笛卡尔积

贡献者： 欄、停敘; addis

　　 在学习平面直角坐标系（也叫笛卡尔坐标系）的时候，坐标的表示方法 $(x,y)$ 就已经深入人心，一切都是如此自然。书上介绍坐标时，应该还有一个被很多人忽略的名词，即 “有序数对”。后来，随着数学学习的深入，括号里能放的东西越来越多，但只要有逗号保持着顺序，大家就都明白括号里面对应关系的意思。本文要介绍的内容，和笛卡尔、和顺序都有关系，它只用到了集合，尽管很简单，却是数学底层的一个从无序到有序构建过程。

　　 在刚刚接触到乘法计算时，作为一个运算结果，“积” 是作为与 “乘法” 相关的概念被引入的。后来，随着对向量的学习的深入，内积和外积逐渐也成为了熟悉的概念，二者分别与点乘（$\cdot$）和叉乘（$\times$）相对应。或许，“卷积” 和 “张量积” 等概念也偶尔会出现在你的视野中。他们往往是与一个逐渐抽象的 “乘法” 相对应，说他逐渐抽象，是因为他与我们熟知的数的乘法的样子和计算方法相去甚远。而还称呼它是乘法，是因为某种程度上，它保留了乘法的一些特性。

　　 在物理上，常常会通过 “乘法” 来定义一个新的物理量，比如：功是力与位移的乘积，力矩是力与力臂的乘积，电路中功率是电流与电压的乘积（先忽略这个乘积具体的形式）等。这个新的物理量与原有的两个物理量之间都存在关系。而 “加法” 往往是在一个概念内部量的多少的计算，基本是不涉及其他概念的。

　　 数学上使用直积（direct product）来组合两个同类的已知对象，从而定义新对象，例如集合、群、模、拓扑空间等都可以进行直积运算。而作用在两个集合上的直积便称为笛卡尔积（Cartesian product）。下面会先直接给出笛卡尔积的定义，然后就定义中的 “有序对” 进行讲解。

1. 有序对

　　 现实生活中，“序” 这个概念是必不可少的，集合却偏偏有这样一个让人困惑的性质——“集合内的元素的具有无序性”。那 “序” 这个概念该如何表达呢？有序对（ordered pair）的出现就是为了能够有概念来表示两个不同元素的顺序。因此，定义时就希望这个概念能够满足下面两个性质：

1. 唯一性：每一个有序对是唯一定义的，即 $(a, b) = (c, d)\implies (a = c) \land (b = d)$。
2. 顺序性：有序对中的元素顺序是固定的，即 $a\neq b\iff(a, b)\neq (b, a)$。

　　 这样，“序” 的概念就能在表达序的想法（顺序性）的同时，保持稳定（唯一性）。注意，当两个元素相等时，就没有顺序可言了，但后面可以看到，仍然可以保留这样的记号。

　　 其中：

• 维纳对通常配合类型论使用。
• 豪斯多夫对由于使用了数字作为序的描述，如果要考虑尚未定义数的场景，或需要研究数的序时，可能会造成循环论证。
• 库拉托夫斯基对定义较为简洁，目前使用也最为广泛。下面对有序对的描述，均采取此定义。

　　 需要注意：

• 每个定义在某些具体领域（如研究集合的理论）使用时，都存在各自的局限性。
• 定义不仅限于上面三种，由于与内容关系不大，其余的没有在此给出。
• 有序对的概念针对的是集合的元素，并不局限于数集，通常听到的 “有序数组” 的概念是 “有序对” 概念的子概念。
• $(a,a)$ 会退化成 $\{\{a\}\}$（其他定义不一定会退化），但我们仍可以保证二者的对应关系，因此仍然保持 $(a,a)$ 的记号。

　　 现在，得到的有序对能够比较好地描述之前提到的特性，下面以唯一性举例。

　　 这样，通过在无序的集合中，构造具有不同特点的子集，实现了有序的概念。这种方法在涉及到集合的构造（如自然数的构建等）时会经常使用。有序对的概念在关系、函数、拓扑等领域都有应用。

2. 笛卡尔积

　　 现在，根据定义 1 就可以使用笛卡尔积得到新集合了。比如：

• 若记掷一次骰子的结果为 $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，则掷两次骰子的结果集就可以表示为 $A\times A$。
• 若记一条直线为 ${\mathbb R}$，则由两条相交直线张成的平面就是 ${\mathbb R}\times{\mathbb R}$，通常也写作 ${\mathbb R}^2$。

　　 可以看出，当前笛卡尔积的结果是对应两个集合的。就像推广乘法到连乘一样，如果想要求解 3 个或者到 n 个集合的笛卡尔积，为了能够让他符合直观猜想的样子 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$，可以通过递归的方法来将有序对的概念扩展到更多的元，例如：三元组可以定义为有序对的有序对 $(a, b, c) := ((a, b), c)$。因此，将有序对的概念推广到任意有序 $n$ 元组，记作：

1. ^ 参考 Wikipedia