贡献者： addis
若平面上某点从坐标原点出发，每一步沿随机方向走动一个随机步长，步长的分布函数为 $f(r)$，$N\ \ (N \gg 1)$ 步之后，该点的位置分布可以用圆高斯分布表示
\begin{equation}
P(X,Y) = \frac{a}{\pi} \mathrm{e} ^{-a(X^2 + Y^2)} \quad \text{或} \quad
P(R) = 2aR \mathrm{e} ^{-aR^2}~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
a = \frac{1}{N \left\langle r^2 \right\rangle }~, \qquad
\left\langle r^2 \right\rangle = \int_0^{\infty} r^2 f(r) \,\mathrm{d}{r} ~.
\end{equation}
由分布函数可得，随机点最终离原点的距离的平均值和方均根为
\begin{equation}
\left\langle R \right\rangle = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\sqrt{N \left\langle r^2 \right\rangle }~, \qquad
\sqrt{ \left\langle R^2 \right\rangle } = \sqrt{N \left\langle r^2 \right\rangle }~.
\end{equation}
1. 推导
我们先来分析随机点的 $x$ 坐标。假设每一步在 $x$ 方向投影的长度为 $x_i$，$N$ 步以后，该点的 $x$ 坐标为 $X$，则
\begin{equation}
\left\langle x^2 \right\rangle = \int_0^{\infty} \int_0^{2\pi} (r\cos\theta)^2 \cdot f(r) \,\mathrm{d}{r} \cdot \frac{1}{2\pi} \,\mathrm{d}{\theta} = \frac12 \left\langle r^2 \right\rangle ~.
\end{equation}
根据
中心极限定理，$X$ 满足高斯分布，且
\begin{equation}
\left\langle X^2 \right\rangle = N \left\langle x^2 \right\rangle = \frac12 N \left\langle r^2 \right\rangle ~.
\end{equation}
对 $y$ 轴分析也有类似的结果，将 $P(X,Y)$ 分布归一化后，可以得到
式 1 。我们由
式 1 求 $ \left\langle X^2 \right\rangle $，得
\begin{equation}
\left\langle X^2 \right\rangle = \int_0^\infty \int_0^\infty X^2 P(X,Y) \,\mathrm{d}{X} \,\mathrm{d}{Y}
= \int_0^\infty \sqrt{\frac{a}{\pi}} X^2 \mathrm{e} ^{-a X^2} \,\mathrm{d}{X} =\frac{1}{2a}~,
\end{equation}
对比
式 5 和
式 6 即可得到
式 2 。证毕。
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