平行移动

                     

贡献者： 零穹

　　 在仿射空间 $(\mathbb{A},V)$ 中，任一点都可看成 $V$ 与 $\mathbb{A}$ 之间的双射（式 3 ）。这就是相当于在仿射空间中的任一点可作出任一给定的矢量。如此便有这样的问题出现：在区域 $\mathrm{\Omega }\in \mathbb{A}$ 取曲线坐标 $x^i$ 时，如何在任一点作出一已知矢量。设已知矢量 $v_0$ 在点 $M_0$ 的坐标为 $v_0^i$，现要求从另一点 $M_1$ 作出这个矢量。这就是说，我们必须确定：如何变更 $v_0^i$，以便在 $M_1$ 的局部标架中，使它们能定出以前的矢量 $v_0$。

　　 如果将 $v_0$ 不经过任何中间点而从 $M_0$ 直接移到 $M_1$ 上，则问题的解答就失去了意义。值得注意的是矢量 $v_0$ 沿任一曲线 $\stackrel{⌢}{M_0{M}_1}$ 的连续移动，且坐标 $v_0^i$ 在路径上每一无限小段上连续变化的过程，即平行移动。

1. 平行移动公式

　　 设路径 $\stackrel{⌢}{M_0{M}_1}$ 的参数方程为

式中 $x^i(t)$ 是连续可微的函数。于是曲线上一点的向径 $x$ 是 $t$ 的函数 $v_0$ 在路径上平行移动就是要在路径上每一点 $M(t)$ 作一常矢量 $v_0$。由于局部标架（定义 4 ）随点而变化，因而矢量 $v_0$ 的坐标 $v^i$ 也随点的位置而变，所以 因为 $x^i(t)$ 是连续可微的，因此局部标架的矢量 ${\partial }_{i}x(x^1,\cdots ,x^n)$ 以及 $v^i$ 沿此路径是 $t$ 的连续可微函数。

　　 在点 $M(t)$ 处，按该处局部标架展开矢量 $v_0$：

注意，这里 $x^i$ 是依赖于路径参数 $t$ 的。关于 $t$ 逐项微分，因为 $v_0$ 是给定的，即是常矢量，得 由全微分公式得 其中 是在 $M(t)$ 处确定的矢量，按该点的局部标架展开，其系数记为 ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$，于是 由 ${\partial }_{ij}x={\partial }_{ji}x$，且按标架矢量展开的唯一性，得 ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ 显然依赖于点 $M(t)$，即

　　 联立式 5 ，式 6 和式 8 ，就有

由于标架矢量 ${\partial }_{i}x$ 的线性无关性，故 上式或记作

2. 联络系数

　　 平行移动公式回答了开头的问题：若在已知点 $M(x^i)$ 处一矢量 $v_0$ 坐标为 $v_0^i$，则在无限接近的一点 $M^{\prime }(x^i+\mathrm{d}{x}^i)$ 处作出这个矢量 $v_0$，其坐标为 $v^i=v_0^i+\mathrm{d}{v}^i=v_0^i-{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{v}_0^j\mathrm{d}{x}^k$。当沿路径 $\stackrel{⌢}{M_0{M}_1}$ 移动时，则只需把对应的微分方程组进行积分。

　　 当然，我们并没有精确解决这一问题，而是只保留了一阶无穷小，更正确地说，平行移动公式所表达出的不是坐标 $v^i$ 当 $M$ 变到 $M^{\prime }$ 时的增量，而是它们的微分。

　　 从平行移动公式中，我们看到：借助系数 ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i$ 点 $M$ 的各矢量与点 $M^{\prime }$ 的各矢量相联系着。因此，系数 ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i$ 称为联络系数。

　　 证明：

　　 1。必要性

　　 设曲线坐标 $x^i$ 为仿射坐标，则 ${\partial }_{i}x=e_i$ 是恒定的，于是

由式 8

　　 2。充分性

　　 设在任一曲线坐标 $x^i$ 中，${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=0$，由式 8

这就是说标架基矢为常矢量，即曲线坐标是仿射坐标。

　　 证毕！