贡献者： 叶月2_
- 本文存在未完成的内容。
- 本篇放在线性代数第五章 线性方程组。
- 不知道初等变换在哪篇文章，需要加入到预备知识里
- 本篇最好加上一些应用实例，譬如几何上通过二次型简化方程，以及物理上的惯性张量（？）等等。
定义 1
二次型是关于变量的二次齐次多项式。即满足 $q(k \boldsymbol{\mathbf{v}} )=k^2 q( \boldsymbol{\mathbf{v}} )$，对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =(v_1,v_2...v_n),k\in \mathbb F$。比如：
\begin{equation}
q( \boldsymbol{\mathbf{v}} )=av_1x_2+bv_2v_1+cv_1^2+dv_2^2~.
\end{equation}
容易验证，任意二次型都可以写为如下形式：
\begin{equation}
q( \boldsymbol{\mathbf{v}} )= \boldsymbol{\mathbf{v}} ^TQ \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
一般称矩阵 $Q$ 为二次型 $q$ 的方阵形式。
二次型相应的指标表达式为 $q( \boldsymbol{\mathbf{v}} )=\sum\limits_{i,j}Q^i_j v^j v^i$。矩阵元素 $Q^i_j$ 为结果中 $v^j v^i$ 的系数。由于 $v^j v^i=v^i v^j$，因此 $Q^i_j+Q^j_i$ 为实际相应项的系数，满足该条件的矩阵可以有很多个。
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{ll}
x & y
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
0 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \\
= & x^2+2 x y+0 y x-y^2 \\
= & x^2+x y+y x-y^2 \\
= & \left(\begin{array}{ll}
x & y
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)
\end{aligned}~.
\end{equation}
但二次型总能对应唯一一个对称矩阵
1。
1. 二次型的坐标变换
当我们用上述定义表示二次型时，如果基向量组变换，二次型的形式亦有所不同。具体而言，如果利用过渡矩阵 $B$ 改变基向量组，由相似变换的知识可知，在新基下向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v'}} =B^{-1} \boldsymbol{\mathbf{v}} $，那么新的二次型形式为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} ^T Q \boldsymbol{\mathbf{v}} =(B \boldsymbol{\mathbf{v}} )^T Q(B \boldsymbol{\mathbf{v}} )= \boldsymbol{\mathbf{v}} ^T (B)^{T}QB \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
因此，新的二次型形式对应矩阵 $Q'=B^{T}QB$，这就是常说的合同变换。合同变换的结果是同一二次型在不同基下的表示
2。
定义 2 合同
如果存在可逆方阵 $C$ 使得
\begin{equation}
B=C^T AC~
\end{equation}
则称矩阵 $A,B$ 合同。
可以证明合同关系是一种等价划分。即满足反身性、传递性与对称性，等价划分实际上是在划分不同的二次型，等价类内二次型有不同的矩阵形式而已。
定义 3 二次型的等价性
给定线性空间的二次型 $q_i$，如果 $q_1,q_2$ 在某两个基下矩阵形式相同，则称这两个二次型等价。
通过坐标变换，二次型可以简化为最简单的一种形式：对角矩阵。在对角矩阵下，二次型形式只有平方项，这就是所说的标准二次型。如果二次型 $q$
等价于标准二次型 $p$，那么称 $p$ 是 $q$ 的标准形。
由于实对称矩阵总能通过合同变换化为对角矩阵。因此实数域上的二次型总有标准形。
定理 1
给定实数域上的二次型 $V^T QV$，那么它总有标准形。
由于合同变换的结果总为对称矩阵，因此证明过程相对简洁，只需要利用对角元，通过初等变换把上三角的非对角元部分化为 0 即可3。
2. 二次型的正定性
二次型正定意味着 $f( \boldsymbol{\mathbf{v}} )>0$，负定则意味着 $f( \boldsymbol{\mathbf{v}} )< 0$。为了方便，我们可以进一步把实对称矩阵化为对角元为 $\pm 1$，非对角元为 $0$ 的形式，比如想要把第 $n$ 个对角化化为 $\pm 1$，则合同变换为第 $n$ 列乘以 $k$ 和第 $n$ 行乘以 $k$，在实数域上 $k^2>0$，因此二次型正定意味着对角元都为 $1$。
上述形式还意味着基向量组是 “标准正交” 的。比如“正定”即对角矩阵为 $E$，则二次型 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^{T}Q \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} ^{T} \boldsymbol{\mathbf{v}} $。
因此，二次型实际上是同向量内积的推广。
可以证明，二次型的 “正负号” 数量不会随基的改变而改变。
定理 2 惯性定理
给定实数域$\mathbb R$ 上的有限维线性空间 $V$ 和其上一个二次型 $f$。令 $E=\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 和 $F=\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}$ 是 $V$ 上的两组关于 $f$ 的标准正交基，$Q,P$ 分别为 $f$ 在 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}$ 上的标准二次型。定义
\begin{equation}
\begin{aligned}
E^{+} & =\left\{\mathbf{e}_i \in E \mid Q^i_i>0\right\} \\
E^{-} & =\left\{\mathbf{e}_i \in E \mid Q^i_i<0\right\} \\
E^0 & =\left\{\mathbf{e}_i \in E \mid Q^i_i=0\right\}
\end{aligned}~.
