公理化集合论

贡献者： hfb25; addis

1. 产生原因

　　 通常来说，我们都采取朴素集合论的观点，认为集合是一个最基本的数学概念，不需要严格的定义。但是，罗素悖论（antinomy of Russell）使得这一观念受到挑战。罗素悖论可以叙述为：已知对于任何一个集合¹，都能判定自己是否属于这个集合。所以，我们可以将不属于自己的集合收集起来构成一个集合。因此就应该存在一个集合 $\mathcal{A}=\{A|A\notin A\}$，其中 $A$ 是一个集合。但是，如果认为 $\mathcal{A}\in\mathcal{A}$，那么根据定义，$\mathcal{A}\notin\mathcal{A}$；反过来，如果认为 $\mathcal{A}\notin\mathcal{A}$，根据定义又有 $\mathcal{A}\in\mathcal{A}$。这就构成一个悖论。

　　 罗素悖论有许多通俗版本：

　　 罗素悖论的存在使人们认识到，朴素集合论并不像他们想象中的那么严谨。为了解决罗素悖论，人们利用公理对集合进行一系列限制，从而使得在新的公理系统中无法构造出罗素悖论中的集合。

2. ZF 公理系统

　　 ZF 公理系统中认为所有的元素都可以看作是集合。区分它们可以用一个简单的方法，看 “$\in$” “$\notin$” 符号，左边应看作元素，右边应看作集合。

　　 下面是 ZF 公理系统的全部公理²：

　　 公理 1（外延公理） 一个集合完全由其元素决定。如果两集合所有元素相等，则这两个集合相等。

　　 公理 2（无序对公理） 对于任意两个集合 $x,y$，存在一个集合 $A$，使得对于任意 $w\in A$，$w=x$ 或 $w=y$。

　　 公理 3（并集公理）对于任意一个集合 $A$，存在一个集合 $B$ 使 $x\in B$ 当且仅当存在一个集合 $y\in A$ 使 $x\in y$。

　　 公理 4（幂集公理） 对任意集合 $x$，存在集合 $y$，使 $z\in y$ 当且仅当对 $z$ 的所有元素 $w$，$w\in x$。

　　 公理 5（无穷公理）存在一个集合 $\mathbb{N}$，使得 $\varnothing\in\mathbb{N}$，且对任意 $x\in \mathbb{N}$，$x\cup\{x\}\in\mathbb{N}$。

　　 把这个集合命名为 $\mathbb{N}$ 是因为根据皮亚诺公理，它就是自然数集合。

　　 公理 6（正则公理）对于任意非空集合 $A$，存在一个 $x\in A$ 使 $x\cap A=\varnothing$。

　　 其中 $\varnothing$ 的存在性可以利用下面的公理证明。

　　 接下来的公理实际上是无数条公理的结合³，被称为公理模式：

　　 公理 7（分离公理模式）对任意集合 $A$ 和任意对 $A$ 的元素有定义的逻辑谓词 $P(z)$，存在集合 $B$，使 $z\in B$ 当且仅当 $z\in A$ 而且 $P(z)$ 为真。

　　 也就是说，我们可以构造一个集合 $\{z\in A | P(z)\}$。

　　 公理 8（替换公理模式）对任意集合 $A$ 和任意对 $A$ 的元素有定义的（逻辑）公式 $F(z)$，存在集合 $B$，使 $y\in B$ 当且仅当存在 $z\in A$ 而且 $F(z)=y$.

罗素悖论的解决

　　 本定理是正则公理的直接推论。

　　 证明：假如这个集合存在，那么利用分离公理模式，我们可以构造所有非空集合的集合，设这个集合为 $A$，那么对任意 $x\in A$，由于存在集合 $y\in x$，故至少有 $y\in x\cap A$，也就是说 $x\cap A\neq\varnothing$。这与正则公理矛盾。证毕。

　　 留作习题。

　　 证明：如不然，利用分离公理模式可以构造一个 引理 1 所述的集合。

　　 由 定理 1 和 定理 2 可得。

3. 选择公理和 ZFC 公理系统

4. 连续统假设

1. ^ 这里把集合也看成元素。
2. ^ 由于 ZF 公理系统认定所有的元素都是集合，所以下面存在一些容易引起混淆的地方，比如集族也是集合。
3. ^ 一阶逻辑禁止量化谓词，所以只能算是无数条公理。