仿射空间中的曲线坐标系

                     

贡献者: 零穹

预备知识 仿射空间

1. 曲线坐标系

   设 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\}$ 是仿射空间 $\mathbb A$ 中的坐标系.则对其上任一点 $M$,其坐标为矢量 $\overrightarrow{OM}=x^i e_i$ 的坐标(采取坐标和基矢指标的对立约定及爱因斯坦求和约定).若选择一新坐标系 $\{\dot o';e'_1,\cdots,e'_n\}$,则点的坐标变换规则为(定理 4

\begin{equation} x'^i={B^i}_jx^j-{B^i}_j b^j \end{equation}
其中,${B^i}_j$ 是基 $\{e_1,\cdots,e_n\}$ 到基 $\{e'_1,\cdots,e'_n\}$ 的转换矩阵 ${A^i}_j$ 的逆矩阵.而 $b^i$ 是 $\dot o'$ 在旧坐标系 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\}$ 中的坐标.

   到目前为止,点的描述都是在仿射坐标(即对应基底 $\{e_i\}$ 的坐标)下进行的,下面将建立曲线坐标的概念来描述点的坐标.为描述方便,先引进仿射空间中领域和 $n$ 维区域的概念.

定义 1 领域,$n$ 维区域

   设 $\mathbb A$ 是 $n$ 维仿射空间,点 $M=x^ie_i\in\mathbb A$ 的 $\delta$ 领域是指坐标满足

\begin{equation} \sum_{i}^n(x'^i-x^i)^2 < \delta^2 \end{equation}
的所有点 $M'=x'^i e_i$ 构成的集合.

   若 $\Omega$ 是 $\mathbb A$ 中这样一个集合:对 $\Omega$ 中任一点 $M$,必有 $M$ 的某个领域也属于 $\Omega$.则称 $\Omega$ 是 $\mathbb A$ 中的 $n$ 维区域.若区域 $\Omega$ 中任一点都可连续的变动到 $\Omega$ 中的另一点,即一点的坐标连续变化到另一点的坐标,则区域 $\Omega$ 称为连通的

   凡提到区域总是指连通区域.

定义 2 曲线坐标

   设 $\Omega\in\mathbb A$ 是一 $n$ 维连通区域,在其上给定仿射坐标的 $n$ 个连续可微的单值函数 $f_k(x^1,\cdots,x^n)$($k=1,\cdots,n$),且函数组 $\{f_i\}$ 是可逆的.则新定义的变量

\begin{equation} x'^i=f_i(x^1,\cdots,x^n),\quad i=1,\cdots,n \end{equation}
称为 $\Omega$ 上的曲线坐标

   注:函数组 $\{f_i\}$ 的可逆性意味着

\begin{equation} x^i=g_i(x'^1,\cdots,x'^n),\quad i=1,\cdots,n \end{equation}
且 $g_i$ 也是连续可微的单值函数,且函数组 $\{g_i\}$ 也是可逆的.所谓的连续可微,是指具有直到某一阶数 $N$ 的连续偏导数.通常并不预先说明具体的 $N$ 值,而是简单地写出已知阶的导数就表明假定这些导数的存在和连续.

定理 1 

   设

\begin{equation} x'^i=f_i(x^1,\cdots,x^n),\quad i=1,\cdots,n \end{equation}
是区域 $\Omega$ 的曲线坐标,则正逆变换的雅可比行列式均不为 0:
\begin{equation} \det \left\lvert \frac{\partial x'^i}{\partial x^j} \right\rvert \neq0;\quad\det \left\lvert \frac{\partial x^i}{\partial x'^j} \right\rvert \neq0 \end{equation}
且 $ \frac{\partial x'^i}{\partial x^j} $ 和 $ \frac{\partial x^i}{\partial x'^j} $ 对应的矩阵是互逆的.

   证明:由于定义曲线坐标的函数组 $\{f_i\}$ 是可逆的,即变量 $\{x'^i\}$ 和 $\{x^i\}$ 之间可相互单值的表示,那么可把 $x^j$ 看成 $\{x^i\}$ 的复合函数.于是:

\begin{equation} \frac{\partial x^i}{\partial x^j} = \frac{\partial x^i}{\partial x'^k} \frac{\partial x'^k}{\partial x^j} \end{equation}
由于自变量的导数 $ \frac{\partial x^i}{\partial x^j} =\delta^i_j$,那么
\begin{equation} \frac{\partial x^i}{\partial x^j} = \frac{\partial x^i}{\partial x'^k} \frac{\partial x'^k}{\partial x^j} =\delta^i_j \end{equation}
即 $ \frac{\partial x^i}{\partial x'^k} $ 和 $ \frac{\partial x'^k}{\partial x^j} $ 对应矩阵的积是一个单位矩阵,所以它们对应的矩阵是互逆的,因而对应行列式不为 0,即式 6 是成立的.

   证毕!

   利用 式 4 用曲线坐标 $x'^i$ 来代替仿射坐标 $x^i$,点 $M$ 的向径 $\overrightarrow {OM}=x^i e_i$ 可表达成

\begin{equation} \overrightarrow{OM}=g_i(x'^1,\cdots,x'^n)e_i \end{equation}
将 $\overrightarrow{OM}$ 简记为 $x$,则可写为
\begin{equation} x=x(x'^1,\cdots,x'^n) \end{equation}

   下面的定理在以后都起着重要的作用.

