Hermite 多项式

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

　　¹埃尔米特（Hermite）多项式。

图 1：Hermite 多项式（来自 Wikipedia）

\begin{equation} H_n(x) \equiv (- 1)^n \mathrm{e} ^{x^2} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}{x}^{n}} \left( \mathrm{e} ^{-x^2} \right) ~. \end{equation}

前 6 阶 Hermite 多项式分别为

\begin{equation} \begin{array}{l} H_0(x) = 1\\ H_1(x) = 2x\\ H_2(x) = 4x^2 - 2 \end{array} \qquad \begin{array}{l} H_3(x) = 8x^3 - 12x\\ H_4(x) = 16x^4 - 48x^2 + 12\\ H_5(x) = 32x^5 - 160x^3 + 120x~, \end{array} \end{equation}

更高阶的 Hermite 多项式也可以用 Mathematica 函数 HermiteH[n, x] 或 Matlab 函数 hermiteH(n, x)（需要符号计算工具箱）计算。

1. 性质

　　 正交性

\begin{equation}\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x) \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\pi}2^n n! \delta_{m,n}~. \end{equation}

其中 $ \mathrm{e} ^{-x^2}$ 被称为权函数。

1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面。

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