直线和球的交点

贡献者： addis

预备知识　Matlab 的函数，一元二次方程

　　直线参数方程可以用几何矢量表示为 $P_{0} + λ \hat{v}$ ，其中 $\hat{v}$ 是单位矢量。球心为 $P_{c}$ ，半径为 $R$ ，那么直线和球相交的点满足

\begin{matrix} (1) & (P_{0} + λ \hat{v} - P_{c})^{2} = R^{2} . \end{matrix}

其中左边的平方表示矢量和自身的内积，即矢量模长的平方。展开后得到关于

λ

的二次方程

\begin{matrix} (2) & λ^{2} + 2 \hat{v} \cdot (P_{0} - P_{c}) λ + (P_{0} - P_{c})^{2} - R^{2} = 0 . \end{matrix}

直接使用求根公式得

\begin{matrix} (3) & λ = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 c}}{2} . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (4) & b = 2 v \cdot (P_{0} - P_{c}), c = (P_{0} - P_{c})^{2} - R^{2} . \end{matrix}

　　以下给出 Matlab 代码

未完成：应该支持多条直线而不是多个球……

代码 1：LSph2P.m

% 计算直线和球的焦点
% numel(L)=6, size(P)=[N,3], numel(R)=1
function [P1,P2] = LSph2P(L6, P, R)
L6 = L6(:)';
P0 = L6(1:3); v0 = L6(4:6)/norm(L6(4:6));
P0_P = P0-P;
b = 2*P0_P*v0';
c = dot(P0_P, P0_P, 2) - R^2;
d = b.^2 - 4*c;
if d < 0
    P1 = []; P2 = []; return;
end
d = sqrt(d);
P1 = 0.5*(-b -d).*v0 + P0;
if d == 0
    P2 = []; return;
end
P2 = 0.5*(-b +d).*v0 + P0;
end

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