贡献者： 待更新
1. 中心思想
一系统与热源达到平衡，热源温度为 $T$， 化学势为 $\mu $， 那么系统在任意一个包含 $N$ 个粒子，能量 $E$ 的非简并状态的概率为
\begin{equation}
\frac{ \mathrm{e} ^{(\mu N - E)/(kT)}}{\Xi }
\end{equation}
其中，巨配分函数使所有状态的概率之和为一，起到归一化的作用．
\begin{equation}
\Xi = \sum_{N} \sum_i \mathrm{e} ^{(\mu N - E_i)/(kT)}
\end{equation}
2. 推导
3. “能级导向”
\begin{equation} \begin{aligned}
\Xi & = \sum_{N=1}^\infty \sum_{\{n_i\}}^* \exp\left(N\mu - \sum_{i=1}^\infty n_i \varepsilon_i\right) \beta
= \sum_{N=1}^\infty \sum_{\{n_i\}}^* z^N \prod_{i=0}^\infty \left( \mathrm{e} ^{-\varepsilon_i\beta} \right) ^{n_i}\\
&= \sum_{N=1}^\infty \sum_{\{n_i\}}^* \prod_{i=0}^\infty \left(z \mathrm{e} ^{-\varepsilon_i \beta} \right) ^{n_i}
= \sum_{n_1}^* \sum_{n_2}^* \dots \prod_{i=0}^\infty \left(z \mathrm{e} ^{-\varepsilon_i \beta} \right) ^{n_i}\\
&= \sum_{n_1}^* \left(z \mathrm{e} ^{-\varepsilon_i\beta} \right) ^{n_1} \sum_{n_2}^* \left(z \mathrm{e} ^{ -\varepsilon_i\beta} \right) ^{n_2}\dots
= \prod_i^\infty \sum_{n_i}^* \left(z \mathrm{e} ^{-\varepsilon_i \beta } \right) ^{n_i}
\end{aligned} \end{equation}
4. 系统的热力学性质
由最大概率项假设，
\begin{equation}
1 = \frac{\Omega \mathrm{e} ^{(\mu N - E)/(kT)}}{\Xi}
= \frac{ \mathrm{e} ^{S/k} \mathrm{e} ^{(\mu N - E)/(kT)}}{\Xi}
\end{equation}
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{S/k} \mathrm{e} ^{(\mu N - E)/(kT)} = \Xi
\end{equation}
\begin{equation}
E - ST - \mu N = - kT\ln \Xi
\end{equation}
令 $\Phi = - kT\ln \Xi $ 叫做
巨势
\begin{equation}
\Phi = E - ST - \mu N
\end{equation}
\begin{equation}
\Phi = E - ST - \mu N = F - G = E - ST - (E - ST + PV) = - PV
\end{equation}
考虑到 $ \,\mathrm{d}{E} = T \,\mathrm{d}{S} - P \,\mathrm{d}{V} + \mu \,\mathrm{d}{N} $
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\Phi} = -P \,\mathrm{d}{V} - S \,\mathrm{d}{T} - N \,\mathrm{d}{\mu}
\end{equation}
所以
\begin{equation}
S = - \left( \frac{\partial \Phi}{\partial T} \right) _{V,\mu } \qquad
N = - \left( \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right) _{V,T} \qquad
P = - \left( \frac{\partial \Phi}{\partial V} \right) _{T,\mu}
\end{equation}
另外有一个求能级分布的公式
\begin{equation}
\left\langle n_i \right\rangle = \frac{1}{\Xi} \sum_{N=1}^\infty \sum_{\{n_i\}}^* n_i \exp\left(N\mu - \sum_{i=1}^\infty n_i \varepsilon_i\right) \beta = -\frac{1}{\beta \Xi } \frac{\partial \Xi}{\partial \varepsilon_i} = - kT \frac{\partial}{\partial{\varepsilon_i}} \ln \Xi = \frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon_i}
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。