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约定使用东海岸度规 $\eta_{\mu\nu}=\rm{diag}(-1,1,1,1)$ 和自然单位制 $c=1$。
1. 四速度、四动量、四加速度
为了计算的方便，我们可以定义一系列四矢量，它们在洛伦兹变换下都是协变的，即与 $x'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$ 的变换规则相同1。
定义 1 四速度
有质量粒子的世界线 $x^\mu(\tau)$ 是类时的，$\tau$ 为固有时2。那么可以定义其四速度为
\begin{equation}
u^\mu = \frac{\mathrm{d}{x^\mu(\tau)}}{\mathrm{d}{\tau}}
\end{equation}
根据固有时的定义
3，$u^\mu u_\mu = -1$。
粒子的四速度总是满足 $u^\mu u_\mu = -1$，因此 $ \,\mathrm{d}{s} = \,\mathrm{d}{\tau} \sqrt{- u^\mu u_\mu} = \,\mathrm{d}{\tau} $ 就是世界线上的时空间隔。
定义 2 四动量
定义 $\hat p=m\hat u$，其中 $m$ 为粒子的静质量。那么
\begin{equation}
p^\mu = m u^\mu = (E, \boldsymbol{\mathbf{P}} )
\end{equation}
设粒子的运动速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，那么粒子的四速度为 $(\gamma_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} },\gamma_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} } \boldsymbol{\mathbf{v}} )$，四动量为 $(m\gamma_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }, m\gamma_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} } \boldsymbol{\mathbf{v}} )=(E, \boldsymbol{\mathbf{P}} )$。由此可以看到
\begin{equation}
E^2-| \boldsymbol{\mathbf{P}} |^2=-p^\mu p_\mu=-m^2 u^\mu u_\mu = m^2
\end{equation}
这就是著名的爱因斯坦
质能关系。如果取消自然单位制回归国际单位制（带上 $c$），那么上式改写为 $E^2-| \boldsymbol{\mathbf{P}} |^2c^2=m^2c^4$，且容易证明在非相对论近似（$v\ll c$）下，$ \boldsymbol{\mathbf{P}} \approx m \boldsymbol{\mathbf{v}} ,\ E\approx mc^2+\frac{1}{2}mv^2$。
而在相对于粒子精止的参考系（被称为
共动参考系）中，
\begin{equation}
E=mc^2
\end{equation}
最后可以定义四加速度。
定义 3 四加速度
\begin{equation}
a^\mu = \frac{\mathrm{d}{u^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}}
\end{equation}
它与我们通常所定义的加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} } / \,\mathrm{d}{t} $ 不同，但这种定义的好处是它满足洛伦兹协变性。
1. ^ 参考时空的四维表示。
2. ^ 参考世界线和固有时。
3. ^ 参考世界线和固有时。
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