集合的极限

             

预备知识 集合,极限

1. 特征函数

   如果我们有可数个集合构成的族 $\{A_n\}$,每个 $A_n$ 都是编了号的集合,那么对于给定的元素,我们可以观察它是否存在于各 $A_n$ 中.为了表达方便,我们用一个特征函数,$\mathcal{X}$,来表达属于关系:对于元素 $x$ 和集合 $A_n$,当 $x\in A_n$ 时 $\mathcal{X}_{A_n}(x)=1$;当 $x\not\in A_n$ 时 $\mathcal{X}_{A_n}(x)=0$.

   有了特征函数,我们就可以套用数列的极限来讨论集合的极限.

2. 上极限和下极限

   给定一列编好了号的集合:$\{A_n\}$.为了方便之后的讨论,先定义两列集合:$U_k=\underset{i\ge k}{\bigcup}A_i$,$J_k=\underset{i\ge k}{\bigcap} A_i$.

   这么取的两列集合有很棒的性质:对于任何正整数 $k$,$U_{k+1}\subseteq U_k$,而 $J_{k+1}\supseteq J_k$.如果说真子集时比原来的集合要小的话,我们可以认为 $U_k$ 是一个单调不增的集列,而 $J_k$单调不减.这么一来,对于任何元素 $x$,不管 $x$ 是一个数字,一种动物,还是一片凋落在安田讲堂1前的银杏叶,它的特征函数 $\mathcal{X}_{U_n}(x)$单调不增,也就是说一旦某个 $U_n$ 不包含 $x$,那么任何 $m > n$ 的 $U_m$ 也不包含 $x$;同样地,$\mathcal{X}_{J_n}(x)$单调不减,也就是说也就是说一旦某个 $J_n$ 包含 $x$,那么任何 $m > n$ 的 $J_m$ 也包含 $x$.

   单调函数都是必然有极限的,这么一来,任给元素 $x$,$\mathcal{X}_{U_n}(x)$ 和 $\mathcal{X}_{J_n}(x)$ 都有极限.那么我们可以定义 $U_n$ 和 $J_n$ 的极限如下:

定义 1 上极限

   给定一列编好了号的集合:$\{A_n\}$,令 $U_k=\underset{i\ge k}{\bigcup} A_i$.定义 $\lim\limits_{k\to\infty} U_k=U$,其中 $U=\{x|\text{存在无穷多个正整数}n,\text{使}\mathcal{X}_{U_n}(x)=1\}$.称这个 $U$ 是集列 $\{A_n\}$ 的上极限集合(upper limit set)

   简单来说,某元素 $x$ 在上极限 $U$ 中,当且仅当 $x$ 在无穷多个$A_n$ 中.

   类似地有:

定义 2 下极限

   给定一列编好了号的集合:$\{A_n\}$,令 $J_k=\underset{i\ge k}{\bigcap} A_i$.定义 $\lim\limits_{k\to\infty} J_k=J$,其中 $J=\{x|\text{存在正整数}N\text{使得}\forall n > N, \mathcal{X}_{J_n}(x)=1\}$.称这个 $J$ 是集列 $\{A_n\}$ 的下极限集合(lower limit set)

   简单来说,某元素 $x$ 在下极限 $J$ 中,当且仅当从集合序列的某一个(比如 $A_N$)开始,$x$ 在之后的每一个$A_n$ 中.也可以简单地说,只有有限个 $A_n$ 不包含 $x$.

   如果从 $A_n$ 的视角来看的话,上极限 $U$ 中的元素是包含于无穷多个 $A_n$ 的.我们也可以记上极限为 $U=\underset{n\to \infty}{\overline{\lim}} A_n$.

   下极限 $J$ 中的元素,从某个编号 $m$ 开始,包含于每一个 $n > m$ 的 $A_n$.我们也可以记下极限为 $J=\underset{n\to \infty}{\underline{\lim}}A_n$.

上下极限的计算

   给定一列编好了号的集合:$\{A_n\}$,则

\begin{equation} \underset{n\to \infty}{\overline{\lim}} A_n = \overset {\infty}{\underset{k=1}{\bigcap}} \overset{\infty}{\underset{i=k}{\bigcup}} A_i = \overset{\infty}{\underset{k=1}{\bigcap}} U_k \end{equation}
类似地
\begin{equation} \underset{n\to \infty}{\underline{\lim}}A_n=\overset{\infty}{\underset{k=1}{\bigcup}}\overset{\infty}{\underset{i=k}{\bigcap}} A_i=\overset{\infty} {\underset{k=1}{\bigcup}} J_k \end{equation}
这两个计算公式的依据是单调性.由于 $U_k$ 单调不增,$J_k$ 单调不减,于是 $\displaystyle \overset{N}{\underset{k=1}{\bigcap}}U_k=U_N$,因此
\begin{equation} \lim_{k\to\infty}U_k=\lim\limits_{N\to\infty}\overset{N}{\underset{k=1}{\bigcap}} U_k=\overset{\infty}{\underset{k=1}{\bigcap}}U_k \qquad \lim\limits_{k\to\infty}J_k=\lim\limits_{N\to\infty}\overset{N}{\underset{k=1}{\bigcup}} J_k=\overset{\infty}{\underset{k=1}{\bigcup}} J_k \end{equation}

3. 极限

   给定一列编好了号的集合:$\{A_n\}$,那么它的上极限和下极限总是存在的.

   但是,如果有一个元素 $x$ 很不听话,随着 $n$ 向无穷增大,$\mathcal{X}_{A_n}(x)$ 一会儿是 $1$,一会儿是 $0$,那就没法定义 $\{A_n\}$ 的极限,因为你没法说清楚这个不听话的 $x$ 究竟是不是极限集合中的元素.所以,为了良好地定义 $\{A_n\}$ 的极限,就不允许不听话的 $x$ 出现.

   单调集列自然不存在不听话的 $x$,但是单调性是一个过分强的要求.为了让集列 $\{A_n\}$ 有极限,我们只需要它的上极限等于下极限:$\underset{n\to \infty}{\overline{\lim}} A_n=\underset{n\to \infty}{\underline{\lim}} A_n$.由于每一个 $J_k\subseteq U_k$,故已经必有 $\underset{n\to \infty}{\underline{\lim}} A_n\subseteq \underset{n\to \infty}{\overline{\lim}} A_n$,所以我们只要求 $\underset{n\to \infty}{\overline{\lim}}A_n\subseteq \underset{n\to \infty}{\underline{\lim}} A_n$. 当 $\underset{n\to \infty}{\overline{\lim}} A_n\subseteq \underset{n\to \infty}{\underline{\lim}} A_n$ 时,上下极限相等,我们就统一把它们叫做 $\{A_n\}$ 的极限(limit set)


1. ^ 安田讲堂是东京大学的大厅.

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