洛朗级数

贡献者： JierPeter; Giacomo

预备知识　全纯函数，柯西积分定理

　　如果一个单复变函数处处解析，那它处处都可以展开成泰勒级数的形式。但我们常遇到的很多函数并不是处处解析的，从而在非解析点处无法泰勒展开。但是我们依然有一种类似级数的办法来展开其中一些函数，这就是洛朗级数。

定义 1　洛朗级数

　　形如

\begin{equation} f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-c)^n~. \end{equation}

的单复变函数，被称为一个关于点 $c\in\mathbb{C}$ 的洛朗级数（Laurent series），其中 $a_n$ 都是常数。

　　容易看到，洛朗级数就是将泰勒级数的幂次拓展到了负的情况。在 $z\neq c$ 的点处，$f(z)$ 可以看成两个级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-c)^n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{-n} \left(\frac{1}{z-c} \right) ^n$ 的和；在 $z=c$ 处则是发散的。

　　 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-c)^n$ 称为 $f$ 的正则部分（normal part），而剩下的 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{-n} \left(\frac{1}{z-c} \right) ^n$ 则称为 $f$ 的主要部分（principal part）。两个术语可以分别简称为正则部和主部。

未完成：定义域：圆环区域

1. 零点与极点

未完成：zero and pole

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洛朗级数

定义 1 洛朗级数

1. 零点与极点

定义 1　洛朗级数