\end{equation}
以及
\begin{equation}
\begin{aligned}
F^{+} & =\left\{\mathbf{e}_i \in E \mid P^i_i>0\right\} \\
F^{-} & =\left\{\mathbf{e}_i \in E \mid P^i_i<0\right\} \\
F^0 & =\left\{\mathbf{e}_i \in E \mid P^i_i=0\right\}
\end{aligned}~.
\end{equation}
则必有
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\mid E^{+}\mid&=\mid F^{+}\mid\\
\mid E^{-}\mid&=\mid F^{-}\mid\\
\operatorname {Span}\, E^{0}&= \operatorname {Span}\, F^{0}\\
\end{aligned}\right.~.
\end{equation}
上述的符号 $\mid \quad\mid$ 表示集合内元素的数量，$ \operatorname {Span}$ 表示集合元素张成的向量空间.
Proof4.
为了证明方便，这里拓展二次型的概念到广义内积5，即对称双线性函数，这是为了符合内积的对称性 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{w}} )=( \boldsymbol{\mathbf{w}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} )$，以及线性 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, \boldsymbol{\mathbf{w}} )=( \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{w}} )+( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, \boldsymbol{\mathbf{w}} )$。对称矩阵总能保证该性质成立。设 $q( \boldsymbol{\mathbf{v}} )=v^T Q v$，拓展至广义内积
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{w}} )=v^T Q w~.
\end{equation}
首先验证第三条，设 $V_1$ 为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{u}} \mid f( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} )=0,\forall \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V\}$，证明思路为 $ \operatorname {Span}E_0=V_1= \operatorname {Span}F_0$。
容易验证，$ \operatorname {Span}E_0\subseteq V_1$，现在通过反证法证明 $ V_1\subseteq \operatorname {Span}E_0$。假设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V_1, \boldsymbol{\mathbf{x}} \notin \operatorname {Span}E_0$，则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 必至少含有一个 $E^0$ 以外的基向量，设为 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$，因此 $f( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=0$，则与假设矛盾。所以 $ \operatorname {Span}E_0=V_1$。由于内积结果和具体的基无关，同理可证 $V_1= \operatorname {Span}F_0$，则第三条得证。
现在证明第一条，只需要否定 $\mid E^{+}\mid<\mid F^{+}\mid$ 和 $\mid E^{+}\mid>\mid F^{+}\mid$ 的情况即可。现在假设 $\mid E^{+}\mid<\mid F^{+}\mid$，这意味着 $E^0\cup E^{+} \cup F^{+}$ 必然线性相关，不然整体维度会大于空间维度。
设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^0\in E^0, \boldsymbol{\mathbf{x}} ^+\in E^{+}, \boldsymbol{\mathbf{y}} ^{-}\in F^{-}$，由于线性相关，至少存在一组向量使得：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} ^0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{+}+ \boldsymbol{\mathbf{y}} ^{-}=0~.
\end{equation}
此时有 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{+}, \boldsymbol{\mathbf{x}} ^0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{+})> 0$，但由上式得 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{+}, \boldsymbol{\mathbf{x}} ^0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{+})=f(- \boldsymbol{\mathbf{y}} ^{-},- \boldsymbol{\mathbf{y}} ^{-})< 0$，矛盾，因此题设不成立。
同理可证第二种情况不成立。
基于相同的思路，可以证明第三条在复数域下依然成立，而第一第二条不成立。
惯性定理让我们找到了实二次型合同变换中的基本不变量。一一般称对角元为 $1$ 的数量为正惯性指数，从定义知这是该空间中内积为 $1$ 的基向量数量；类似的，对角元为 $-1$ 的数量为负惯性指数。因此同一二次型在进行合同变换时不改变正负符号差、符号差、标准型的秩。
1. ^ 前提为：域的特征不为 2。因为特征为 2 的域有：-1=1
2. ^ $f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ):V\rightarrow \mathbb F$ 没有发生改变，虽然坐标不同，但还是同一个向量嘛
3. ^ 回顾初等变换，左乘可逆矩阵是行变换，右乘是列变换
4. ^ 引自 Jie Peter 的《代数学基础》
5. ^ 相对于常用的欧几里得空间内积
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