二次型(线性代数)

                     

贡献者: 叶月2_

  • 本文存在未完成的内容。
    • 本篇放在线性代数第五章 线性方程组。
    • 不知道初等变换在哪篇文章,需要加入到预备知识里
    • 本篇最好加上一些应用实例,譬如几何上通过二次型简化方程,以及物理上的惯性张量(?)等等。
预备知识 集合的基数

定义 1 

   二次型是关于变量的二次齐次多项式。即满足 q(kv)=k2q(v),对于任意 v=(v1,v2...vn),kF。比如:

(1)q(v)=av1x2+bv2v1+cv12+dv22 .
容易验证,任意二次型都可以写为如下形式:
(2)q(v)=vTQv .
一般称矩阵 Q 为二次型 q 的方阵形式。

   二次型相应的指标表达式为 q(v)=i,jQjivjvi。矩阵元素 Qji 为结果中 vjvi 的系数。由于 vjvi=vivj,因此 Qji+Qij 为实际相应项的系数,满足该条件的矩阵可以有很多个。

(3)(xy)(1201)(xy)=x2+2xy+0yxy2=x2+xy+yxy2=(xy)(1111)(xy) .
但二次型总能对应唯一一个对称矩阵1

1. 二次型的坐标变换

   当我们用上述定义表示二次型时,如果基向量组变换,二次型的形式亦有所不同。具体而言,如果利用过渡矩阵 B 改变基向量组,由相似变换的知识可知,在新基下向量 v=B1v,那么新的二次型形式为:

(4)vTQv=(Bv)TQ(Bv)=vT(B)TQBv .
因此,新的二次型形式对应矩阵 Q=BTQB,这就是常说的合同变换。合同变换的结果是同一二次型在不同基下的表示2

定义 2 合同

   如果存在可逆方阵 C 使得

(5)B=CTAC 
则称矩阵 A,B 合同。

   可以证明合同关系是一种等价划分。即满足反身性、传递性与对称性,等价划分实际上是在划分不同的二次型,等价类内二次型有不同的矩阵形式而已。

定义 3 二次型的等价性

   给定线性空间的二次型 qi,如果 q1,q2 在某两个基下矩阵形式相同,则称这两个二次型等价。

   通过坐标变换,二次型可以简化为最简单的一种形式:对角矩阵。在对角矩阵下,二次型形式只有平方项,这就是所说的标准二次型。如果二次型 q 等价于标准二次型 p,那么称 pq标准形

   由于实对称矩阵总能通过合同变换化为对角矩阵。因此实数域上的二次型总有标准形。

定理 1 

   给定实数域上的二次型 VTQV,那么它总有标准形。

   由于合同变换的结果总为对称矩阵,因此证明过程相对简洁,只需要利用对角元,通过初等变换把上三角的非对角元部分化为 0 即可3

2. 二次型的正定性

   二次型正定意味着 f(v)>0,负定则意味着 f(v)<0。为了方便,我们可以进一步把实对称矩阵化为对角元为 ±1,非对角元为 0 的形式,比如想要把第 n 个对角化化为 ±1,则合同变换为第 n 列乘以 k 和第 n 行乘以 k,在实数域k2>0,因此二次型正定意味着对角元都为 1

   上述形式还意味着基向量组是 “标准正交” 的。比如“正定”即对角矩阵为 E,则二次型 vTQv=vTv

   因此,二次型实际上是同向量内积的推广。

   可以证明,二次型的 “正负号” 数量不会随基的改变而改变。

定理 2 惯性定理

   给定实数域R 上的有限维线性空间 V 和其上一个二次型 f。令 E={ei}F={θi}V 上的两组关于 f标准正交基Q,P 分别为 f{ei}{θi} 上的标准二次型。定义

(6)E+={eiEQii>0}E={eiEQii<0}E0={eiEQii=0} .
以及
(7)F+={eiEPii>0}F={eiEPii<0}F0={eiEPii=0} .
则必有
(8){E+=∣F+E=∣FSpanE0=SpanF0 .
上述的符号 表示集合内元素的数量,Span 表示集合元素张成的向量空间.

   Proof4. 为了证明方便,这里拓展二次型的概念到广义内积5,即对称双线性函数,这是为了符合内积的对称性 (v,w)=(w,v),以及线性 (v1+v2,w)=(v1,w)+(v2,w)。对称矩阵总能保证该性质成立。设 q(v)=vTQv,拓展至广义内积

(9)f(v,w)=vTQw .

   首先验证第三条,设 V1{uf(v,u)=0,vV},证明思路为 SpanE0=V1=SpanF0

   容易验证,SpanE0V1,现在通过反证法证明 V1SpanE0。假设 xV1,xSpanE0,则 v 必至少含有一个 E0 以外的基向量,设为 ei,因此 f(v,ei)=0,则与假设矛盾。所以 SpanE0=V1。由于内积结果和具体的基无关,同理可证 V1=SpanF0,则第三条得证。

   现在证明第一条,只需要否定 E+∣<∣F+E+∣>∣F+ 的情况即可。现在假设 E+∣<∣F+,这意味着 E0E+F+ 必然线性相关,不然整体维度会大于空间维度。 设 x0E0,x+E+,yF,由于线性相关,至少存在一组向量使得:

(10)x0+x++y=0 .
此时有 f(x0+x+,x0+x+)>0,但由上式得 f(x0+x+,x0+x+)=f(y,y)<0,矛盾,因此题设不成立。 同理可证第二种情况不成立。

   基于相同的思路,可以证明第三条在复数域下依然成立,而第一第二条不成立。 惯性定理让我们找到了实二次型合同变换中的基本不变量。一一般称对角元为 1 的数量为正惯性指数,从定义知这是该空间中内积为 1 的基向量数量;类似的,对角元为 1 的数量为负惯性指数。因此同一二次型在进行合同变换时不改变正负符号差、符号差、标准型的秩。


1. ^ 前提为:域的特征不为 2。因为特征为 2 的域有:-1=1
2. ^ f(v):VF 没有发生改变,虽然坐标不同,但还是同一个向量嘛
3. ^ 回顾初等变换,左乘可逆矩阵是行变换,右乘是列变换
4. ^ 引自 Jie Peter 的《代数学基础》
5. ^ 相对于常用的欧几里得空间内积


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