二次变分

贡献者：零穹

预备知识　变分

　　在数学分析中，一次（或阶）微分为 0 是函数取极值的必要条件，为了获得极值是极大值或极小值的信息，可以研究二次微分。同样的，在泛函中，一次变分为 0 是泛函取极值的必要条件，而研究二次变分可以获得极值是极大值或极小值的信息。

　　泛函 $J (y) = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x$ 的二次变分 $δ^{2} J$ 是指

\begin{matrix} (1) & δ^{2} J = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} (F_{y y} δ y^{2} + 2 F_{y y^{'}} δ y δ y^{'} + F_{y^{'} y^{'}} δ y^{' 2}) d x . \end{matrix}

1. 二次变分的引入

　　设

\begin{matrix} (2) & J (y) = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x \end{matrix}

为定义在有固定端点的

C_{1}

类曲线上的泛函。

　　应用泰勒公式并引用符号式 17

\begin{matrix} (3) & δ y (x) = \overset{―}{y} (x) - y (x) . \end{matrix}

此处

δ y (a) = δ y (b) = 0

。则

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} J (\overset{―}{y}) - J (y) & = \int_{a}^{b} [F (x, \overset{―}{y}, {\overset{―}{y}}^{'}) - F (x, y, y^{'})] d x \\ = \int_{a}^{b} [F_{y}^{'} δ y + F_{y^{'}}^{'} δ y^{'} + \frac{1}{2} ({\tilde{F}}_{y y}^{″} δ y^{2} + 2 {\tilde{F}}_{y y^{'}}^{″} δ y δ y^{'} + {\tilde{F}}_{y^{'} y^{'}}^{″} δ y^{' 2})] d x . \end{aligned} \end{matrix}

其中，

{\tilde{F}}_{y y} = F_{y y} (x, y + θ_{1} δ y, y^{'} + θ_{2} δ y^{'}), (| θ_{1} |, | θ_{2} | \leq 1)

，

{\tilde{F}}_{y y}, F_{y y^{'}}, F_{y^{'} y^{'}}

类似。由于

F

对其变量二阶连续，当一级距离定义 2

r (\overset{―}{y}, y)

充分小时，就有

\begin{matrix} (5) & {\tilde{F}}_{y y} = F_{y y} + ϵ_{1}, {\tilde{F}}_{y y^{'}} = F_{y y^{'}} + ϵ_{2}, {\tilde{F}}_{y y} = F_{y^{'} y^{'}} + ϵ_{3}, \end{matrix}

其中

ϵ_{1}, ϵ_{2}, ϵ_{3}

随

r (\overset{―}{y}, y)

趋于零。所以

\begin{matrix} (6) & J (\overset{―}{y}) - J (y) = \int_{a}^{b} (F_{y}^{'} δ y + F_{y^{'}}^{'} δ y^{'}) d x + \frac{1}{2} \int_{a}^{b} (F_{y y}^{″} δ y^{2} + 2 F_{y y^{'}}^{″} δ y δ y^{'} + F_{y^{'} y^{'}}^{″} δ y^{' 2}) d x + ϵ . \end{matrix}

其中，

ϵ = \int_{a}^{b} (ϵ_{1} δ y^{2} + 2 ϵ_{2} δ y δ y^{'} + ϵ_{3} δ y^{' 2}) d x

。因为

| 2 δ y δ y^{'} | \leq δ y^{2} + δ y^{' 2}

，所以

| ϵ | \leq \int_{a}^{b} (ϵ_{3} δ y^{2} + ϵ_{5} δ y^{' 2}) d x

，其中

ϵ_{3}, ϵ_{4}

随

r (\overset{―}{y}, y)

而一致趋于 0.但是

\begin{matrix} (7) & | δ y | \leq r (\overset{―}{y}, y), | δ y^{'} | \leq r (\overset{―}{y}, y) . \end{matrix}

因此，

| ϵ | \leq (ϵ_{4} + ϵ_{5}) (b - a) r (\overset{―}{y}, y)^{2}

。从而可见，

ϵ

是比

r (\overset{―}{y}, y)

更高阶的无穷小。式 6 中略去这一项，就有

\begin{matrix} (8) & J (\overset{―}{y}) - J (y) \approx δ J + δ^{2} J . \end{matrix}

其中，

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} δ J = \int_{a}^{b} (F_{y}^{'} δ y + F_{y^{'}}^{'} δ y^{'}) d x, \\ δ^{2} J = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} (F_{y y}^{″} δ y^{2} + 2 F_{y y^{'}}^{″} δ y δ y^{'} + F_{y^{'} y^{'}}^{″} δ y^{' 2}) d x . \end{aligned} \end{matrix}

与二阶微分类似，

δ^{2} J

被称为二次（阶）变分。

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