高斯绝妙定理

             

预备知识 黎曼联络

   本节我们来讨论高斯绝妙定理.

   在最初的古典微分几何研究中,常常需要将流形理解为某个 $\mathbb{R}^n$ 空间中的超平面,进行具体的、复杂的计算,从而得到其性质.比如说,很多二维的流形都可以表示为三维空间中的一个曲面,比如球、平面、双曲面等等;也有的二维流形没法在三维空间中表示,比如 Klein 瓶,但是在四维空间中一定可以表示的1

   高斯第一个发现 “曲率” 这一内蕴量,并把该发现命名为绝妙定理(Gauss's Theorema Egregium)2.连高斯都觉得绝妙的发现到底是什么呢?这就需要解释何为 “内蕴” 了:它是指,曲率的计算不依赖于具体的嵌入、图等具体表示,而是流形本身具有的性质.这就逐渐进入了现代微分几何更为抽象但优雅的大门了.

   当然,我们这里不会使用高斯一开始的语言去描述该定理,而是用更为现代的语言.毕竟我们是在学习数学,而非数学史,站在巨人的肩膀上当然是更合适的.

1. 一点预备

   首先是一个引理:

引理 1 曲面上的黎曼联络

   $\mathbb{R}^n$ 中的曲面 $M$ 上的仿射联络 $\nabla$,就是 $\mathbb{R}^n$ 的方向导数 $D$ 的投影:

\begin{equation} \nabla_XY= \operatorname {pr}(D_XY) \end{equation}
其中 $ \operatorname {pr}$ 表示投影(projection)映射.我们也可以表示为 $ \operatorname {pr}(D_XY)=(D_XY)_\perp$.

   引理较为直观,证明留给读者,只需要挨个验证黎曼联络所需要满足的线性性和 Leibniz 律即可.

   接下来是两个有用的式子,它们的证明是靠直接计算得来的,算起来有些麻烦,但算好之后可以直接引用,大大简化绝妙定理的证明.

定理 1 

   设 $(M, \nabla)$ 是一个 $\mathbb{R}^3$ 中的子黎曼流形,且 $X, Y, Z\in\mathfrak{X}(M)$.则我们有以下定理:

  1. (高斯曲率方程)$R(X, Y)Z= \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)$;
  2. $\nabla_XL(Y)-\nabla_YL(X)=L([X, Y])$

   以下分别证明这两个式子.

第一个式子的证明

   回忆形状算子 $L$ 的定义:对于 $\mathbb{R}^3$ 中一曲面上的切向量场$X$,记 $N$ 为该曲面的单位法向量场,那么 $L(X)=-D_XN$,其中 $D$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的方向导数,也即其天然的仿射联络.

   由于 $X, Y$ 和 $N$ 垂直,因此我们有 $ \left\langle L(X), Y \right\rangle = \left\langle D_XY, N \right\rangle $.

   考虑到 $ \left\lvert N \right\rvert \equiv 1$,因此 $(D_XY)_\perp= \left\langle Y, L(X) \right\rangle N$;又由引理 1 ,$\nabla_XY=(D_XY)_\parallel=D_XY-(D_XY)_\perp$.

   于是我们有:

\begin{equation} D_XY=\nabla_XY+ \left\langle D_XY, N \right\rangle N \end{equation}

   现在就可以尝试计算 $D$ 的曲率,思路是先计算出它的三个部分式 3 式 4 式 5

\begin{equation} \begin{aligned} D_XD_YZ&=D_X\nabla_YZ+D_X( \left\langle L(Y), Z \right\rangle N)\\ &=\nabla_X\nabla_YZ+ \left\langle L(X), \nabla_YZ \right\rangle N+(X \left\langle L(Y), Z \right\rangle )N+ \left\langle L(Y), Z \right\rangle D_XN\\ &=\nabla_X\nabla_YZ+ \left\langle L(X), \nabla_YZ \right\rangle N+(X \left\langle L(Y), Z \right\rangle )N- \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X) \end{aligned} \end{equation}

   交换 $X, Y$ 还可得到

\begin{equation} D_YD_XZ=\nabla_Y\nabla_XZ+ \left\langle L(Y), \nabla_XZ \right\rangle N+(Y \left\langle L(X), Z \right\rangle )N- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y) \end{equation}

