Liapunov 函数（稳定性直接法）

贡献者： int256

预备知识　Liapunov 稳定性（常微分方程）

　　 Liapunov 对于非线性的问题又提出了 “V 函数法”，又称 Liapunov 函数法、Liapunov 直接法。这个方法借助一个辅助函数直接从微分方程的动力性质研究，所以若知道这辅助函数之后研究稳定性将比较简单，只不过对于给定系统构造一个这样的函数是比较难的。

1. 函数 “符号”

定义 1　

　　对于一个函数 $V (x)$ 在原点 $O$ 的某一邻域内有连续的一阶偏导数，同时 $V (0) = 0$ ，定义：

若存在 $h > 0$ ，当 $‖ x ‖ < h$ 时， $V (x) \geq 0$ （ $\leq 0$ ），则称 $V$ 是常正（常负）函数，统称常号函数；
若存在 $h > 0$ ，当 $0 < ‖ x ‖ < h$ 时， $V (x) > 0$ （ $< 0$ ），则称 $V$ 是定正（定负）函数，统称定号函数；
若无论 $h > 0$ 多么小，当 $‖ x ‖ < h$ 时， $V (x)$ 都既可以取到正值、又可以取到负值，就称 $V$ 是变号函数。

　　例如， $V (x_{1}, x_{2}) = (x_{1} + x_{2})^{2}$ 是常正函数， $V (x_{3}, x_{4}) = 2 x_{3}^{2} + x_{4}^{2}$ 是定正函数，而 $V (x_{5}, x_{6}) = x_{5}^{2} - x_{6}^{2}$ 是变号函数。

2. $V$ 函数法

　　考虑一个非线性定常系统

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} x = f (x) . \end{matrix}

约定

f (x)

在包含坐标原点的某区域

G \subseteq R^{n}

内有连续的一阶偏导数，且

f (0) = 0

。其中

x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

，

f = (f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n})

。

　　我们研究 $V$ 函数关于时间的全导数：

\begin{matrix} (2) & \frac{d V (x (t))}{d t} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial V (x (t))}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial V (x (t))}{\partial x_{i}} f_{i} (x (t)), \end{matrix}

就称

\begin{matrix} (3) & \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial V (x)}{\partial x_{i}} f_{i} (x) \end{matrix}

是

V

关于系统式 1 对于

t

的全导数。直接记

\begin{matrix} (4) & \frac{d V}{d t} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial V (x)}{\partial x_{i}} f_{i} (x) . \end{matrix}

　　 $V$ 函数的符号可以有一个几何解释。不妨考虑 $V$ 是定正函数，且 $V (0) = 0$ 。我们可以在平面画出 $V$ 函数的 “等高线”。若此时

\begin{matrix} (5) & \frac{d V}{d t} < 0, \end{matrix}

则沿着系统在原点附近的轨线

Γ

，当

t

增大时，

V

函数的值将严格减小，即

Γ

将从外向内穿入层层等高线，而趋向原点；而若全导数

\begin{matrix} (6) & \frac{d V}{d t} > 0, \end{matrix}

则当

t

增大时，

V

函数的值将严格增大，即轨线将从内向外穿出层层等高线，而向外发散，远离原点。

　　根据几何意义就可以利用 $V$ 函数判别稳定性。

定理 1　 $V$ 函数判断稳定性

　　对于系统式 1 ，若存在一个定号函数 $V (x)$ ，使得全导数

\begin{matrix} (7) & \frac{d V}{d t} \end{matrix}

是常号函数，且正负号与

V (x)

相反或恒等于

0

，则系统的零解是稳定的。

定理 2　 $V$ 函数判断渐进稳定性

　　对于系统式 1 ，若存在一个定正（负）函数 $V (x)$ ，使得全导数

\begin{matrix} (8) & \frac{d V}{d t} \end{matrix}

是定正（负）函数，则系统的零解是渐进稳定的。

定理 3　 $V$ 函数判断不稳定性

　　对于系统式 1 ，若存在一个函数 $V (x)$ ， $V (0) = 0$ ，使得全导数

\begin{matrix} (9) & \frac{d V}{d t} \end{matrix}

是定正（负）函数，且在原点的任一邻域内至少有一点

x_{0}

，

V (x_{0}) > 0

（

< 0

），则系统的零解是不稳定的。

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Liapunov 函数（稳定性直接法）

1. 函数 “符号”

定义 1

2. V 函数法

定理 1 V 函数判断稳定性

定理 2 V 函数判断渐进稳定性

定理 3 V 函数判断不稳定性

定义 1　

2. $V$ 函数法

定理 1　 $V$ 函数判断稳定性

定理 2　 $V$ 函数判断渐进稳定性

定理 3　 $V$ 函数判断不稳定性