环同态

             

预备知识 环的理想和商环

   环同态的概念和群同态是类似的,只不过我们需要兼顾两个运算的性质.

定义 1 环同态

   给定环 $R_1$ 和 $R_2$,如果存在映射 $f:R_1\rightarrow R_2$,使得对于任意的 $r, s\in R_1$ 都有 $f(r)+f(s)=f(r+s)$ 和 $f(rs)=f(r)f(s)$,那么我们称 $f$ 是一个从 $R_1$ 到 $R_2$ 的环同态映射(ring homomorphism),而环 $R_1$ 和 $R_2$ 是同态(homomorphic)的环.

定义 2 环同构

   如果一个环同态是双射,那么我们称它为一个环同构(ring isomorphism),相应的两个环就是同构(isomorphic)的.记 “$R_1$ 和 $R_2$ 同构” 为 $R_1\cong R_2$.

   同构的两个环具有完全相同的运算结构,而同态的两个环的运算结构似而不同,和群的同态、同构类似.

1. 环同态基本定理

预备知识 群同态基本定理:习题 1

定义 3 核

   给定环同态 $f:R_1\rightarrow R_2$,记 $ \operatorname {ker}f=\{r\in R_1|f(r)=0\}$,称为同态 $f$ 的

   和群同态基本定理类似,我们有如下环同态基本定理:

定义 4 环同态基本定理

   给定环同态 $f:R_1\rightarrow R_2$,则 $ \operatorname {ker}f$ 是 $R_1$ 的理想,并且 $R_1/ \operatorname {ker}f\cong R_2$.

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