笛卡尔积

                     

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预备知识 集合的基数

   在学习平面直角坐标系(也叫笛卡尔坐标系)的时候,坐标的表示方法 $(x,y)$ 就已经深入人心,一切都是如此自然。书上介绍坐标时,应该还有一个被很多人忽略的名词,即 “有序数对”。后来,随着数学学习的深入,括号里能放的东西越来越多,但只要有逗号保持着顺序,大家就都明白括号里面对应关系的意思。本文要介绍的内容,和笛卡尔、和顺序都有关系,它只用到了集合,尽管很简单,却是数学底层的一个从无序到有序构建过程。

   在刚刚接触到乘法计算时,作为一个运算结果,“积” 是作为与 “乘法” 相关的概念被引入的。后来,随着对向量的学习的深入,内积和外积逐渐也成为了熟悉的概念,二者分别与点乘($\cdot$)和叉乘($\times$)相对应。或许,“卷积” 和 “张量积” 等概念也偶尔会出现在你的视野中。他们往往是与一个逐渐抽象的 “乘法” 相对应,说他逐渐抽象,是因为他与我们熟知的数的乘法的样子和计算方法相去甚远。而还称呼它是乘法,是因为某种程度上,它保留了乘法的一些特性。

   在物理上,常常会通过 “乘法” 来定义一个新的物理量,比如:功是力与位移的乘积,力矩是力与力臂的乘积,电路中功率是电流与电压的乘积(先忽略这个乘积具体的形式)等。这个新的物理量与原有的两个物理量之间都存在关系。而 “加法” 往往是在一个概念内部量的多少的计算,基本是不涉及其他概念的。

   数学上使用直积(direct product)来组合两个同类的已知对象,从而定义新对象,例如集合、群、模、拓扑空间等都可以进行直积运算。而作用在两个集合上的直积便称为笛卡尔积(Cartesian product)。下面会先直接给出笛卡尔积的定义,然后就定义中的"有序对"进行讲解。

定义 1 笛卡尔积

   从集合 $X,Y$ 中各取出一个元素 $x,y$ 形成的有序对的集合,称作笛卡尔积

\begin{equation} X\times Y:=\{(x,y)|x\in X,y\in Y\}~. \end{equation}

1. 有序对

   现实生活中,“序” 这个概念是必不可少的,集合却偏偏有这样一个让人困惑的性质——“集合内的元素的具有无序性”。那 “序” 这个概念该如何表达呢?有序对(ordered pair)的出现就是为了能够有概念来表示两个不同元素的顺序。因此,定义时就希望这个概念能够满足下面两个性质:

  1. 唯一性:每一个有序对是唯一定义的,即 $(a, b) = (c, d)\implies (a = c) \land (b = d)$。
  2. 顺序性:有序对中的元素顺序是固定的,即 $a\neq b\iff(a, b)\neq (b, a)$。

   这样,“序” 的概念就能在表达序的想法(顺序性)的同时,保持稳定(唯一性)。注意,当两个元素相等时,就没有顺序可言了,但后面可以看到,仍然可以保留这样的记号。

定义 2 有序对

   有序对有以下几种常见的定义方法1

  • 维纳对(Wiener pair,1914 年):$(a, b):= \{\{\emptyset,\{ a\}\}, \{\{b\}\}\} $
  • 豪斯多夫对(Hausdorff Pair,1914 年):$ (a, b):= \{\{a, 1\}, \{b, 2\}\} $
  • 库拉托夫斯基对(Kuratoswki pair,1921 年)$(a, b) := \{\{a\}, \{a, b\}\}$

   其中:

   需要注意:

   现在,得到的有序对能够比较好地描述之前提到的特性,下面以唯一性举例。

例 1 唯一性证明

   根据定义有 $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\} , (c, d) = \{\{c\}, \{c, d\}\} $,若 $(a, b)=(c,d)$,即 $\{\{a\}, \{a, b\}\}=\{\{c\}, \{c, d\}\}$,则根据集合相等的定义,且 ${\rm card}(\{a\})=1$,必有 $\{a\}=\{c\},\{a, b\}=\{c, d\}$。继续根据集合相等,有 $a=c$,进而有 $b=d$。

   证毕。

   这样,通过在无序的集合中,构造具有不同特点的子集,实现了有序的概念。这种方法在涉及到集合的构造(如自然数的构建等)时会经常使用。有序对的概念在关系、函数、拓扑等领域都有应用。

2. 笛卡尔积

   现在,根据定义 1 就可以使用笛卡尔积得到新集合了。比如:

   可以看出,当前笛卡尔积的结果是对应两个集合的。就像推广乘法到连乘一样,如果想要求解 3 个或者到 n 个集合的笛卡尔积,为了能够让他符合直观猜想的样子 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$,可以通过递归的方法来将有序对的概念扩展到更多的元,例如:三元组可以定义为有序对的有序对 $(a, b, c) := ((a, b), c)$。因此,将有序对的概念推广到任意有序 $n$ 元组,记作:

\begin{equation} (a_1, a_2, \ldots, a_n) := ((a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}), a_n)~. \end{equation}
进而,笛卡尔积也可以推广到 $n$ 元:

定义 3 n 元笛卡尔积

   对于 $n$ 个集合 $A_1, A_2, \ldots, A_n$,其笛卡尔积定义为:

\begin{equation} A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(a_1, a_2, \ldots, a_n) \mid \forall i,a_i \in A_i \} ~. \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia


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