用梯度求曲线和曲面的法向量

             

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预备知识 梯度 梯度定理

   先以 $xy$ 平面的曲线为例,任意曲线可以用函数 $F(x, y) = 0$ 表示.的曲线和 $F(x, y, z)$ 表示的曲面在某点的法向量就是他们在该点的梯度.

1. 推导

   平面曲线可以表示为 $F(x, y) = 0$.即 $x, y$ 在变化的过程中始终满足这一条件. 根据微分定理, 一点 $(x, y)$ 在曲线上移动的过程中, 显然有

\begin{equation} \,\mathrm{d}{F} = \boldsymbol\nabla F \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial F}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial F}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} = 0 \end{equation}
其中 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 表示曲线上的一段微小位移, 延曲线的切向.

   上式表示, 这两个矢量的点乘为零, 即 $ \boldsymbol\nabla F$ 就是就是曲线在 $(x,y)$ 点的法向量.

   空间直角坐标系中的曲面同样也可以用 $F(x, y, z)$ 来表示, 从曲面上 $P_0 = (x_0, y_0)$ 点出发, 延曲面的任意微小位移 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 都满足微分关系

\begin{equation} \,\mathrm{d}{F} = \boldsymbol\nabla F \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial F}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial F}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} + \frac{\partial F}{\partial z} \,\mathrm{d}{z} = 0 \end{equation}
既然 $ \boldsymbol\nabla F$ 同时垂直于曲面内过 $P_0$ 的任意微小位移 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $,$ \boldsymbol\nabla F$ 就是曲面在 $P_0$ 点的法向量.

   ======= 回收 ==============

   若从曲线上的某点出发,沿曲线的切线方向取一个微位移 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \,\mathrm{d}{x} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \,\mathrm{d}{y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $,由于 $(x+ \,\mathrm{d}{x} , y+ \,\mathrm{d}{y} )$ 仍然在等值线上,函数增量 $ \,\mathrm{d}{f} = 0$.代入式 5

\begin{equation} \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = 0 \end{equation}
即 $f(x,y)$ 的梯度与 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 垂直.所以 $ \boldsymbol\nabla f(x,y)$ 必定是 $(x,y)$ 点所在等值线的法向量,且指向函数值 $C$ 更大的等值线(因为函数值在梯度方向增加最快).

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