洛朗级数

             

贡献者: JierPeter

预备知识 全纯函数,柯西积分定理

   如果一个单复变函数处处解析,那它处处都可以展开成泰勒级数的形式.但我们常遇到的很多函数并不是处处解析的,从而在非解析点处无法泰勒展开.但是我们依然有一种类似级数的办法来展开其中一些函数,这就是洛朗级数

定义 1 洛朗级数

   形如

\begin{equation} f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-c)^n \end{equation}
的单复变函数,被称为一个关于点 $c\in\mathbb{C}$ 的洛朗级数(Laurent series),其中 $a_n$ 都是常数.

   容易看到,洛朗级数就是将泰勒级数的幂次拓展到了负的情况.在 $z\neq c$ 的点处,$f(z)$ 可以看成两个级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-c)^n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{-n} \left(\frac{1}{z-c} \right) ^n$ 的和;在 $z=c$ 处则是发散的.

   $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-c)^n$ 称为 $f$ 的正则部分(normal part),而剩下的 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{-n} \left(\frac{1}{z-c} \right) ^n$ 则称为 $f$ 的主要部分(principal part).两个术语可以分别简称为正则部主部


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