二维随机走动

             

预备知识 中心极限定理

1. 结论

   若平面上某点从坐标原点出发,每一步沿随机方向走动一个随机步长,步长的分布函数为 $f(r)$,$N\ \ (N \gg 1)$ 步之后,该点的位置分布可以用圆高斯分布表示

\begin{equation} P(X,Y) = \frac{a}{\pi} \mathrm{e} ^{-a(X^2 + Y^2)} \quad \text{或} \quad P(R) = 2aR \mathrm{e} ^{-aR^2} \end{equation}
其中
\begin{equation} a = \frac{1}{N \left\langle r^2 \right\rangle } \qquad \left\langle r^2 \right\rangle = \int_0^{\infty} r^2 f(r) \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
由分布函数可得,随机点最终离原点的距离的平均值和方均根为
\begin{equation} \left\langle R \right\rangle = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\sqrt{N \left\langle r^2 \right\rangle } \qquad \sqrt{ \left\langle R^2 \right\rangle } = \sqrt{N \left\langle r^2 \right\rangle } \end{equation}

2. 推导

   我们先来分析随机点的 $x$ 坐标.假设每一步在 $x$ 方向投影的长度为 $x_i$,$N$ 步以后,该点的 $x$ 坐标为 $X$,则

\begin{equation} \left\langle x^2 \right\rangle = \int_0^{\infty} \int_0^{2\pi} (r\cos\theta)^2 \cdot f(r) \,\mathrm{d}{r} \cdot \frac{1}{2\pi} \,\mathrm{d}{\theta} = \frac12 \left\langle r^2 \right\rangle \end{equation}
根据中心极限定理,$X$ 满足高斯分布,且
\begin{equation} \left\langle X^2 \right\rangle = N \left\langle x^2 \right\rangle = \frac12 N \left\langle r^2 \right\rangle \end{equation}
对 $y$ 轴分析也有类似的结果,将 $P(X,Y)$ 分布归一化后,可以得到式 1 .我们由式 1 求 $ \left\langle X^2 \right\rangle $,得
\begin{equation} \left\langle X^2 \right\rangle = \int_0^\infty \int_0^\infty X^2 P(X,Y) \,\mathrm{d}{X} \,\mathrm{d}{Y} = \int_0^\infty \sqrt{\frac{a}{\pi}} X^2 \mathrm{e} ^{-a X^2} \,\mathrm{d}{X} =\frac{1}{2a} \end{equation}
对比式 5 式 6 即可得到式 2 .证毕.

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