高斯恒等式（黎曼几何）

贡献者： JierPeter; Giacomo

本文处于草稿阶段。
待添加文章《截面曲率》

预备知识　曲率张量场

未完成：参考 1，参考 2

　　我们可以用更现代的语言来描述高斯绝妙定理。毕竟我们是在学习数学，而非数学史，站在巨人的肩膀上当然是更合适的。

1. 一点预备

　　首先是一个引理：

引理 1　曲面上的黎曼联络

　　 $R^{n}$ 中的曲面 $M$ 上的仿射联络 $\nabla$ ，就是 $R^{n}$ 的方向导数 $D$ 的投影：

\begin{matrix} (1) & \nabla_{X} Y = pr (D_{X} Y), \end{matrix}

其中

pr

表示投影（projection）映射。我们也可以表示为

pr (D_{X} Y) = (D_{X} Y)_{∥}

。

　　引理较为直观，证明留给读者，只需要挨个验证黎曼联络所需要满足的线性性和 Leibniz 律即可。

　　接下来是两个有用的式子，它们的证明是靠直接计算得来的，算起来有些麻烦，但算好之后可以直接引用，大大简化绝妙定理的证明。

定理 1　

　　设 $(M, \nabla)$ 是一个 $R^{3}$ 中的子黎曼流形，且 $X, Y, Z \in X (M)$ 。则我们有以下定理：

（高斯曲率方程） $R (X, Y) Z = ⟨ L (Y), Z ⟩ L (X) - ⟨ L (X), Z ⟩ L (Y)$ ；
$\nabla_{X} L (Y) - \nabla_{Y} L (X) = L ([X, Y])$

　　以下分别证明这两个式子。

第一个式子的证明

　　回忆形状算子 $L$ 的定义：对于 $R^{3}$ 中一曲面上的切向量场 $X$ ，记 $N$ 为该曲面的单位法向量场，那么 $L (X) = - D_{X} N$ ，其中 $D$ 为 $R^{3}$ 中的方向导数，也即其天然的仿射联络。

　　由于 $X, Y$ 和 $N$ 垂直，因此我们有 $⟨ L (X), Y ⟩ = ⟨ D_{X} Y, N ⟩$ 。

　　考虑到 $| N | \equiv 1$ ，因此 $(D_{X} Y)_{⊥} = ⟨ Y, L (X) ⟩ N$ ；又由引理 1 ， $\nabla_{X} Y = (D_{X} Y)_{∥} = D_{X} Y - (D_{X} Y)_{⊥}$ 。

　　于是我们有：

\begin{matrix} (2) & D_{X} Y = \nabla_{X} Y + ⟨ D_{X} Y, N ⟩ N . \end{matrix}

　　现在就可以尝试计算 $D$ 的曲率，思路是先计算出它的三个部分式 3 、式 4 和式 5 ：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} D_{X} D_{Y} Z & = D_{X} \nabla_{Y} Z + D_{X} (⟨ L (Y), Z ⟩ N) \\ = \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + ⟨ L (X), \nabla_{Y} Z ⟩ N + (X ⟨ L (Y), Z ⟩) N + ⟨ L (Y), Z ⟩ D_{X} N \\ = \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + ⟨ L (X), \nabla_{Y} Z ⟩ N + (X ⟨ L (Y), Z ⟩) N - ⟨ L (Y), Z ⟩ L (X) . \end{aligned} \end{matrix}

　　交换 $X, Y$ 还可得到

\begin{matrix} (4) & D_{Y} D_{X} Z = \nabla_{Y} \nabla_{X} Z + ⟨ L (Y), \nabla_{X} Z ⟩ N + (Y ⟨ L (X), Z ⟩) N - ⟨ L (X), Z ⟩ L (Y), \end{matrix}

　　再利用式 2 得到

\begin{matrix} (5) & D_{[X, Y] Z} = \nabla_{[X, Y]} Z + ⟨ L ([X, Y], Z) ⟩ N . \end{matrix}

　　计算式 3 -式 4 -式 5 后得到

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} 0 = R_{D} (X, Y) Z = & R (X, Y) Z - ⟨ L (Y), Z ⟩ L (X) + ⟨ L (X), Z ⟩ L (Y) \\ + 垂直分量, \end{aligned} \end{matrix}

