二次型（线性代数）

贡献者：叶月2_

本文存在未完成的内容。

本篇放在线性代数第五章线性方程组。
不知道初等变换在哪篇文章，需要加入到预备知识里
本篇最好加上一些应用实例，譬如几何上通过二次型简化方程，以及物理上的惯性张量（？）等等。

预备知识　集合的基数

定义 1　

　　二次型是关于变量的二次齐次多项式。即满足 $q (k v) = k^{2} q (v)$ ，对于任意 $v = (v_{1}, v_{2} . . . v_{n}), k \in F$ 。比如：

\begin{matrix} (1) & q (v) = a v_{1} x_{2} + b v_{2} v_{1} + c v_{1}^{2} + d v_{2}^{2} . \end{matrix}

容易验证，任意二次型都可以写为如下形式：

\begin{matrix} (2) & q (v) = v^{T} Q v . \end{matrix}

一般称矩阵

Q

为二次型

q

的方阵形式。

　　二次型相应的指标表达式为 $q (v) = \sum_{i, j} Q_{j}^{i} v^{j} v^{i}$ 。矩阵元素 $Q_{j}^{i}$ 为结果中 $v^{j} v^{i}$ 的系数。由于 $v^{j} v^{i} = v^{i} v^{j}$ ，因此 $Q_{j}^{i} + Q_{i}^{j}$ 为实际相应项的系数，满足该条件的矩阵可以有很多个。

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} (\begin{array}{ll} x & y \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & - 1 \end{array}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \\ = & x^{2} + 2 x y + 0 y x - y^{2} \\ = & x^{2} + x y + y x - y^{2} \\ = & (\begin{array}{ll} x & y \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \end{aligned} . \end{matrix}

但二次型总能对应唯一一个对称矩阵¹。

1. 二次型的坐标变换

　　当我们用上述定义表示二次型时，如果基向量组变换，二次型的形式亦有所不同。具体而言，如果利用过渡矩阵 $B$ 改变基向量组，由相似变换的知识可知，在新基下向量 $v^{'} = B^{- 1} v$ ，那么新的二次型形式为：

\begin{matrix} (4) & v^{T} Q v = (B v)^{T} Q (B v) = v^{T} (B)^{T} Q B v . \end{matrix}

因此，新的二次型形式对应矩阵

Q^{'} = B^{T} Q B

，这就是常说的合同变换。合同变换的结果是同一二次型在不同基下的表示²。

定义 2　合同

　　如果存在可逆方阵 $C$ 使得

\begin{matrix} (5) & B = C^{T} A C \end{matrix}

则称矩阵

A, B

合同。

　　可以证明合同关系是一种等价划分。即满足反身性、传递性与对称性，等价划分实际上是在划分不同的二次型，等价类内二次型有不同的矩阵形式而已。

定义 3　二次型的等价性

　　给定线性空间的二次型 $q_{i}$ ，如果 $q_{1}, q_{2}$ 在某两个基下矩阵形式相同，则称这两个二次型等价。

　　通过坐标变换，二次型可以简化为最简单的一种形式：对角矩阵。在对角矩阵下，二次型形式只有平方项，这就是所说的标准二次型。如果二次型 $q$ 等价于标准二次型 $p$ ，那么称 $p$ 是 $q$ 的标准形。

　　由于实对称矩阵总能通过合同变换化为对角矩阵。因此实数域上的二次型总有标准形。

定理 1　

　　给定实数域上的二次型 $V^{T} Q V$ ，那么它总有标准形。

　　由于合同变换的结果总为对称矩阵，因此证明过程相对简洁，只需要利用对角元，通过初等变换把上三角的非对角元部分化为 0 即可³。

2. 二次型的正定性

　　二次型正定意味着 $f (v) > 0$ ，负定则意味着 $f (v) < 0$ 。为了方便，我们可以进一步把实对称矩阵化为对角元为 $\pm 1$ ，非对角元为 $0$ 的形式，比如想要把第 $n$ 个对角化化为 $\pm 1$ ，则合同变换为第 $n$ 列乘以 $k$ 和第 $n$ 行乘以 $k$ ，在实数域上 $k^{2} > 0$ ，因此二次型正定意味着对角元都为 $1$ 。

　　上述形式还意味着基向量组是 “标准正交” 的。比如“正定”即对角矩阵为 $E$ ，则二次型 $v^{T} Q v = v^{T} v$ 。

　　因此，二次型实际上是同向量内积的推广。

　　可以证明，二次型的 “正负号” 数量不会随基的改变而改变。

定理 2　惯性定理

　　给定实数域 $R$ 上的有限维线性空间 $V$ 和其上一个二次型 $f$ 。令 $E = {e_{i}}$ 和 $F = {θ_{i}}$ 是 $V$ 上的两组关于 $f$ 的标准正交基， $Q, P$ 分别为 $f$ 在 ${e_{i}}$ 和 ${θ_{i}}$ 上的标准二次型。定义

