集合(公理化)

             

  • 本词条存在未完成的内容.
预备知识 集合

1. 产生原因

   通常来说,我们都采取朴素集合论的观点,认为集合是一个最基本的数学概念,不需要严格的定义.但是,罗素悖论(antinomy of Russell)使得这一观念受到挑战.罗素悖论可以叙述为:已知对于任何一个集合,都能判定自己是否属于这个集合.所以,我们可以将不属于自己的集合收集起来构成一个集合.因此就应该存在一个集合 $\mathcal{A}=\{A|A\notin A\}$,其中 $A$ 是一个集合.但是,如果认为 $\mathcal{A}\in\mathcal{A}$,那么根据定义,$\mathcal{A}\notin\mathcal{A}$;反过来,如果认为 $\mathcal{A}\notin\mathcal{A}$,根据定义又有 $\mathcal{A}\in\mathcal{A}$.这就构成一个悖论.

   罗素悖论的存在使人们认识到,朴素集合论并不像他们想象中的那么严谨.为了解决罗素悖论,人们利用公理对集合进行一系列限制,从而使得在新的公理系统中无法构造出罗素悖论中的集合.

2. ZF 公理系统

   ZF 公理系统中认为所有的元素都可以看作是集合.区分它们可以用一个简单的方法,看 “$\in$” “$\notin$” 符号,左边应看作元素,右边应看作集合.

   下面是 ZF 公理系统的全部公理1

   公理 1(外延公理) 一个集合完全由其元素决定.如果两集合所有元素相等,则这两个集合相等.

   公理 2(空集合存在公理) 存在一个集合 $\varnothing$,使得对于任何元素 $x$,$x\notin\varnothing$.

   公理 3(无序对公理) 对于任意两个集合 $x,y$,存在一个集合 $A$,使得对于任意 $w\in A$,$w=x$ 或 $w=y$.

   公理 4(并集公理)对于任意一个集合 $A$,存在一个集合 $B$ 使 $x\in B$ 当且仅当存在一个集合 $y\in A$ 使 $x\in y$.

   公理 5(幂集公理) 对任意集合 $x$,存在集合 $y$,使 $z\in y$ 当且仅当对 $z$ 的所有元素 $w$,$w\in x$.

   公理 6(无穷公理)存在一个集合 $\mathbb{N}$,使得 $\varnothing\in\mathbb{N}$,且对任意 $x\in \mathbb{N}$,$x\cup\{x\}\in\mathbb{N}$.

   把这个集合命名为 $\mathbb{N}$ 是因为根据皮亚诺公理,它就是自然数集合.

   公理 7(正则公理)对于任意非空集合 $A$,存在一个 $x\in A$ 使 $x\cap A=\varnothing$.

   接下来的公理实际上是无数条公理的结合2,被称为公理模式:

罗素悖论的解决

定理 1 

   在 ZF 公理系统中,集合 $\mathcal{A}=\{A|A\notin A\}$ 不存在.

3. 选择公理和 ZFC 公理系统

4. 连续统假设


1. ^ 由于 ZF 公理系统认定所有的元素都是集合,所以下面存在一些容易引起混淆的地方,比如集族也被称为集合.
2. ^ 一阶逻辑禁止量化谓词,所以只能算是无数条公理

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利