阿贝尔微分方程恒等式

贡献者： JierPeter; addis

　　本文翻译并节选自 WikiPedia 的Abel's Identity。

1. 综述

　　在数学中，阿贝尔恒等式（Abel's identity）（亦称阿贝尔公式（Abel's formula）¹ 或者 阿贝尔微分方程恒等式(Abel's differential equation identity)），是一个等式，用于表示一个二阶齐次线性常微分方程的两个解的朗斯基行列式，只需要用到原方程的系数。这一关系也可以推广到 $n$ 阶的线性微分方程。该恒等式命名自挪威数学家 Niels Henrik Abel。

　　由于阿贝尔恒等式把微分方程不同的线性独立解联系起来了，因此它也可以用来从一个特解得到另一个特解。它给出了解之间很有用的恒等关系，同时也在参数变易法（variation of parameters）等其它技巧中功不可没。在 Bessel 方程等无法给出简单解析解的方程中尤其有用，因为这些情况下朗斯基行列式非常难算。

　　用Liouville 公式能将阿贝尔恒等式推广到齐次线性微分方程的一阶系统上。

2. 公式描述

　　考虑二阶齐次线性微分方程

\begin{equation} y'' + p(x)y' +q(x)y = 0~. \end{equation}

其中 $p, q$ 是实数轴上一区间 $I$ 上的连续函数，函数值为实数或者复数。

　　阿贝尔恒等式是说，对于式 1 的任意两个解 $y_1, y_2$ 以及任意 $x_0\in I$，其朗斯基行列式 $W[y_1, y_2]$ 满足以下等式：

\begin{equation} W[y_1, y_2](x) = W[y_1, y_2](x_0)\cdot \exp \left(-\int _{x_0}^x p(z) \,\mathrm{d}{z} \right) , \quad x\in I~. \end{equation}

（译者注：或者使用 $W'=-pW$，见本小节的 “定理证明” 部分。）

批注

特别地，朗斯基行列式 $W[y_1, y_2]$ 在 $I$ 上要么恒等于 $0$，要么恒大于 $0$，要么恒小于 $0$。对于恒大于或小于 $0$ 的情况，$y_1$ 和 $y_2$ 就是线性无关的。
没必要假设 $y_1$ 和 $y_2$ 的二阶导数连续。
阿贝尔这个定理在 $p(x)=0$ 的时候尤其好用，因为此时 $W$ 是常数。

定理证明

　　考虑朗斯基行列式

\begin{equation} W[y_1, y_2] = y_1y'_2 - y'_1y_2~. \end{equation}

两边求导得（省略 $x$ 以简化表达）

\begin{equation} W' = y_1y_2'' - y''_1y_2~, \end{equation}

而从原本的微分方程能得到

\begin{equation} y''_i = -(py'_i+qy_i)~. \end{equation}

把式 5 代入式 4 得到

\begin{equation} \begin{aligned} W' &= -y_1(py'_2 + qy_2) + y_2(py'_1 + qy_1)\\ &= p(-y_1y'_2 + y'_1y_2)\\ &= -pW~. \end{aligned} \end{equation}

这是一个一阶常微分方程，其解正是阿贝尔恒等式式 2 。

　　由于 $p$ 在 $I$ 上连续，因此它在 $I$ 的任何有界闭子区间上有界且可积，从而使得下列函数有良好定义：

\begin{equation} V(x) = W(x) \exp \left(\int_{x_0}^x p(\xi) \,\mathrm{d}{\xi} \right) ,\quad x\in I~. \end{equation}

对式 7 两边求导，再代入式 6 可得

\begin{equation} \begin{aligned} V(x) &= ( W'(x) + W(x) p(x) )\exp \left(\int_{x_0}^x p(\xi) \,\mathrm{d}{\xi} \right) \\ &= 0~. \end{aligned} \end{equation}

从而 $V(x)$ 是常数，即

\begin{equation} W(x)\exp \left(\int_{x_0}^x p(\xi) \,\mathrm{d}{\xi} \right) ~ \end{equation}

是常数。由于 $V(x_0)=W(x_0)$，此常数即为 $W(x_0)$。

3. 推广

　　考虑区间 $I$ 上的 $n$ 阶齐次线性微分方程（$n$ 为正整数）

\begin{equation} y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_1(x)y' + p_0(x)y = 0~, \end{equation}

其中 $p_{n-1}$ 在 $I$ 上连续。

　　阿贝尔恒等式的推广形式是说，式 10 的 $n$ 个解 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 的朗斯基行列式 $W[y_1, y_2, \cdots, y_n]$，满足下列关系：

\begin{equation} \begin{aligned} W[y_1, y_2, \cdots, y_n](x) &= W[y_1, y_2, \cdots, y_n](x_0)\exp \left(-\int_{x_0}^x p_{n-1}(z) \,\mathrm{d}{z} \right) \\ \forall x, x_0&\in I \end{aligned} ~. \end{equation}

直接证明

　　先写出 $W[y_1, y_2, \cdots, y_n]$ 的定义：

\begin{equation} W[y_1, y_2, \cdots, y_n] = \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix}~. \end{equation}

求导得

\begin{equation} \begin{aligned} W'[y_1, y_2, \cdots, y_n] ={}& \\ & \begin{vmatrix} y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix} +\\ & \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix} +\\ &\qquad\vdots\\ & \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n)}&y_2^{(n)}&\cdots&y_n^{(n)}\\ \end{vmatrix} \\ \end{aligned} ~. \end{equation}

容易发现，右端除了最后一项，其它所有项都因为求导而有两行完全相同，于是它们都为零。因此

\begin{equation} W'[y_1, y_2, \cdots, y_n] = \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n)}&y_2^{(n)}&\cdots&y_n^{(n)}\\ \end{vmatrix} ~ \end{equation}

缺失了 $y_i^{(n-1)}$ 项。

　　注意到各 $y_i$ 都是式 10 的解，可知

\begin{equation} y_i^{(n)} + p_{n-2}\,y_i^{(n-2)} + \cdots + p_1\,y'_i + p_0\,y_i = -p_{n-1}y_i^{(n-1)}~, \end{equation}

对于全体 $i\in\{1, 2, 3, \cdots, n\}$ 都成立。

　　把式 14 右端行列式的第一行乘以 $p_0$ 后加到最后一行、第二行乘以 $p_1$ 后加到最后一行、第三行……第 $n-1$ 行乘以 $p_n$ 后加到最后一行，行列式的值不变，于是得到

\begin{equation} \begin{aligned} W'[y_1, y_2, \cdots, y_n] &= \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -p_{n-1}y_1^{(n-1)}&-p_{n-1}y_2^{(n-1)}&\cdots&-p_{n-1}y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix}\\ &=-p_{n-1} \begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\ y''_1&y''_2&\cdots&y''_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix}\\ &= -p_{n-1}W[y_1, y_2, \cdots, y_n]~. \end{aligned} \end{equation}

这是关于 $W$ 的微分方程，解方程即得证。

1. ^ Rainville, Earl David; Bedient, Phillip Edward (1969). Elementary Differential Equations. Collier-Macmillan International Editions.

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