平行移动

                     

贡献者: 零穹

预备知识 曲线坐标系下的张量坐标变换(仿射空间)

   在仿射空间 $(\mathbb A,V)$ 中,任一点都可看成 $V$ 与 $\mathbb A$ 之间的双射(式 3 ).这就是相当于在仿射空间中的任一点可作出任一给定的矢量.如此便有这样的问题出现:在区域 $\Omega\in\mathbb A$ 取曲线坐标 $x^i$ 时,如何在任一点作出一已知矢量.设已知矢量 $v_0$ 在点 $M_0$ 的坐标为 $v_0^i$,现要求从另一点 $M_1$ 作出这个矢量.这就是说,我们必须确定:如何变更 $v_0^i$,以便在 $M_1$ 的局部标架中,使它们能定出以前的矢量 $v_0$.

   如果将 $v_0$ 不经过任何中间点而从 $M_0$ 直接移到 $M_1$ 上,则问题的解答就失去了意义.值得注意的是矢量 $v_0$ 沿任一曲线 $\overset{\Huge\frown}{M_0M_1}$ 的连续移动,且坐标 $v_0^i$ 在路径上每一无限小段上连续变化的过程,即平行移动

1. 平行移动公式

   设路径 $\overset{\Huge\frown}{M_0M_1}$ 的参数方程为

\begin{equation} x^i=x^i(t),\quad t_0\leq t\leq t_1 \end{equation}
式中 $x^i(t)$ 是连续可微的函数.于是曲线上一点的向径 $x$ 是 $t$ 的函数
\begin{equation} x=x(t) \end{equation}
$v_0$ 在路径上平行移动就是要在路径上每一点 $M(t)$ 作一常矢量 $v_0$.由于局部标架(定义 4 )随点而变化,因而矢量 $v_0$ 的坐标 $v^i$ 也随点的位置而变,所以
\begin{equation} v^i=v^i(t) \end{equation}
因为 $x^i(t)$ 是连续可微的,因此局部标架的矢量 $\partial_i x(x^1,\cdots,x^n)$ 以及 $v^i$ 沿此路径是 $t$ 的连续可微函数.

   在点 $M(t)$ 处,按该处局部标架展开矢量 $v_0$:

\begin{equation} v_0=v^i(t)\partial_i x(x^1,\cdots,x^n) \end{equation}
注意,这里 $x^i$ 是依赖于路径参数 $t$ 的.关于 $t$ 逐项微分,因为 $v_0$ 是给定的,即是常矢量,得
\begin{equation} 0= \,\mathrm{d}{v} ^i\partial_i x+v^i \,\mathrm{d}{\partial} _i x \end{equation}
由全微分公式得
\begin{equation} \,\mathrm{d}{\partial} _i x(x^1,\cdots,x^n)=\partial_{ij}x \,\mathrm{d}{x} ^j \end{equation}
其中
\begin{equation} \partial_{ij}x= \frac{\partial x(x^1,\cdots,x^n)}{\partial x^i\partial x^j} \end{equation}
是在 $M(t)$ 处确定的矢量,按该点的局部标架展开,其系数记为 $\Gamma^k_{ij}$,于是
\begin{equation} \partial_{ij}x=\Gamma^k_{ij}\partial_k x \end{equation}
由 $\partial_{ij} x=\partial_{ji} x$,且按标架矢量展开的唯一性,得
\begin{equation} \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} \end{equation}
$\Gamma^k_{ij}$ 显然依赖于点 $M(t)$,即
\begin{equation} \Gamma^k_{ij}(M)=\Gamma^k_{ij}(x^1,\cdots,x^n) \end{equation}

   联立式 5 式 6 式 8 ,就有

\begin{equation} 0= \,\mathrm{d}{v} ^i\partial_i x+v^i\Gamma^k_{ij}\partial_k x \,\mathrm{d}{x} ^j \end{equation}
由于标架矢量 $\partial_i x$ 的线性无关性,故
\begin{equation} \,\mathrm{d}{v} ^i+\Gamma^i_{jk}v^j \,\mathrm{d}{x} ^k=0 \end{equation}
上式或记作
\begin{equation} \,\mathrm{d}{v} ^i=-\Gamma^i_{jk}v^j \,\mathrm{d}{x} ^k \end{equation}

定义 1 平行移动公式

   称式 12 式 13 为矢量的平行移动公式

2. 联络系数

   平行移动公式回答了开头的问题:若在已知点 $M(x^i)$ 处一矢量 $v_0$ 坐标为 $v_0^i$,则在无限接近的一点 $M'(x^i+ \,\mathrm{d}{x} ^i)$ 处作出这个矢量 $v_0$,其坐标为 $v^i=v_0^i+ \,\mathrm{d}{v} ^i=v_0^i-\Gamma^i_{jk}v^j \,\mathrm{d}{x} ^k$.当沿路径 $\overset{\Huge\frown}{M_0M_1}$ 移动时,则只需把对应的微分方程组进行积分.

   当然,我们并没有精确解决这一问题,而是只保留了一阶无穷小,更正确地说,平行移动公式所表达出的不是坐标 $v^i$ 当 $M$ 变到 $M'$ 时的增量,而是它们的微分.

   从平行移动公式中,我们看到:借助系数 $\Gamma^i_{jk}$ 点 $M$ 的各矢量与点 $M'$ 的各矢量相联系着.因此,系数 $\Gamma^i_{jk}$ 称为联络系数

定义 2 联络系数

   称平行移动公式式 13 中的系数 $\Gamma^i_{jk}$ 为联络系数

定理 1 曲线坐标为仿射坐标的条件

   在区域 $\Omega$ 中,曲线坐标为仿射坐标的充要条件是:在该曲线坐标下的联络系数 $\Gamma^k_{ij}$ 恒等于 0.

   证明:

   1.必要性

   设曲线坐标 $x^i$ 为仿射坐标,则 $\partial_i x=e_i$ 是恒定的,于是

\begin{equation} \partial_{ij} x=\partial_j e_i=0 \end{equation}
式 8
\begin{equation} \Gamma^k_{ij}=0 \end{equation}

   2.充分性

   设在任一曲线坐标 $x^i$ 中,$\Gamma^k_{ij}=0$,由式 8

\begin{equation} \partial_{ij}x=0,\quad \partial_i x=\mathrm{constant} \end{equation}
这就是说标架基矢为常矢量,即曲线坐标是仿射坐标.

   证毕!


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