卡方分布

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

1. 卡方分布

图 1：卡方概率密度函数（式 1 ），来自 Wikipedia

　　¹卡方分布为（可以认为 $x<0$ 时函数值为零）

\begin{equation} f_k(x) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1} \mathrm{e} ^{-x/2} \qquad (x > 0)~ \end{equation}

期望值 $k$，方差 $2k$。

　　累计分布函数为（Matlab 的 gammainc(x/2,k/2)）

\begin{equation} F_k(x) = \int_0^{x} f_k(t) \,\mathrm{d}{t} = \frac{\gamma(k/2, x/2)}{\Gamma(k/2)}~, \end{equation}

其中 $\gamma$ 为下不完全 $\Gamma$ 函数。

2. 检验是否符合指定一维分布

　　若要检验 $N$ 次试验中，某分布是否符合指定分布。把随机变量划分成 $k$ 个区间，落入每个区间的数量是 $f_i$，$\sum f_i = N$。指定分布在每个区间的概率为 $p_i$，那么 $f_i/N$ 应该接近于 $p_i$，可以用以下函数判断有多接近

\begin{equation} \sum_{i=1}^k C_i \left(\frac{f_i}{N} - p_i \right) ^2~, \end{equation}

Pearson's cumulative test statistic 令 $C_i = N/p_i$，于是

\begin{equation} \chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{N}{p_i} \left(\frac{f_i}{N} - p_i \right) ^2 = \sum_{i=1}^k \frac{f_i^2}{Np_i} - N~. \end{equation}

当 $N$ 足够大，上式的值近似服从 $\chi^2(k-1)$ 分布。

　　对于显著水平（significance level） $\alpha$，当 $\chi_{\alpha}^2(k-1)$ 时就接受假设。其中 $\chi_{\alpha}^2(k-1)$ 满足

\begin{equation} 1 - F_{k-1}(\chi_{\alpha+}^2(k-1)) = \int_{\chi_{\alpha}^2(k-1)}^\infty f_{k-1}(x) \,\mathrm{d}{x} = \alpha~. \end{equation}

假设被拒绝的显著水平越小，说明假设越不可能成立。

　　 $\alpha$ 被称为 $p$ 值。

图 2：临时例题（待删除）

3. 检验两个变量的独立性

\begin{equation} \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} \frac{N}{p_ip_j} \left(\frac{f_{ij}}{N} - p_ip_j \right) ^2 = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} \frac{f_{ij}^2}{Np_ip_j} - N~. \end{equation}

当 $N$ 足够大，上式的值近似服从 $\chi^2[(k-1)(l-1)]$ 分布。

未完成：补充详细

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面 1 和相关页面 2。

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