贡献者： JierPeter; Giacomo
我们可以用更现代的语言来描述高斯绝妙定理。毕竟我们是在学习数学，而非数学史，站在巨人的肩膀上当然是更合适的。
1. 一点预备
首先是一个引理：
引理 1 曲面上的黎曼联络
$\mathbb{R}^n$ 中的曲面 $M$ 上的仿射联络 $\nabla$，就是 $\mathbb{R}^n$ 的方向导数 $D$ 的投影：
\begin{equation}
\nabla_XY= \operatorname {pr}(D_XY)~,
\end{equation}
其中 $ \operatorname {pr}$ 表示
投影（projection）映射。我们也可以表示为 $ \operatorname {pr}(D_XY)=(D_XY)_\parallel$。
引理较为直观，证明留给读者，只需要挨个验证黎曼联络所需要满足的线性性和 Leibniz 律即可。
接下来是两个有用的式子，它们的证明是靠直接计算得来的，算起来有些麻烦，但算好之后可以直接引用，大大简化绝妙定理的证明。
定理 1
设 $(M, \nabla)$ 是一个 $\mathbb{R}^3$ 中的子黎曼流形，且 $X, Y, Z\in\mathfrak{X}(M)$。则我们有以下定理：
- （高斯曲率方程）$R(X, Y)Z= \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)$；
- $\nabla_XL(Y)-\nabla_YL(X)=L([X, Y])$
以下分别证明这两个式子。
第一个式子的证明
回忆形状算子 $L$ 的定义：对于 $\mathbb{R}^3$ 中一曲面上的切向量场$X$，记 $N$ 为该曲面的单位法向量场，那么 $L(X)=-D_XN$，其中 $D$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的方向导数，也即其天然的仿射联络。
由于 $X, Y$ 和 $N$ 垂直，因此我们有 $ \left\langle L(X), Y \right\rangle = \left\langle D_XY, N \right\rangle $。
考虑到 $ \left\lvert N \right\rvert \equiv 1$，因此 $(D_XY)_\perp= \left\langle Y, L(X) \right\rangle N$；又由引理 1 ，$\nabla_XY=(D_XY)_\parallel=D_XY-(D_XY)_\perp$。
于是我们有：
\begin{equation}
D_XY=\nabla_XY+ \left\langle D_XY, N \right\rangle N~.
\end{equation}
现在就可以尝试计算 $D$ 的曲率，思路是先计算出它的三个部分式 3 、式 4 和式 5 ：
\begin{equation}
\begin{aligned}
D_XD_YZ&=D_X\nabla_YZ+D_X( \left\langle L(Y), Z \right\rangle N)\\
&=\nabla_X\nabla_YZ+ \left\langle L(X), \nabla_YZ \right\rangle N+(X \left\langle L(Y), Z \right\rangle )N+ \left\langle L(Y), Z \right\rangle D_XN\\
&=\nabla_X\nabla_YZ+ \left\langle L(X), \nabla_YZ \right\rangle N+(X \left\langle L(Y), Z \right\rangle )N- \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)~.
\end{aligned}
\end{equation}
交换 $X, Y$ 还可得到
\begin{equation}
D_YD_XZ=\nabla_Y\nabla_XZ+ \left\langle L(Y), \nabla_XZ \right\rangle N+(Y \left\langle L(X), Z \right\rangle )N- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)~,
\end{equation}
再利用式 2 得到
\begin{equation}
D_{[X, Y]Z}=\nabla_{[X, Y]}Z+ \left\langle L([X, Y], Z) \right\rangle N~.
\end{equation}
计算式 3 -式 4 -式 5 后得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
0=R_D(X, Y)Z=&R(X, Y)Z- \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)+ \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)\\
&+\text{垂直分量}~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $R_D(X, Y)=D_XD_Y-D_YD_X-D_{[X, Y]}$，是 $D$ 的曲率。考虑到 $D$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的方向导数，故是一个平坦联络，故 $R_D(X, Y)\equiv 0$。
只考虑式 6 的切向分量，我们就得到 $R(X, Y)Z= \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)$。
第二个式子的证明
这个证明就要用到式 6 的垂直分量了。这个分量是：
\begin{equation}
\begin{aligned}
(& \left\langle L(X), \nabla_YZ \right\rangle +X \left\langle L(Y), Z \right\rangle \\&- \left\langle L(Y), \nabla_XZ \right\rangle -Y \left\langle L(X), Z \right\rangle \\&- \left\langle L([X, Y], Z) \right\rangle )N=0~,
\end{aligned}
\end{equation}
等于零是因为
式 6 最左边为零。
考虑到 $\nabla$ 的相容性，即 $X \left\langle L(Y), Z \right\rangle - \left\langle L(Y), \nabla_XZ \right\rangle = \left\langle \nabla_XL(Y), Z \right\rangle $，我们有：
\begin{equation}
\left\langle \nabla_XL(Y), Z \right\rangle - \left\langle \nabla_YL(X), Z \right\rangle - \left\langle L([X, Y]), Z \right\rangle =0~.
\end{equation}
由于式 8 对一切 $M$ 上的切向量场 $Z$ 都成立，因此我们可以写出：
\begin{equation}
\nabla_XL(Y)-\nabla_YL(X)-L([X, Y])=0~.
\end{equation}
评论
形状算子的作用结果永远在切空间内，故它也是一个内蕴（内禀）的量，不依赖于具体的嵌入映射。由其定义可知，它又表达了单位法向量是如何沿着切向量变化的，因此和曲率紧密相关。
2. 高斯绝妙定理
大 Boss 来了：
定理 2 高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）
令 $(M, \nabla)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上的一个 2 维黎曼流形，取 $p\in M$。则有：
- 若 $\{e_1, e_2\}$ 为 $M$ 上的一个标准正交基，那么高斯曲率可以写为
\begin{equation}
K_p= \left\langle R_p(e_1, e_2)e_2, e_1 \right\rangle ~.
\end{equation}
- $K_p$ 在保度量变换下不变。
绝妙定理的证明
回顾高斯曲率的定义：它是形状算子 $L$ 的行列式。因此，高斯曲率可以写为
\begin{equation}
K_p= \left\langle L(e_1), e_1 \right\rangle \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle - \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle \left\langle L(e_2), e_1 \right\rangle ~.
\end{equation}
由定理 1 中的高斯曲率方程 $R(X, Y)Z= \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)$，得到：
\begin{equation}
R_p(e_1, e_2)e_2= \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle L(e_1)- \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle L(e_2)~,
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle R_p(e_1, e_2)e_2, e_2 \right\rangle &= \left\langle ( \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle L(e_1)- \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle L(e_2)), e_1 \right\rangle \\
&= \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle \left\langle L(e_1), e_1 \right\rangle - \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle \left\langle L(e_2), e_1 \right\rangle \\
&=K_p~,
\end{aligned}
\end{equation}
这就得到了第一条式子的证明。
第二条式子的证明可以简述如下：
$g_{ab}$ 不变（保度量变换）$\Rightarrow$ $\nabla$ 不变（度量决定了联络）$\Rightarrow$ 用 $\nabla$ 定义的曲率 $R$ 不变 $\Rightarrow$ 用 $R$ 计算得出的 $K_p$ 不变。
3. 补充应用
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。