二次变分

                     

贡献者: 零穹

预备知识 变分

   在数学分析中,一次(或阶)微分为 0 是函数取极值的必要条件,为了获得极值是极大值或极小值的信息,可以研究二次微分.同样的,在泛函中,一次变分为 0 是泛函取极值的必要条件,而研究二次变分可以获得极值是极大值或极小值的信息.

   泛函 $J(y)=\int_a^bF(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} $ 的二次变分 $\delta^2J$ 是指

\begin{equation} \delta^2J=\frac{1}{2}\int_a^b(F_{yy}\delta y^2+2F_{yy'}\delta y\delta y'+F_{y'y'}\delta y'^2) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

1. 二次变分的引入

   设

\begin{equation} J(y)=\int_a^bF(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
为定义在有固定端点的 $C_1$ 类曲线上的泛函.

   应用泰勒公式并引用符号式 17

\begin{equation} \delta y(x)=\overline{y}(x)-y(x) \end{equation}
此处 $\delta y(a)=\delta y(b)=0$.则
\begin{equation} \begin{aligned} J(\overline{y})-J(y)&=\int_a^b[F(x,\overline{y},\overline{y}')-F(x,y,y')] \,\mathrm{d}{x} \\ &=\int_a^b \left[F'_y\delta y+F'_{y'}\delta y'+\frac{1}{2} \left(\tilde{F}''_{yy}\delta y^2+2\tilde{F}''_{yy'}\delta y\delta y'+\tilde{F}''_{y'y'}\delta y'^2 \right) \right] \,\mathrm{d}{x} \end{aligned} \end{equation}
其中,$\tilde{F}_{yy}=F_{yy}(x,y+\theta_1\delta y,y'+\theta_2\delta y'),\;( \left\lvert \theta_1 \right\rvert , \left\lvert \theta_2 \right\rvert \leq1)$,$\tilde{F}_{yy},F_{yy'},F_{y'y'}$ 类似.由于 $F$ 对其变量二阶连续,当一级距离定义 2 $r(\overline{y},y)$ 充分小时,就有
\begin{equation} \tilde F_{yy}=F_{yy}+\epsilon_1,\tilde F_{yy'}=F_{yy'}+\epsilon_2,\tilde F_{yy}=F_{y'y'}+\epsilon_3 \end{equation}
其中 $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3$ 随 $r(\overline{y},y)$ 趋于零.所以
\begin{equation} J(\overline{y})-J(y)=\int_a^b(F'_y\delta y+F'_{y'}\delta y') \,\mathrm{d}{x} +\frac{1}{2}\int_a^b(F''_{yy}\delta y^2+2F''_{yy'}\delta y\delta y'+F''_{y'y'}\delta y'^2) \,\mathrm{d}{x} +\epsilon \end{equation}
其中,$\epsilon=\int_a^b(\epsilon_1\delta y^2+2\epsilon_2\delta y\delta y'+\epsilon_3\delta y'^2) \,\mathrm{d}{x} $ .因为 $ \left\lvert 2\delta y\delta y' \right\rvert \leq \delta y^2+\delta y'^2$,所以 $ \left\lvert \epsilon \right\rvert \leq \int_a^b(\epsilon_3\delta y^2+\epsilon_5\delta y'^2) \,\mathrm{d}{x} $,其中 $\epsilon_3,\epsilon_4$ 随 $r(\overline{y},y)$ 而一致趋于 0.但是
\begin{equation} \left\lvert \delta y \right\rvert \leq r(\overline{y},y),\quad \left\lvert \delta y' \right\rvert \leq r(\overline{y},y) \end{equation}
因此,$ \left\lvert \epsilon \right\rvert \leq (\epsilon_4+\epsilon_5)(b-a)r(\overline{y},y)^2$.从而可见,$\epsilon$ 是比 $r(\overline{y},y)$ 更高阶的无穷小.式 6 中略去这一项,就有
\begin{equation} J(\overline{y})-J(y)\approx\delta J+\delta^2J \end{equation}
其中,
\begin{equation} \begin{aligned} &\delta J=\int_a^b(F'_y\delta y+F'_{y'}\delta y') \,\mathrm{d}{x} \\ &\delta^2 J=\frac{1}{2}\int_a^b(F''_{yy}\delta y^2+2F''_{yy'}\delta y\delta y'+F''_{y'y'}\delta y'^2) \,\mathrm{d}{x} \end{aligned} \end{equation}
与二阶微分类似,$\delta^2J$ 被称为二次(阶)变分


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