定理 2 

   所有偏导数 $ \frac{\partial x}{\partial x'^i} ,i=1,\cdots,n$ 在每一点都是线性无关的矢量.

   证明:式 9 关于 $x'^i$ 微分,得

\begin{equation} \frac{\partial x}{\partial x'^i} = \frac{\partial x^j}{\partial x'^i} e_j \end{equation}
定理 1 ,系数 $ \frac{\partial x^j}{\partial x'^i} $ 对应的矩阵行列式 $\det \left\lvert \frac{\partial x^j}{\partial x'^i} \right\rvert \neq0$,所以矢量 $ \frac{\partial x}{\partial x'^i} $ 是线性无关的.

   证毕!

2. 坐标曲线

   在引入了曲线坐标后,直接记 $x^i$ 为曲线坐标而不带撇号,那么区域 $\Omega$ 上任一点 $M$ 的向径 $x$,可表示为

\begin{equation} x=x(x^1,\cdots,x^n) \end{equation}

   要很好的理解坐标系的结构,坐标曲线是很有用的.

定义 3 坐标曲线

   在区域 $\Omega$ 中,曲线坐标中只有某一个不同的所有点构成的集合称为坐标曲线,若该不同的坐标为 $x^i$,则该曲线称为坐标曲线 $x^i$.

   也就是说,在坐标曲线上仅有一个坐标在变化,而其余坐标保持常数.

   由坐标曲线的定义,$ \frac{\partial x}{\partial x^i} $ 是坐标曲线 $x^i$ 的切矢量,所以通过 $\Omega$ 上的每一点 $M$,有 $n$ 条切矢量各为 $ \frac{\partial x}{\partial x^i} $ 的坐标曲线,这些矢量记作 $\partial_i x= \frac{\partial x}{\partial x^i} $,由 定理 2 ,它们是线性无关的.

3. 局部标架

   由于在点 $M$ 处,$n$ 个矢量 $\partial_i x$ 是线性无关的,因为在每一点 $M$ 都可取这些矢量为仿射标架矢量 $\{M;\partial_1 x,\cdots,\partial_n x\}$.$x=x(x^1,\cdots,x^n)$ 中的 $x^i$ 是曲线坐标,这就是说,给定了曲线坐标,就在每一点 $M$ 引出了一个完全确定的仿射标架.

定义 4 局部标架

   在区域 $\Omega$ 中,曲线坐标在每一点 $M$ 引出的仿射标架 $\{M;\partial_1 x,\cdots,\partial_n x\}$,称作点 $M$ 的局部标架(或局部坐标系).

曲线坐标和仿射坐标的关系

   在仿射坐标下,从点 $M(x^i)$ 到点 $L(y^i)$ 的变动下,坐标的增量即是位移矢量 $\overrightarrow{ML}$ 的坐标:

\begin{equation} \overrightarrow{ML}=\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OM}=(y^i-x^i)e_i \end{equation}
这就是仿射坐标的实质

   在曲线坐标下,从点 $M(x^i)$ 移动到一无限接近的点 $L(x^i+\Delta x^i)$ 时,其点 $M$ 的向径 $x$ 的增量 $\overrightarrow{ML}$ 为(忽略高阶无穷小量)

\begin{equation} \overrightarrow{ML}=\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OM}=x(x^i+\Delta x^i)-x(x^i)=\partial_i x\Delta x^i \end{equation}

   注意 $\partial_i x$ 是在点 $M$ 处的局部标架,这就是说,在局部标架 $\{M;\partial_1 x,\cdots,\partial_n x\}$ 中,位移矢量 $\overrightarrow{ML}$ 具有的坐标,近似地等于曲线坐标的增量 $\Delta x^i$.

   因此,在点 $M$ 的无穷小邻域内,曲线坐标的增量 $\Delta x^i$,和点 $M$ 的局部标架 $\{M;\partial_1 x,\cdots,\partial_n x\}$ 下的仿射坐标,在一阶无穷小的精度内(式 14 ),完全相同.

4. 不同曲线坐标间的局部标架转换关系

   设有另一曲线坐标 $x'^i$,则曲线坐标 $x^i$ 和 $x'^i$ 可相互表示.于是向径 $x$ 可看着 $x'^i$ 的复合函数,那么

\begin{equation} \frac{\partial x}{\partial x'^i} = \frac{\partial x}{\partial x^j} \frac{\partial x^j}{\partial x'^i} \end{equation}
\begin{equation} \partial'_i x= \frac{\partial x^j}{\partial x'^i} \partial_j x \end{equation}

   因此,下面定理成立

定理 3 标架转化关系

   设 $x^i$ 和 $x'^i$ 是不同的曲线坐标,则两曲线坐标对应的局部标架矢量转换关系为

\begin{equation} \partial'_i x= \frac{\partial x^j}{\partial x'^i} \partial_j x,\quad \partial_j x= \frac{\partial x'^i}{\partial x^j} \partial'_i x \end{equation}

   注意基 $\{e_i\}$ 到基 $\{e'_i\}$ 的转换关系为

\begin{equation} e'_i=A^j_i e_j,\quad e_j=B^i_j e_i \end{equation}
于是,若基 $\{e_i\}$ 为基 $\{\partial_i x\}$,基 $\{e'_i\}$ 为基 $\{\partial'_i x\}$,那么 $A^j_i= \frac{\partial x^j}{\partial x'^i} ,B^i_j= \frac{\partial x'^i}{\partial x^j} $.


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