阿贝尔微分方程恒等式

                     

贡献者: JierPeter

   本文翻译并节选自 WikiPedia 的Abel's Identity

1. 综述

   在数学中,阿贝尔恒等式(Abel's identity)(亦称阿贝尔公式(Abel's formula)1 或者 阿贝尔微分方程恒等式(Abel's differential equation identity)),是一个等式,用于表示一个二阶齐次线性常微分方程的两个解的朗斯基行列式,只需要用到原方程的系数.这一关系也可以推广到 $n$ 阶的线性微分方程.该恒等式命名自挪威数学家 Niels Henrik Abel.

   由于阿贝尔恒等式把微分方程不同的线性独立解联系起来了,因此它也可以用来从一个特解得到另一个特解.它给出了解之间很有用的恒等关系,同时也在参数变易法(variation of parameters)等其它技巧中功不可没.在 Bessel 方程等无法给出简单解析解的方程中尤其有用,因为这些情况下朗斯基行列式非常难算.

   用Liouville 公式能将阿贝尔恒等式推广到齐次线性微分方程的一阶系统上.

2. 公式描述

   考虑二阶齐次线性微分方程

\begin{equation} y'' + p(x)y' +q(x)y = 0 \end{equation}
其中 $p, q$ 是实数轴上一区间 $I$ 上的连续函数,函数值为实数或者复数.

   阿贝尔恒等式是说,对于式 1 的任意两个解 $y_1, y_2$ 以及任意 $x_0\in I$,其朗斯基行列式 $W[y_1, y_2]$ 满足以下等式:

\begin{equation} W[y_1, y_2](x) = W[y_1, y_2](x_0)\cdot \exp \left(-\int _{x_0}^x p(z) \,\mathrm{d}{z} \right) , \quad x\in I \end{equation}

   (译者注:或者使用 $W'=-pW$,见本小节的 “定理证明” 部分.)

批注

定理证明

   考虑朗斯基行列式

\begin{equation} W[y_1, y_2] = y_1y'_2 - y'_1y_2 \end{equation}
两边求导得(省略 $x$ 以简化表达)
\begin{equation} W' = y_1y_2'' - y''_1y_2 \end{equation}

   而从原本的微分方程能得到

\begin{equation} y''_i = -(py'_i+qy_i) \end{equation}

   把式 5 代入式 4 得到

\begin{equation} \begin{aligned} W' &= -y_1(py'_2 + qy_2) + y_2(py'_1 + qy_1)\\ &= p(-y_1y'_2 + y'_1y_2)\\ &= -pW \end{aligned} \end{equation}
这是一个一阶常微分方程,其解正是阿贝尔恒等式式 2

   由于 $p$ 在 $I$ 上连续,因此它在 $I$ 的任何有界闭子区间上有界且可积,从而使得下列函数有良好定义:

\begin{equation} V(x) = W(x) \exp \left(\int_{x_0}^x p(\xi) \,\mathrm{d}{\xi} \right) ,\quad x\in I \end{equation}
式 7 两边求导,再代入式 6 可得
\begin{equation} \begin{aligned} V(x) &= ( W'(x) + W(x) p(x) )\exp \left(\int_{x_0}^x p(\xi) \,\mathrm{d}{\xi} \right) \\ &= 0 \end{aligned} \end{equation}

   从而 $V(x)$ 是常数,即

\begin{equation} W(x)\exp \left(\int_{x_0}^x p(\xi) \,\mathrm{d}{\xi} \right) \end{equation}
常数.由于 $V(x_0)=W(x_0)$,此常数即为 $W(x_0)$.

3. 推广

   考虑区间 $I$ 上的 $n$ 阶齐次线性微分方程($n$ 为正整数)

\begin{equation} y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_1(x)y' + p_0(x)y = 0 \end{equation}
其中 $p_{n-1}$ 在 $I$ 上连续.

   阿贝尔恒等式的推广形式是说,式 10 的 $n$ 个解 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 的朗斯基行列式 $W[y_1, y_2, \cdots, y_n]$,满足下列关系:

\begin{equation} \begin{aligned} W[y_1, y_2, \cdots, y_n](x) &= W[y_1, y_2, \cdots, y_n](x_0)\exp \left(-\int_{x_0}^x p_{n-1}(z) \,\mathrm{d}{z} \right) \\ \forall x, x_0&\in I \end{aligned} \end{equation}

直接证明

   先写出 $W[y_1, y_2, \cdots, y_n]$ 的定义:

\begin{equation} W[y_1, y_2, \cdots, y_n] = \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix} \end{equation}

   求导得

\begin{equation} \begin{aligned} W'[y_1, y_2, \cdots, y_n] ={}& \\ & \begin{vmatrix} y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix} +\\ & \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix} +\\ &\qquad\vdots\\ & \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n)}&y_2^{(n)}&\cdots&y_n^{(n)}\\ \end{vmatrix} \\ \end{aligned} \end{equation}

   容易发现,式 13 右端除了最后一项,其它所有项都因为求导而有两行完全相同,于是它们都为零.因此

\begin{equation} W'[y_1, y_2, \cdots, y_n] = \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n)}&y_2^{(n)}&\cdots&y_n^{(n)}\\ \end{vmatrix} \end{equation}
缺失了 $y_i^{(n-1)}$ 项.

   注意到各 $y_i$ 都是式 10 的解,可知

\begin{equation} y_i^{(n)} + p_{n-2}\,y_i^{(n-2)} + \cdots + p_1\,y'_i + p_0\,y_i = -p_{n-1}y_i^{(n-1)} \end{equation}
对于全体 $i\in\{1, 2, 3, \cdots, n\}$ 都成立.

   把式 14 右端行列式的第一行乘以 $p_0$ 后加到最后一行、第二行乘以 $p_1$ 后加到最后一行、第三行……第 $n-1$ 行乘以 $p_n$ 后加到最后一行,行列式的值不变,于是得到

\begin{equation} \begin{aligned} W'[y_1, y_2, \cdots, y_n] &= \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -p_{n-1}y_1^{(n-1)}&-p_{n-1}y_2^{(n-1)}&\cdots&-p_{n-1}y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix}\\ &=-p_{n-1} \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix}\\ &= -p_{n-1}W[y_1, y_2, \cdots, y_n] \end{aligned} \end{equation}

   这是关于 $W$ 的微分方程,解方程即得证.


1. ^ Rainville, Earl David; Bedient, Phillip Edward (1969). Elementary Differential Equations . Collier-Macmillan International Editions.


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