洛朗级数

贡献者： JierPeter; Giacomo

预备知识　全纯函数，柯西积分定理

　　如果一个单复变函数处处解析，那它处处都可以展开成泰勒级数的形式。但我们常遇到的很多函数并不是处处解析的，从而在非解析点处无法泰勒展开。但是我们依然有一种类似级数的办法来展开其中一些函数，这就是洛朗级数。

定义 1　洛朗级数

　　形如

\begin{equation} f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-c)^n~. \end{equation}

的单复变函数，被称为一个关于点 $c\in\mathbb{C}$ 的洛朗级数（Laurent series），其中 $a_n$ 都是常数。

　　容易看到，洛朗级数就是将泰勒级数的幂次拓展到了负的情况。在 $z\neq c$ 的点处，$f(z)$ 可以看成两个级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-c)^n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{-n} \left(\frac{1}{z-c} \right) ^n$ 的和；在 $z=c$ 处则是发散的。

　　 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-c)^n$ 称为 $f$ 的正则部分（normal part），而剩下的 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{-n} \left(\frac{1}{z-c} \right) ^n$ 则称为 $f$ 的主要部分（principal part）。两个术语可以分别简称为正则部和主部。

未完成：定义域：圆环区域

1. 零点与极点

未完成：zero and pole

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损，并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

洛朗级数

定义 1 洛朗级数

1. 零点与极点

定义 1　洛朗级数