其中

R_{D} (X, Y) = D_{X} D_{Y} - D_{Y} D_{X} - D_{[X, Y]}

，是

D

的曲率。考虑到

D

是

R^{3}

的方向导数，故是一个平坦联络，故

R_{D} (X, Y) \equiv 0

。

　　只考虑式 6 的切向分量，我们就得到 $R (X, Y) Z = ⟨ L (Y), Z ⟩ L (X) - ⟨ L (X), Z ⟩ L (Y)$ 。

第二个式子的证明

　　这个证明就要用到式 6 的垂直分量了。这个分量是：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} ( & ⟨ L (X), \nabla_{Y} Z ⟩ + X ⟨ L (Y), Z ⟩ \\ - ⟨ L (Y), \nabla_{X} Z ⟩ - Y ⟨ L (X), Z ⟩ \\ - ⟨ L ([X, Y], Z) ⟩) N = 0, \end{aligned} \end{matrix}

等于零是因为式 6 最左边为零。

　　考虑到 $\nabla$ 的相容性，即 $X ⟨ L (Y), Z ⟩ - ⟨ L (Y), \nabla_{X} Z ⟩ = ⟨ \nabla_{X} L (Y), Z ⟩$ ，我们有：

\begin{matrix} (8) & ⟨ \nabla_{X} L (Y), Z ⟩ - ⟨ \nabla_{Y} L (X), Z ⟩ - ⟨ L ([X, Y]), Z ⟩ = 0 . \end{matrix}

　　由于式 8 对一切 $M$ 上的切向量场 $Z$ 都成立，因此我们可以写出：

\begin{matrix} (9) & \nabla_{X} L (Y) - \nabla_{Y} L (X) - L ([X, Y]) = 0 . \end{matrix}

　　形状算子的作用结果永远在切空间内，故它也是一个内蕴（内禀）的量，不依赖于具体的嵌入映射。由其定义可知，它又表达了单位法向量是如何沿着切向量变化的，因此和曲率紧密相关。

2. 高斯绝妙定理

　　大 Boss 来了：

定理 2　高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）

　　令 $(M, \nabla)$ 是 $R^{3}$ 上的一个 2 维黎曼流形，取 $p \in M$ 。则有：

若 ${e_{1}, e_{2}}$ 为 $M$ 上的一个标准正交基，那么高斯曲率可以写为
$\begin{matrix} (10) & K_{p} = ⟨ R_{p} (e_{1}, e_{2}) e_{2}, e_{1} ⟩ . \end{matrix}$
$K_{p}$ 在保度量变换下不变。

绝妙定理的证明

　　回顾高斯曲率的定义：它是形状算子 $L$ 的行列式。因此，高斯曲率可以写为

\begin{matrix} (11) & K_{p} = ⟨ L (e_{1}), e_{1} ⟩ ⟨ L (e_{2}), e_{2} ⟩ - ⟨ L (e_{1}), e_{2} ⟩ ⟨ L (e_{2}), e_{1} ⟩ . \end{matrix}

　　由定理 1 中的高斯曲率方程 $R (X, Y) Z = ⟨ L (Y), Z ⟩ L (X) - ⟨ L (X), Z ⟩ L (Y)$ ，得到：

\begin{matrix} (12) & R_{p} (e_{1}, e_{2}) e_{2} = ⟨ L (e_{2}), e_{2} ⟩ L (e_{1}) - ⟨ L (e_{1}), e_{2} ⟩ L (e_{2}), \end{matrix}

　　因此

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} ⟨ R_{p} (e_{1}, e_{2}) e_{2}, e_{2} ⟩ & = ⟨ (⟨ L (e_{2}), e_{2} ⟩ L (e_{1}) - ⟨ L (e_{1}), e_{2} ⟩ L (e_{2})), e_{1} ⟩ \\ = ⟨ L (e_{2}), e_{2} ⟩ ⟨ L (e_{1}), e_{1} ⟩ - ⟨ L (e_{1}), e_{2} ⟩ ⟨ L (e_{2}), e_{1} ⟩ \\ = K_{p}, \end{aligned} \end{matrix}

　　这就得到了第一条式子的证明。

　　第二条式子的证明可以简述如下：

　　 $g_{a b}$ 不变（保度量变换） $\Rightarrow$ $\nabla$ 不变（度量决定了联络） $\Rightarrow$ 用 $\nabla$ 定义的曲率 $R$ 不变 $\Rightarrow$ 用 $R$ 计算得出的 $K_{p}$ 不变。

3. 补充应用

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高斯恒等式（黎曼几何）

1. 一点预备

引理 1 曲面上的黎曼联络

定理 1

第一个式子的证明

第二个式子的证明

评论

2. 高斯绝妙定理

定理 2 高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）

绝妙定理的证明

3. 补充应用

引理 1　曲面上的黎曼联络

定理 1　

定理 2　高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）