狭义相对论的运动学(有质量粒子)

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 世界线和固有时

   约定使用东海岸度规 $\eta_{\mu\nu}=\rm{diag}(-1,1,1,1)$ 和自然单位制 $c=1$。

1. 四速度、四动量、四加速度

   为了计算的方便,我们可以定义一系列四矢量,它们在洛伦兹变换下都是协变的,即与 $x'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$ 的变换规则相同1

定义 1 四速度

   有质量粒子的世界线 $x^\mu(\tau)$ 是类时的,$\tau$ 为固有时2。那么可以定义其四速度为

\begin{equation} u^\mu = \frac{\mathrm{d}{x^\mu(\tau)}}{\mathrm{d}{\tau}} ~. \end{equation}
根据固有时的定义3,$u^\mu u_\mu = -1$。

   粒子的四速度总是满足 $u^\mu u_\mu = -1$,因此 $ \,\mathrm{d}{s} = \,\mathrm{d}{\tau} \sqrt{- u^\mu u_\mu} = \,\mathrm{d}{\tau} $ 就是世界线上的时空间隔。

定义 2 四动量

   定义 $\hat p=m\hat u$,其中 $m$ 为粒子的静质量。那么

\begin{equation} p^\mu = m u^\mu = (E, \boldsymbol{\mathbf{P}} )~. \end{equation}

   设粒子的运动速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,那么粒子的四速度为 $(\gamma_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} },\gamma_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} } \boldsymbol{\mathbf{v}} )$,四动量为 $(m\gamma_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }, m\gamma_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} } \boldsymbol{\mathbf{v}} )=(E, \boldsymbol{\mathbf{P}} )$。由此可以看到

\begin{equation} E^2-| \boldsymbol{\mathbf{P}} |^2=-p^\mu p_\mu=-m^2 u^\mu u_\mu = m^2~, \end{equation}
这就是著名的爱因斯坦质能关系。如果取消自然单位制回归国际单位制(带上 $c$),那么上式改写为 $E^2-| \boldsymbol{\mathbf{P}} |^2c^2=m^2c^4$,且容易证明在非相对论近似($v\ll c$)下,$ \boldsymbol{\mathbf{P}} \approx m \boldsymbol{\mathbf{v}} ,\ E\approx mc^2+\frac{1}{2}mv^2$。 而在相对于粒子精止的参考系(被称为共动参考系)中,
\begin{equation} E=mc^2~, \end{equation}
最后可以定义四加速度。

定义 3 四加速度

\begin{equation} a^\mu = \frac{\mathrm{d}{u^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} ~. \end{equation}

   它与我们通常所定义的加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} } / \,\mathrm{d}{t} $ 不同,但这种定义的好处是它满足洛伦兹协变性。


1. ^ 参考时空的四维表示
2. ^ 参考世界线和固有时
3. ^ 参考世界线和固有时


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