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} E^{+} & = {e_{i} \in E ∣ Q_{i}^{i} > 0} \\ E^{-} & = {e_{i} \in E ∣ Q_{i}^{i} < 0} \\ E^{0} & = {e_{i} \in E ∣ Q_{i}^{i} = 0} \end{aligned} . \end{matrix}

以及

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} F^{+} & = {e_{i} \in E ∣ P_{i}^{i} > 0} \\ F^{-} & = {e_{i} \in E ∣ P_{i}^{i} < 0} \\ F^{0} & = {e_{i} \in E ∣ P_{i}^{i} = 0} \end{aligned} . \end{matrix}

则必有

\begin{matrix} (8) & {\begin{aligned} ∣ E^{+} ∣ & =∣ F^{+} ∣ \\ ∣ E^{-} ∣ & =∣ F^{-} ∣ \\ Span E^{0} & = Span F^{0} \end{aligned} . \end{matrix}

上述的符号

∣ ∣

表示集合内元素的数量，

Span

表示集合元素张成的向量空间.

　　 Proof⁴. 为了证明方便，这里拓展二次型的概念到广义内积⁵，即对称双线性函数，这是为了符合内积的对称性 $(v, w) = (w, v)$ ，以及线性 $(v_{1} + v_{2}, w) = (v_{1}, w) + (v_{2}, w)$ 。对称矩阵总能保证该性质成立。设 $q (v) = v^{T} Q v$ ，拓展至广义内积

\begin{matrix} (9) & f (v, w) = v^{T} Q w . \end{matrix}

　　首先验证第三条，设 $V_{1}$ 为 ${u ∣ f (v, u) = 0, \forall v \in V}$ ，证明思路为 $Span E_{0} = V_{1} = Span F_{0}$ 。

　　容易验证， $Span E_{0} \subseteq V_{1}$ ，现在通过反证法证明 $V_{1} \subseteq Span E_{0}$ 。假设 $x \in V_{1}, x \notin Span E_{0}$ ，则 $v$ 必至少含有一个 $E^{0}$ 以外的基向量，设为 $e_{i}$ ，因此 $f (v, e_{i}) = 0$ ，则与假设矛盾。所以 $Span E_{0} = V_{1}$ 。由于内积结果和具体的基无关，同理可证 $V_{1} = Span F_{0}$ ，则第三条得证。

　　现在证明第一条，只需要否定 $∣ E^{+} ∣<∣ F^{+} ∣$ 和 $∣ E^{+} ∣>∣ F^{+} ∣$ 的情况即可。现在假设 $∣ E^{+} ∣<∣ F^{+} ∣$ ，这意味着 $E^{0} \cup E^{+} \cup F^{+}$ 必然线性相关，不然整体维度会大于空间维度。设 $x^{0} \in E^{0}, x^{+} \in E^{+}, y^{-} \in F^{-}$ ，由于线性相关，至少存在一组向量使得：

\begin{matrix} (10) & x^{0} + x^{+} + y^{-} = 0 . \end{matrix}

此时有

f (x^{0} + x^{+}, x^{0} + x^{+}) > 0

，但由上式得

f (x^{0} + x^{+}, x^{0} + x^{+}) = f (- y^{-}, - y^{-}) < 0

，矛盾，因此题设不成立。同理可证第二种情况不成立。

　　基于相同的思路，可以证明第三条在复数域下依然成立，而第一第二条不成立。惯性定理让我们找到了实二次型合同变换中的基本不变量。一一般称对角元为 $1$ 的数量为正惯性指数，从定义知这是该空间中内积为 $1$ 的基向量数量；类似的，对角元为 $- 1$ 的数量为负惯性指数。因此同一二次型在进行合同变换时不改变正负符号差、符号差、标准型的秩。

1. ^ 前提为：域的特征不为 2。因为特征为 2 的域有：-1=1
2. ^ $f (v) : V \to F$ 没有发生改变，虽然坐标不同，但还是同一个向量嘛
3. ^ 回顾初等变换，左乘可逆矩阵是行变换，右乘是列变换
4. ^ 引自 Jie Peter 的《代数学基础》
5. ^ 相对于常用的欧几里得空间内积

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二次型（线性代数）

定义 1

1. 二次型的坐标变换

定义 2 合同

定义 3 二次型的等价性

定理 1

2. 二次型的正定性

定理 2 惯性定理

定义 1　

定义 2　合同

定义 3　二次型的等价性

定理 1　

定理 2　惯性定理