贡献者： _Eden_
约定使用东海岸度规 $\eta_{\mu\nu}=\rm{diag}(-1,1,1,1)$ 和自然单位制 $c=1$。本文对于重复出现在上指标和下指标的希腊字母 $\mu,\nu,\rho,\sigma$ 等采用爱因斯坦求和约定，例如
\begin{equation}
A_\mu B^{\mu\nu}\rightarrow \sum_{\mu=0,1,2,3}A_\mu B^{\mu\nu} ~.
\end{equation}
1. 不变距离与光速不变原理
不变距离与度规
在狭义相对论中，两个事件之间的 $ \,\mathrm{d}{s} ^2= \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{x} ^2- \,\mathrm{d}{y} ^2- \,\mathrm{d}{z} ^2$ 为不变距离，即在任何惯性参考系下 $ \,\mathrm{d}{s} =\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}$ 都是不变的量，$\eta_{\mu\nu}$ 为闵氏时空的度规。在欧式时空中，度规为对角矩阵 $\mathrm{diag}(1,\cdots,1)$ 代表任意两点之间的欧式距离可以用 $\sqrt{\sum_i x_i^2}$ 来计算。闵氏时空的度规为 $\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$，闵氏时空的时空维数为 $d=4$，其中时间维度为 $s=1$ 为度规场正则形式中 $-1$ 的数量，空间维数 $d-s=3$ 为 $+1$ 的数量，这种形式的度规场被称为洛伦兹度规。定义
\begin{equation}
A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu~.
\end{equation}
为四矢量 $A^\mu$ 的指标下降后得到的矢量，它被叫做是
逆变矢量。那么不变距离可以写为 $ \,\mathrm{d}{s} =\sqrt{- \,\mathrm{d}{x} _\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu}$。洛伦兹对称性要求任意两个四矢量 $A^\mu, B^\mu$ 的 “内积”
\begin{equation}
\eta_{\mu\nu} A^\mu B^\nu~.
\end{equation}
是洛伦兹不变的。
有的时候也会采用另一种号差规定，被称为西海岸度规：$g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$，这时不变距离就可以写作 $ \,\mathrm{d}{s} = \sqrt{g_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}$。在西海岸度规的号差约定下，四矢量的上升下降指标的定义也要相应地发生变化。
光速不变原理与因果律
考虑在惯性系 $S_1$ 中，从 $(t_1, \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)$ 发射一束光，运动到 $(t_2, \boldsymbol{\mathbf{x}} _2)$。由于是光速，$\Delta t=\Delta \boldsymbol{\mathbf{x}} $，所以两点之间的不变距离为 $ \,\mathrm{d}{s} =\sqrt{(t_2-t_1)^2-| \boldsymbol{\mathbf{x}} _2- \boldsymbol{\mathbf{x}} _1|^2)}=0$。那么如果参考系变换到 $S_2$，两个事件的时空坐标变为 $x'_1,x'_2$，$ \,\mathrm{d}{s} $ 仍然要保持不变，即 $ \,\mathrm{d}{s} =\sqrt{(t'_2-t'_1)^2-| \boldsymbol{\mathbf{x}} '_2- \boldsymbol{\mathbf{x}} '_1|^2)}=0$，所以在新的惯性系中，光从 $(t'_1, \boldsymbol{\mathbf{x}} '_1)$ 传播到 $(t'_2, \boldsymbol{\mathbf{x}} '_2)$ 的速度仍然是光速 $c=1$（自然单位制），这就是光速不变原理。
在世界线和固有时中提到了，如果曲线上的任意一点都有 $\eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu<0$，那么曲线是类时的。
如果曲线上的任意一点都有 $\eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu>0$，那么曲线是类空的。如果曲线上的任意一点都有 $\eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu=0$，即粒子总是以光速运动，这样的世界线被称为类光的。由于在洛伦兹变换下两个四矢量的内积是洛伦兹不变的量，所以曲线的类空、类时、类光性质在任意惯性参考系中都是不变的，这使得任意两个事件之间的因果关系不会因为参考系变换而发生变化。
在狭义相对论中，因果律可以表述为：信息的传播速度一定是不超过光速的。那么如果事件 $A$ 发生了，并以某种方式影响了事件 $B$ 的发生，那么这一影响从 $A$ 传播到 $B$ 的速度一定是不超过光速的，即 $-\eta_{\mu\nu} (x_B-x_A)^\mu (x_B-x_A)^\nu = (t_B-t_A)^2-( \boldsymbol{\mathbf{x}} _B- \boldsymbol{\mathbf{x}} _A)^2>0$，$B$ 在 $A$ 的类时区域。那么在另一个惯性系中 $\eta_{\mu\nu} (x_B-x_A)^\mu (x_B-x_A)^\nu$ 在洛伦兹变换后保持不变，$B'$ 仍然在 $A'$ 的类时区域中，因此在狭义相对论的框架内，不可能出现违背因果律的物理现象。
2. 洛伦兹对称性
洛伦兹变换是一个线性变换，将四矢量在洛伦兹变换下的行为表示为一个矩阵 $\Lambda^\mu{}_\nu $ 的形式，那么在洛伦兹变换下，
\begin{equation}
V^\mu \rightarrow {V'}^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu V^\nu~.
