贡献者: 叶月2_
- 本文存在未完成的内容。
- 本篇放在线性代数第五章 线性方程组。
- 不知道初等变换在哪篇文章,需要加入到预备知识里
- 本篇最好加上一些应用实例,譬如几何上通过二次型简化方程,以及物理上的惯性张量(?)等等。
定义 1
二次型是关于变量的二次齐次多项式。即满足 ,对于任意 。比如:
容易验证,任意二次型都可以写为如下形式:
一般称矩阵 为二次型 的方阵形式。
二次型相应的指标表达式为 。矩阵元素 为结果中 的系数。由于 ,因此 为实际相应项的系数,满足该条件的矩阵可以有很多个。
但二次型总能对应唯一一个对称矩阵
1。
1. 二次型的坐标变换
当我们用上述定义表示二次型时,如果基向量组变换,二次型的形式亦有所不同。具体而言,如果利用过渡矩阵 改变基向量组,由相似变换的知识可知,在新基下向量 ,那么新的二次型形式为:
因此,新的二次型形式对应矩阵 ,这就是常说的合同变换。合同变换的结果是同一二次型在不同基下的表示
2。
定义 2 合同
如果存在可逆方阵 使得
则称矩阵 合同。
可以证明合同关系是一种等价划分。即满足反身性、传递性与对称性,等价划分实际上是在划分不同的二次型,等价类内二次型有不同的矩阵形式而已。
定义 3 二次型的等价性
给定线性空间的二次型 ,如果 在某两个基下矩阵形式相同,则称这两个二次型等价。
通过坐标变换,二次型可以简化为最简单的一种形式:对角矩阵。在对角矩阵下,二次型形式只有平方项,这就是所说的标准二次型。如果二次型
等价于标准二次型 ,那么称 是 的标准形。
由于实对称矩阵总能通过合同变换化为对角矩阵。因此实数域上的二次型总有标准形。
定理 1
给定实数域上的二次型 ,那么它总有标准形。
由于合同变换的结果总为对称矩阵,因此证明过程相对简洁,只需要利用对角元,通过初等变换把上三角的非对角元部分化为 0 即可3。
2. 二次型的正定性
二次型正定意味着 ,负定则意味着 。为了方便,我们可以进一步把实对称矩阵化为对角元为 ,非对角元为 的形式,比如想要把第 个对角化化为 ,则合同变换为第 列乘以 和第 行乘以 ,在实数域上 ,因此二次型正定意味着对角元都为 。
上述形式还意味着基向量组是 “标准正交” 的。比如“正定”即对角矩阵为 ,则二次型 。
因此,二次型实际上是同向量内积的推广。
可以证明,二次型的 “正负号” 数量不会随基的改变而改变。
定理 2 惯性定理
给定实数域 上的有限维线性空间 和其上一个二次型 。令 和 是 上的两组关于 的标准正交基, 分别为 在 和 上的标准二次型。定义
以及
则必有
上述的符号 表示集合内元素的数量, 表示集合元素张成的向量空间.
Proof4.
为了证明方便,这里拓展二次型的概念到广义内积5,即对称双线性函数,这是为了符合内积的对称性 ,以及线性 。对称矩阵总能保证该性质成立。设 ,拓展至广义内积
首先验证第三条,设 为 ,证明思路为 。
容易验证,,现在通过反证法证明 。假设 ,则 必至少含有一个 以外的基向量,设为 ,因此 ,则与假设矛盾。所以 。由于内积结果和具体的基无关,同理可证 ,则第三条得证。
现在证明第一条,只需要否定 和 的情况即可。现在假设 ,这意味着 必然线性相关,不然整体维度会大于空间维度。
设 ,由于线性相关,至少存在一组向量使得:
此时有 ,但由上式得 ,矛盾,因此题设不成立。
同理可证第二种情况不成立。
基于相同的思路,可以证明第三条在复数域下依然成立,而第一第二条不成立。
惯性定理让我们找到了实二次型合同变换中的基本不变量。一一般称对角元为 的数量为正惯性指数,从定义知这是该空间中内积为 的基向量数量;类似的,对角元为 的数量为负惯性指数。因此同一二次型在进行合同变换时不改变正负符号差、符号差、标准型的秩。
1. ^ 前提为:域的特征不为 2。因为特征为 2 的域有:-1=1
2. ^ 没有发生改变,虽然坐标不同,但还是同一个向量嘛
3. ^ 回顾初等变换,左乘可逆矩阵是行变换,右乘是列变换
4. ^ 引自 Jie Peter 的《代数学基础》
5. ^ 相对于常用的欧几里得空间内积
致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者
热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。