用梯度求曲线和曲面的法向量

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　梯度梯度定理

　　先以 $x y$ 平面的曲线为例，任意曲线可以用函数 $F (x, y) = 0$ 表示。的曲线和 $F (x, y, z)$ 表示的曲面在某点的法向量就是他们在该点的梯度。

1. 推导

　　平面曲线可以表示为 $F (x, y) = 0$ 。即 $x, y$ 在变化的过程中始终满足这一条件。根据微分定理，一点 $(x, y)$ 在曲线上移动的过程中，显然有

\begin{matrix} (1) & d F = \nabla F \cdot d r = \frac{\partial F}{\partial x} d x + \frac{\partial F}{\partial y} d y = 0 . \end{matrix}

其中

d r

表示曲线上的一段微小位移，延曲线的切向。

　　上式表示，这两个矢量的点乘为零，即 $\nabla F$ 就是就是曲线在 $(x, y)$ 点的法向量。

　　空间直角坐标系中的曲面同样也可以用 $F (x, y, z)$ 来表示，从曲面上 $P_{0} = (x_{0}, y_{0})$ 点出发，延曲面的任意微小位移 $d r$ 都满足微分关系

\begin{matrix} (2) & d F = \nabla F \cdot d r = \frac{\partial F}{\partial x} d x + \frac{\partial F}{\partial y} d y + \frac{\partial F}{\partial z} d z = 0, \end{matrix}

既然

\nabla F

同时垂直于曲面内过

P_{0}

的任意微小位移

d r

，

\nabla F

就是曲面在

P_{0}

点的法向量。

　　 ======= 回收 ==============

　　若从曲线上的某点出发，沿曲线的切线方向取一个微位移 $d r = d x \hat{x} + d y \hat{y}$ ，由于 $(x + d x, y + d y)$ 仍然在等值线上，函数增量 $d f = 0$ 。代入式 5 得

\begin{matrix} (3) & \nabla f \cdot d r = 0, \end{matrix}

即

f (x, y)

的梯度与

d r

垂直。所以

\nabla f (x, y)

必定是

(x, y)

点所在等值线的法向量，且指向函数值

C

更大的等值线（因为函数值在梯度方向增加最快）。

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