狄利克雷卷积(数论)

                     

贡献者: int256

预备知识 数论函数

定义 1 Dirichlet 卷积(数论卷积)

   定义两个数论函数 $f(n)$, $g(n)$ 的狄利克雷卷积(Dirichlet Convolution) 为 $h(n)$ 如下,

\begin{equation} h(n) = f(n) * g(n) = \sum_{d|n}\left(f(d) g(n/d)\right) ~. \end{equation}
Dirichlet 卷积又被称为数论卷积。

   根据定义,还可将 $h(n) = f(n) * g(n)$ 表示为,

\begin{equation} h(n) = \sum_{uv = n} (f(u) g(v)) ~. \end{equation}

1. Dirichlet 卷积的性质

  1. 结合律:$(f*g)*h = f*(g*h)$。
  2. 交换律:$f*g = g*f$。
  3. 分配律:$(f+g)*h = f*h + g*h$。
  4. 单位元是单位函数 $\varepsilon(n)$,满足对于任意数论函数 $f(n)$,$f(n)*\varepsilon(n) = f(n)$。单位函数的定义为 $\varepsilon(1)=1$,其余情况 $\varepsilon(n) = 0$。
  5. 若 $f(n)$, $g(n)$ 都是积性的,则 $h = f*g$ 也是积性的。

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