公理化集合论

                     

贡献者: hfb25; addis

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预备知识 集合

1. 产生原因

   通常来说,我们都采取朴素集合论的观点,认为集合是一个最基本的数学概念,不需要严格的定义.但是,罗素悖论(antinomy of Russell)使得这一观念受到挑战.罗素悖论可以叙述为:已知对于任何一个集合1,都能判定自己是否属于这个集合.所以,我们可以将不属于自己的集合收集起来构成一个集合.因此就应该存在一个集合 $\mathcal{A}=\{A|A\notin A\}$,其中 $A$ 是一个集合.但是,如果认为 $\mathcal{A}\in\mathcal{A}$,那么根据定义,$\mathcal{A}\notin\mathcal{A}$;反过来,如果认为 $\mathcal{A}\notin\mathcal{A}$,根据定义又有 $\mathcal{A}\in\mathcal{A}$.这就构成一个悖论.

   罗素悖论有许多通俗版本:

例 1 理发师悖论

   一个小镇里的理发师乐于助人,他说:“我会给所有不给自己理发的人理发.”

   请问:理发师是否可以给自己理发?

   罗素悖论的存在使人们认识到,朴素集合论并不像他们想象中的那么严谨.为了解决罗素悖论,人们利用公理对集合进行一系列限制,从而使得在新的公理系统中无法构造出罗素悖论中的集合.

2. ZF 公理系统

   ZF 公理系统中认为所有的元素都可以看作是集合.区分它们可以用一个简单的方法,看 “$\in$” “$\notin$” 符号,左边应看作元素,右边应看作集合.

   下面是 ZF 公理系统的全部公理2

   公理 1(外延公理) 一个集合完全由其元素决定.如果两集合所有元素相等,则这两个集合相等.

   公理 2(无序对公理) 对于任意两个集合 $x,y$,存在一个集合 $A$,使得对于任意 $w\in A$,$w=x$ 或 $w=y$.

   公理 3(并集公理)对于任意一个集合 $A$,存在一个集合 $B$ 使 $x\in B$ 当且仅当存在一个集合 $y\in A$ 使 $x\in y$.

   公理 4(幂集公理) 对任意集合 $x$,存在集合 $y$,使 $z\in y$ 当且仅当对 $z$ 的所有元素 $w$,$w\in x$.

   公理 5(无穷公理)存在一个集合 $\mathbb{N}$,使得 $\varnothing\in\mathbb{N}$,且对任意 $x\in \mathbb{N}$,$x\cup\{x\}\in\mathbb{N}$.

   把这个集合命名为 $\mathbb{N}$ 是因为根据皮亚诺公理,它就是自然数集合.

   公理 6(正则公理)对于任意非空集合 $A$,存在一个 $x\in A$ 使 $x\cap A=\varnothing$.

   其中 $\varnothing$ 的存在性可以利用下面的公理证明.

   接下来的公理实际上是无数条公理的结合3,被称为公理模式:

   公理 7(分离公理模式)对任意集合 $A$ 和任意对 $A$ 的元素有定义的逻辑谓词 $P(z)$,存在集合 $B$,使 $z\in B$ 当且仅当 $z\in A$ 而且 $P(z)$ 为真.

   也就是说,我们可以构造一个集合 $\{z\in A | P(z)\}$.

   公理 8(替换公理模式)对任意集合 $A$ 和任意对 $A$ 的元素有定义的(逻辑)公式 $F(z)$,存在集合 $B$,使 $y\in B$ 当且仅当存在 $z\in A$ 而且 $F(z)=y$.

罗素悖论的解决

定理 1 

   在 ZF 公理系统中,不存在所有集合的集合.

   本定理是正则公理的直接推论.

   证明:假如这个集合存在,那么利用分离公理模式,我们可以构造所有非空集合的集合,设这个集合为 $A$,那么对任意 $x\in A$,由于存在集合 $y\in x$,故至少有 $y\in x\cap A$,也就是说 $x\cap A\neq\varnothing$.这与正则公理矛盾.证毕.

引理 1 

   不存在一个集合 $A$,使得它的唯一元素为 $A$ 本身.

   留作习题.

定理 2 

   对于任何集合 $A$,$A\notin A$.

   证明:如不然,利用分离公理模式可以构造一个 引理 1 所述的集合.

定理 3 

   不存在集合 $\{A|A\notin A\}$.

   由 定理 1 定理 2 可得.

3. 选择公理和 ZFC 公理系统

4. 连续统假设


1. ^ 这里把集合也看成元素.
2. ^ 由于 ZF 公理系统认定所有的元素都是集合,所以下面存在一些容易引起混淆的地方,比如集族也是集合.
3. ^ 一阶逻辑禁止量化谓词,所以只能算是无数条公理.


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