   再利用式 2 得到

\begin{equation} D_{[X, Y]Z}=\nabla_{[X, Y]}Z+ \left\langle L([X, Y], Z) \right\rangle N \end{equation}

   计算式 3 -式 4 -式 5 后得到

\begin{equation} \begin{aligned} 0=R_D(X, Y)Z=&R(X, Y)Z- \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)+ \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)\\ &+\text{垂直分量} \end{aligned} \end{equation}
其中 $R_D(X, Y)=D_XD_Y-D_YD_X-D_{[X, Y]}$,是 $D$ 的曲率.考虑到 $D$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的方向导数,故是一个平坦联络,故 $R_D(X, Y)\equiv 0$.

   只考虑式 6 的切向分量,我们就得到 $R(X, Y)Z= \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)$.

第二个式子的证明

   这个证明就要用到式 6 的垂直分量了.这个分量是:

\begin{equation} \begin{aligned} (& \left\langle L(X), \nabla_YZ \right\rangle +X \left\langle L(Y), Z \right\rangle \\&- \left\langle L(Y), \nabla_XZ \right\rangle -Y \left\langle L(X), Z \right\rangle \\&- \left\langle L([X, Y], Z) \right\rangle )N=0 \end{aligned} \end{equation}
等于零是因为式 6 最左边为零.

   考虑到 $\nabla$ 的相容性,即 $X \left\langle L(Y), Z \right\rangle - \left\langle L(Y), \nabla_XZ \right\rangle = \left\langle \nabla_XL(Y), Z \right\rangle $,我们有:

\begin{equation} \left\langle \nabla_XL(Y), Z \right\rangle - \left\langle \nabla_YL(X), Z \right\rangle - \left\langle L([X, Y]), Z \right\rangle =0 \end{equation}

   由于式 8 对一切 $M$ 上的切向量场 $Z$ 都成立,因此我们可以写出:

\begin{equation} \nabla_XL(Y)-\nabla_YL(X)-L([X, Y])=0 \end{equation}

评论

   形状算子的作用结果永远在切空间内,故它也是一个内蕴(内禀)的量,不依赖于具体的嵌入映射.由其定义可知,它又表达了单位法向量是如何沿着切向量变化的,因此和曲率紧密相关.

2. 高斯绝妙定理

   大 Boss 来了:

定理 2 高斯绝妙定理(Gauss's Theorema Egregium)

   令 $(M, \nabla)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上的一个 2 维黎曼流形,取 $p\in M$.则有:

  1. 若 $\{e_1, e_2\}$ 为 $M$ 上的一个标准正交基,那么高斯曲率可以写为
    \begin{equation} K_p= \left\langle R_p(e_1, e_2)e_2, e_1 \right\rangle \end{equation}
  2. $K_p$ 在保度量变换下不变.

绝妙定理的证明

   回顾高斯曲率的定义:它是形状算子 $L$ 的行列式.因此,高斯曲率可以写为

\begin{equation} K_p= \left\langle L(e_1), e_1 \right\rangle \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle - \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle \left\langle L(e_2), e_1 \right\rangle \end{equation}

   由定理 1 中的高斯曲率方程 $R(X, Y)Z= \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)$,得到:

\begin{equation} R_p(e_1, e_2)e_2= \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle L(e_1)- \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle L(e_2) \end{equation}

   因此

\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle R_p(e_1, e_2)e_2, e_2 \right\rangle &= \left\langle ( \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle L(e_1)- \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle L(e_2)), e_1 \right\rangle \\ &= \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle \left\langle L(e_1), e_1 \right\rangle - \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle \left\langle L(e_2), e_1 \right\rangle \\ &=K_p \end{aligned} \end{equation}

   这就得到了第一条式子的证明.

   第二条式子的证明可以简述如下:

   $g_{ab}$ 不变(保度量变换)$\Rightarrow$ $\nabla$ 不变(度量决定了联络)$\Rightarrow$ 用 $\nabla$ 定义的曲率 $R$ 不变 $\Rightarrow$ 用 $R$ 计算得出的 $K_p$ 不变.

3. 补充应用


1. ^ 题外话:任意 $n$ 维实流形,都可以嵌入到 $\mathbb{R}^{2n}$ 中.
2. ^ 注意 “绝妙定理(Theorema Egregium)” 是拉丁语.

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