卡方分布

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

1. 卡方分布

图 1：卡方概率密度函数（式 1 ），来自 Wikipedia

　　¹卡方分布为（可以认为 $x < 0$ 时函数值为零）

\begin{matrix} (1) & f_{k} (x) = \frac{1}{2^{k / 2} Γ (k / 2)} x^{k / 2 - 1} e^{- x / 2} (x > 0) \end{matrix}

期望值

k

，方差

2 k

。

　　累计分布函数为（Matlab 的 gammainc(x/2,k/2)）

\begin{matrix} (2) & F_{k} (x) = \int_{0}^{x} f_{k} (t) d t = \frac{γ (k / 2, x / 2)}{Γ (k / 2)}, \end{matrix}

其中

γ

为下不完全

Γ

函数。

2. 检验是否符合指定一维分布

　　若要检验 $N$ 次试验中，某分布是否符合指定分布。把随机变量划分成 $k$ 个区间，落入每个区间的数量是 $f_{i}$ ， $\sum f_{i} = N$ 。指定分布在每个区间的概率为 $p_{i}$ ，那么 $f_{i} / N$ 应该接近于 $p_{i}$ ，可以用以下函数判断有多接近

\begin{matrix} (3) & \sum_{i = 1}^{k} C_{i} {(\frac{f_{i}}{N} - p_{i})}^{2}, \end{matrix}

Pearson's cumulative test statistic 令

C_{i} = N / p_{i}

，于是

\begin{matrix} (4) & χ^{2} = \sum_{i = 1}^{k} \frac{N}{p_{i}} {(\frac{f_{i}}{N} - p_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{k} \frac{f_{i}^{2}}{N p_{i}} - N . \end{matrix}

当

N

足够大，上式的值近似服从

χ^{2} (k - 1)

分布。

　　对于显著水平（significance level） $α$ ，当 $χ_{α}^{2} (k - 1)$ 时就接受假设。其中 $χ_{α}^{2} (k - 1)$ 满足

\begin{matrix} (5) & 1 - F_{k - 1} (χ_{α +}^{2} (k - 1)) = \int_{χ_{α}^{2} (k - 1)}^{\infty} f_{k - 1} (x) d x = α . \end{matrix}

假设被拒绝的显著水平越小，说明假设越不可能成立。

　　 $α$ 被称为 $p$ 值。

图 2：临时例题（待删除）

3. 检验两个变量的独立性

\begin{matrix} (6) & χ^{2} = \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} \frac{N}{p_{i} p_{j}} {(\frac{f_{i j}}{N} - p_{i} p_{j})}^{2} = \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} \frac{f_{i j}^{2}}{N p_{i} p_{j}} - N . \end{matrix}

当

N

足够大，上式的值近似服从

χ^{2} [(k - 1) (l - 1)]

分布。

未完成：补充详细

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面 1 和相关页面 2。

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