\end{equation}
${V'}^\mu$ 为新的惯性系 $S'$ 中相对应的四矢量。
$\eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu$ 在洛伦兹变换 $V\rightarrow {V'}^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu V^\nu$ 下保持不变，这意味着
\begin{equation}
\begin{aligned}
\eta_{\mu\nu } V^\mu V^\nu &= \eta_{\mu\nu }{V'}^\mu {V'}^\nu ~,
\\
&=\eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu{}_{\rho}V^{\rho} \Lambda^\nu{}_{\sigma} V^{\sigma}
~.\\
\Rightarrow \eta_{\rho\sigma}&=\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\rho}\Lambda^{\nu}{}_{\sigma}
\end{aligned}
\end{equation}
写成矩阵形式就是
\begin{equation}
[\Lambda^T][\eta][\Lambda] = [\eta]~.
\end{equation}
所有满足上式的 $\Lambda$ 的集合就是洛伦兹群，可以比较上式与
式 10 ，都是洛伦兹群的定义方式。这里在东海岸度规 $\eta=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ 下，可以写出几种简单的 $\Lambda$ 矩阵，代表几种典型的洛伦兹变换：
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \begin{pmatrix}
1& & & \\
&\cos\theta&-\sin\theta& \\
&\sin\theta&\cos\theta& \\
& & & 1
\end{pmatrix} ,\quad
\begin{pmatrix}
1& & & \\
&\cos\theta& &\sin\theta\\
& &1& \\
&-\sin\theta& &\cos\theta
\end{pmatrix} ,\quad
\begin{pmatrix}
1& & & \\
&1& & \\
& &\cos\theta&-\sin\theta\\
& &\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}
~,\\
& \begin{pmatrix}
\cosh \eta&\sinh\eta& & \\
\sinh\eta &\cosh\eta& &\\
& &1&\\
& & &1
\end{pmatrix} ,\quad
\begin{pmatrix}
\cosh \eta&&\sinh\eta& \\
&1& &\\
\sinh\eta &&\cosh\eta&\\
& & &1
\end{pmatrix} ,\quad
\begin{pmatrix}
\cosh \eta&&&\sinh\eta\\
&1& &\\
&&1&\\
\sinh\eta &&&\cosh\eta&\\
\end{pmatrix}
~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中第一行代表绕 $x,y,z$ 轴转动 $\theta$ 角的参考系变换，第二行是沿 $x,y,z$ 轴的
推促变换。以沿 $x$ 轴方向的推促为例，
\begin{equation}
x'=x\cosh\eta + t\sinh\eta,\quad t'=t\cosh\eta+x\sinh\eta~.
\end{equation}
取 $\cosh\eta = 1/\sqrt{1-v^2},\sinh\eta = v/\sqrt{1-v^2}$，那么
\begin{equation}
x'=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}(x-v t)~,\quad t'=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}(t-vx)
\end{equation}
这就是洛伦兹变换的一维形式，参考系变换到 $S'$，相对于 $S$ 的速度为 $v$。这里采用了自然单位制 $c=1$，要求 $|v|< 1$ 使得上面的公式良定义。在国际单位制下，洛伦兹变换的公式为
\begin{equation}
x'=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}(x-v t)~,\quad t'=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}(t-vx/c^2)
\end{equation}
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