贡献者： int256
Liapunov 对于非线性的问题又提出了 “V 函数法”，又称 Liapunov 函数法、Liapunov 直接法。这个方法借助一个辅助函数直接从微分方程的动力性质研究，所以若知道这辅助函数之后研究稳定性将比较简单，只不过对于给定系统构造一个这样的函数是比较难的。
1. 函数 “符号”
定义 1
对于一个函数 $ V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 在原点 $O$ 的某一邻域内有连续的一阶偏导数，同时 $ V( \boldsymbol{\mathbf{0}} ) = 0$，定义：
- 若存在 $h>0$，当 $\Vert \boldsymbol{\mathbf{x}} \Vert < h$ 时，$V( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \ge 0$（$\le 0$），则称 $V$ 是常正（常负）函数，统称常号函数；
- 若存在 $h > 0$，当 $0 < \Vert \boldsymbol{\mathbf{x}} \Vert < h$ 时，$V( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) > 0$（$< 0$），则称 $V$ 是定正（定负）函数，统称定号函数；
- 若无论 $h > 0$ 多么小，当 $\Vert \boldsymbol{\mathbf{x}} \Vert < h$ 时，$V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 都既可以取到正值、又可以取到负值，就称 $V$ 是变号函数。
例如，$V(x_1, x_2) = (x_1 + x_2)^2$ 是常正函数，$V(x_3, x_4) = 2 x_3^2 + x_4^2$ 是定正函数，而 $V(x_5, x_6) = x_5^2 - x_6^2$ 是变号函数。
2. $V$ 函数法
考虑一个非线性定常系统
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) ~.
\end{equation}
约定 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (x)$ 在包含坐标原点的某区域 $G \subseteq \mathbb R^n$ 内有连续的一阶偏导数，且 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (0) = 0$。其中 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$，$ \boldsymbol{\mathbf{f}} = (f_1, f_2, \dots, f_n)$。
我们研究 $V$ 函数关于时间的全导数：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{V( \boldsymbol{\mathbf{x}} (t))}}{\mathrm{d}{t}} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V( \boldsymbol{\mathbf{x}} (t))}{\partial x_i} \frac{\mathrm{d}{x_i}}{\mathrm{d}{t}} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V( \boldsymbol{\mathbf{x}} (t))}{\partial x_i} f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} (t)) ~,
\end{equation}
就称
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n \frac{\partial V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )}{\partial x_i} f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) ~~
\end{equation}
是 $V$ 关于系统
式 1 对于 $t$ 的全导数。直接记
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{t}} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )}{\partial x_i} f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) ~.
\end{equation}
$V$ 函数的符号可以有一个几何解释。不妨考虑 $V$ 是定正函数，且 $V( \boldsymbol{\mathbf{0}} ) = 0$。我们可以在平面画出 $V$ 函数的 “等高线”。若此时
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{t}} < 0 ~,
\end{equation}
则沿着系统在原点附近的轨线 $\Gamma$，当 $t$ 增大时，$V$ 函数的值将严格减小，即 $\Gamma$ 将从外向内穿入层层等高线，而趋向原点；而若全导数
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{t}} > 0 ~,
\end{equation}
则当 $t$ 增大时，$V$ 函数的值将严格增大，即轨线将从内向外穿出层层等高线，而向外发散，远离原点。
根据几何意义就可以利用 $V$ 函数判别稳定性。
定理 1 $V$ 函数判断稳定性
对于系统 式 1 ，若存在一个定号函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$，使得全导数
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{t}} ~~
\end{equation}
是常号函数，且正负号与 $V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 相反或恒等于 $0$，则系统的零解是稳定的。
定理 2 $V$ 函数判断渐进稳定性
对于系统 式 1 ，若存在一个定正（负）函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$，使得全导数
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{t}} ~~
\end{equation}
是定正（负）函数，则系统的零解是渐进稳定的。
定理 3 $V$ 函数判断不稳定性
对于系统 式 1 ，若存在一个函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$，$V( \boldsymbol{\mathbf{0}} ) = 0$，使得全导数
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{t}} ~~
\end{equation}
是定正（负）函数，且在原点的任一邻域内至少有一点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$，$V( \boldsymbol{\mathbf{x}} _0) > 0$（$<0$），则系统的零解是不稳定的。
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