无穷的概念

             

预备知识 映射

   显然由于空集不含任何元素,$|\varnothing|=0$. 对两个集合求并集时,由于相同元素不重复计数,所以对于集合 $A$ 和 $B$,我们有不等式:$|A\cap B|\leqslant|A|+|B|$.

   不同的集合有可能有一样多的元素,这个时候它们的基数相等.对于无穷集合,我们没法一个个数出集合中的元素,所以靠数元素数目是没法研究无穷集合的基数的.康托尔(Cantor)注意到,可以通过将两个集合的元素一一对应,从而比较集合的大小.能够建立双射的集合彼此大小一样,也就是说基数一样;对于集合 $A$ 和 $B$,如果 $A$ 到 $B$ 只能建立单射而无法建立满射,那么就认为 $A$ 的基数严格小于 $B$ 的基数;反之,如果 $B$ 到 $A$ 可以建立满射但不能建立双射,那么就认为 $B$ 的基数严格大于 $A$ 的基数.由 Cantor-Bernstein 定理,这两个关于严格大于和小于的判断是等价的.

   对于有限集合 $A$,$|A|=n$,这里 $n$ 是某个非负整数.显然,如果 $A$ 和 $B$ 都是有限集合,那么它们的基数之间的大小关系和对应的 $n$ 的大小关系是一致的.

   无限集合分为可数集(countable set)不可数集(uncountable set).对于有限集合,如果 $A$ 是 $B$ 的真子集,那么 $|A| < |B|$ 严格成立;但是如果 $A$ 是 $B$ 的真子集且 $A$ 是无穷集合,那么我们最多只能认为 $|A|\leqslant|B|$.

   可数集是指大小和整数集 $\mathbb{Z}$ 相同的集合,也就是说,可以和全体整数进行一一对应.比如,全体偶数的集合 $2\mathbb{Z}$ 就是一个可数集,只需要令映射 $f\rightarrow \mathbb{Z}=2\mathbb{Z}$ 满足对于任何 $\mathbb{Z}$ 中的元素 $n$,$f(n)=2n$ 就可以.由于全体整数的数量和全体非负整数的数量一样,可数集里的元素和非负整数也可以建立双射,这样我们就可以按照双射的连接 “挨个数出” 可数集里的元素,这就是可数集名称的来源.有理数集是可数的,但无理数集和实数集是不可数的.

   可数集是最小的一类无穷集合,也就是说,任何无穷集合都可以满射到可数集上.

   不可数集是指无法和可数集建立双射的无穷集合,它们都严格大于可数集.由 Cantor 定理可知,对于任何集合(不论有限无限)$A$,$|A| < |2^A|$1严格成立.我们把可数集的基数记为 $\aleph_0$;如果集合 $A$ 的基数为 $\aleph_n$,那么定义 $|2^A|=\aleph_{n+1}$.实数集的基数被定义为 $\aleph$,利用 Cantor-Bernstein 定理可以证明 $\aleph=\aleph_1$.

   集合论中的基本难题,连续统假设,猜测在 $\aleph_0$ 和 $\aleph$ 之间没有别的无穷基数,即不存在一个集合,严格大于整数集而又严格小于实数集.很不幸的是,连续统假设对于目前公认的集合论公理系统(ZFC 公理)是一个独立命题,即无法证明.


1. ^ $2^A$ 指 $A$ 的全体子集构成的集合,称作 $A$ 的幂集.至于为什么用这个表示方法,请参考

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