Hermite 多项式

                     

贡献者: addis

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  1埃尔米特(Hermite)多项式.

图
图 1:Hermite 多项式(来自 Wikipedia)

\begin{equation} H_n(x) \equiv (- 1)^n \mathrm{e} ^{x^2} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}{x}^{n}} \left( \mathrm{e} ^{-x^2} \right) \end{equation}
前 6 阶 Hermite 多项式分别为
\begin{equation} \begin{array}{l} H_0(x) = 1\\ H_1(x) = 2x\\ H_2(x) = 4x^2 - 2 \end{array} \qquad \begin{array}{l} H_3(x) = 8x^3 - 12x\\ H_4(x) = 16x^4 - 48x^2 + 12\\ H_5(x) = 32x^5 - 160x^3 + 120x \end{array} \end{equation}
更高阶的 Hermite 多项式也可以用 Mathematica 函数 HermiteH[n, x] 或 Matlab 函数 hermiteH(n, x)(需要符号计算工具箱)计算.

1. 性质

   正交性

\begin{equation}\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x) \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\pi}2^n n! \delta_{m,n} \end{equation}
其中 $ \mathrm{e} ^{-x^2}$ 被称为权函数.


1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面


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