二维随机游走

贡献者： addis

预备知识　中心极限定理

　　若平面上某点从坐标原点出发，每一步沿随机方向走动一个随机步长，步长的分布函数为 $f (r)$ ， $N (N ≫ 1)$ 步之后，该点的位置分布可以用圆高斯分布表示

\begin{matrix} (1) & P (X, Y) = \frac{a}{π} e^{- a (X^{2} + Y^{2})} 或 P (R) = 2 a R e^{- a R^{2}} . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (2) & a = \frac{1}{N ⟨ r^{2} ⟩}, ⟨ r^{2} ⟩ = \int_{0}^{\infty} r^{2} f (r) d r . \end{matrix}

由分布函数可得，随机点最终离原点的距离的平均值和方均根为

\begin{matrix} (3) & ⟨ R ⟩ = \frac{\sqrt{π}}{2} \sqrt{N ⟨ r^{2} ⟩}, \sqrt{⟨ R^{2} ⟩} = \sqrt{N ⟨ r^{2} ⟩} . \end{matrix}

1. 推导

　　我们先来分析随机点的 $x$ 坐标。假设每一步在 $x$ 方向投影的长度为 $x_{i}$ ， $N$ 步以后，该点的 $x$ 坐标为 $X$ ，则

\begin{matrix} (4) & ⟨ x^{2} ⟩ = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 π} (r \cos θ)^{2} \cdot f (r) d r \cdot \frac{1}{2 π} d θ = \frac{1}{2} ⟨ r^{2} ⟩ . \end{matrix}

根据中心极限定理，

X

满足高斯分布，且

\begin{matrix} (5) & ⟨ X^{2} ⟩ = N ⟨ x^{2} ⟩ = \frac{1}{2} N ⟨ r^{2} ⟩ . \end{matrix}

对

y

轴分析也有类似的结果，将

P (X, Y)

分布归一化后，可以得到式 1 。我们由式 1 求

⟨ X^{2} ⟩

，得

\begin{matrix} (6) & ⟨ X^{2} ⟩ = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} X^{2} P (X, Y) d X d Y = \int_{0}^{\infty} \sqrt{\frac{a}{π}} X^{2} e^{- a X^{2}} d X = \frac{1}{2 a}, \end{matrix}

对比式 5 和式 6 即可得到式 2 。证毕。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。