infty}{⋃_{k = 1}} J_{k} . \end{matrix}

3. 极限

　　给定一列编好了号的集合： ${A_{n}}$ ，那么它的上极限和下极限总是存在的。

　　但是，如果有一个元素 $x$ 很不听话，随着 $n$ 向无穷增大， $X_{A_{n}} (x)$ 一会儿是 $1$ ，一会儿是 $0$ ，那就没法定义 ${A_{n}}$ 的极限，因为你没法说清楚这个不听话的 $x$ 究竟是不是极限集合中的元素。所以，为了良好地定义 ${A_{n}}$ 的极限，就不允许不听话的 $x$ 出现。

　　单调集列自然不存在不听话的 $x$ ，但是单调性是一个过分强的要求。为了让集列 ${A_{n}}$ 有极限，我们只需要它的上极限等于下极限： $\underset{n \to \infty}{lim^{―}} A_{n} = \underset{n \to \infty}{lim_{―}} A_{n}$ 。由于每一个 $J_{k} \subseteq U_{k}$ ，故已经必有 $\underset{n \to \infty}{lim_{―}} A_{n} \subseteq \underset{n \to \infty}{lim^{―}} A_{n}$ ，所以我们只要求 $\underset{n \to \infty}{lim^{―}} A_{n} \subseteq \underset{n \to \infty}{lim_{―}} A_{n}$ 。当 $\underset{n \to \infty}{lim^{―}} A_{n} \subseteq \underset{n \to \infty}{lim_{―}} A_{n}$ 时，上下极限相等，我们就统一把它们叫做 ${A_{n}}$ 的极限（limit set）。

1. ^ 安田讲堂是东京大学的大厅。

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