贡献者： addis
先以 $xy$ 平面的曲线为例，任意曲线可以用函数 $F(x, y) = 0$ 表示。的曲线和 $F(x, y, z)$ 表示的曲面在某点的法向量就是他们在该点的梯度。
1. 推导
平面曲线可以表示为 $F(x, y) = 0$。即 $x, y$ 在变化的过程中始终满足这一条件。根据微分定理，一点 $(x, y)$ 在曲线上移动的过程中，显然有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{F} = \boldsymbol\nabla F \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial F}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial F}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} = 0~.
\end{equation}
其中 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 表示曲线上的一段微小位移，延曲线的切向。
上式表示，这两个矢量的点乘为零，即 $ \boldsymbol\nabla F$ 就是就是曲线在 $(x,y)$ 点的法向量。
空间直角坐标系中的曲面同样也可以用 $F(x, y, z)$ 来表示，从曲面上 $P_0 = (x_0, y_0)$ 点出发，延曲面的任意微小位移 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 都满足微分关系
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{F} = \boldsymbol\nabla F \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial F}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial F}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} + \frac{\partial F}{\partial z} \,\mathrm{d}{z} = 0~,
\end{equation}
既然 $ \boldsymbol\nabla F$ 同时垂直于曲面内过 $P_0$ 的任意微小位移 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $，$ \boldsymbol\nabla F$ 就是曲面在 $P_0$ 点的法向量。
======= 回收 ==============
若从曲线上的某点出发，沿曲线的切线方向取一个微位移 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \,\mathrm{d}{x} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \,\mathrm{d}{y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $，由于 $(x+ \,\mathrm{d}{x} , y+ \,\mathrm{d}{y} )$ 仍然在等值线上，函数增量 $ \,\mathrm{d}{f} = 0$。代入式 5 得
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = 0~,
\end{equation}
即 $f(x,y)$ 的梯度与 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 垂直。所以 $ \boldsymbol\nabla f(x,y)$ 必定是 $(x,y)$ 点所在等值线的法向量，且指向函数值 $C$ 更大的等值线（因为函数值在梯度方向增加最快）。
=============================
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。