环同态
贡献者： JierPeter
环同态的概念和群同态是类似的，只不过我们需要兼顾两个运算的性质。
定义 1 环同态
给定环 $R_1$ 和 $R_2$，如果存在映射 $f:R_1\rightarrow R_2$，使得对于任意的 $r, s\in R_1$ 都有 $f(r)+f(s)=f(r+s)$ 和 $f(rs)=f(r)f(s)$，那么我们称 $f$ 是一个从 $R_1$ 到 $R_2$ 的环同态映射（ring homomorphism），而环 $R_1$ 和 $R_2$ 是同态（homomorphic）的环。
定义 2 环同构
如果一个环同态是双射，那么我们称它为一个环同构（ring isomorphism），相应的两个环就是同构（isomorphic）的。记 “$R_1$ 和 $R_2$ 同构” 为 $R_1\cong R_2$。
同构的两个环具有完全相同的运算结构，而同态的两个环的运算结构似而不同，和群的同态、同构类似。
1. 环同态基本定理
定义 3 核
给定环同态 $f:R_1\rightarrow R_2$，记 $ \operatorname {ker}f=\{r\in R_1|f(r)=0\}$，称为同态 $f$ 的核。
和群同态基本定理类似，我们有如下环同态基本定理：
定义 4 环同态基本定理
给定环同态 $f:R_1\rightarrow R_2$，则 $ \operatorname {ker}f$ 是 $R_1$ 的理想，并且 $R_1/ \operatorname {ker}f\cong R_2$。
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