多元函数泛函的极值

                     

贡献者: 零穹

预备知识 极值的必要条件(变分学)

   一元函数的泛函极值问题已经研究过,现在研究 $n$ 元函数的泛函极值问题,并推导 $n$ 元函数泛函极值问题中的 Euler-Ostrogradsky 方程.“一元” 在于泛函的宗量(泛函的 “自变量”)为一元函数(即可取曲线),“ $n$ 元” 在于泛函的宗量为 $n$ 元函数(这时也可称为可取曲线,只不过变元为 $n$ 个).

   在 $n$ 元函数的情形,我们仍然限定泛函 $J(\varphi)$ 的宗量 $\varphi(x_1,\cdots,x_n)$ 属于 $C_1$ 类函数,即在它的定义域上连续,并有关于所有变元 $x_i$ 的连续偏导数 $\partial_i\varphi= \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} =\varphi'_{x_i}$.

   具体来说,我们的问题可归结为:在所有定义在 $n$ 维空间中有界区域 $Q$ 上的 $C_1$ 类函数中,以 $\overline{C_1}$ 表示那些在 $Q$ 的边界 $\Omega$ 上取给定值的属于 $C_1$ 类函数的全体,即若 $\varphi\in\overline{C_1}$,则 $\varphi(\Omega)=f(\Omega)$1 而 $f(\Omega)$ 是给定的.在 $\overline{C_1}$ 中找出一个函数 $\varphi$,使它给出泛函

\begin{equation} J(\varphi)=\int\cdots\int\limits_Q F(x_i,\varphi,\partial_i\varphi) \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n \end{equation}
的极值.其中,$\partial_i\varphi$ 是 $\{\partial_i\varphi|i=1\cdots,n\}$ 的简写,$F$ 是其 $2n+1$ 个变元 $x_i,\varphi,\partial_i\varphi$ 的连续函数,并且对于一切变元有三阶以内的偏微商.

   若函数 $\varphi$ 给出泛函 $J(\varphi)$ 的极值,则函数 $\varphi$ 在区域 $Q$ 上满足偏微分方程

\begin{equation} F'_\varphi-\sum_{i=1}^n\partial_i F'_{\partial_i\varphi}=0 \end{equation}
这称为Euler-Ostrogradsky 方程

   为证明式 2 ,先给出一些必要的概念.

定义 1 $C_1$ 类函数的距离及邻区

   若 $\varphi,\phi\in C_1$,则

\begin{equation} \begin{aligned} r(\varphi,\phi)=&\mathrm{max}\{ \left\lvert \varphi(x_1,\cdots,x_n)-\phi(x_1,\cdots,x_n) \right\rvert ,\\ & \left\lvert \partial_i\varphi(x_1,\cdots,x_n)-\partial_i\phi(x_1,\cdots,x_n) \right\rvert \}\quad (i=1,\cdots,n) \end{aligned} \end{equation}
为 $C_1$ 类函数 $\varphi,\phi$ 的距离.满足 $r(\varphi,\phi) < \epsilon$ 的那些函数 $\phi$ 的全体构成 $\varphi$ 的 $\epsilon$ 邻区

1. 式 2 的证明

   设 $\varphi+\delta\varphi$ 是位于 $\varphi$ 的 $\epsilon$ 邻区的 $\overline{C_1}$ 函数.于是 $\delta{\varphi}(\Omega)=0$

\begin{equation} \begin{aligned} J(\varphi+\delta\varphi)-J(\varphi)=&\int\cdots\int\limits_Q [F(x_i,\varphi+\delta\varphi,\partial_i(\varphi+\delta\varphi))-\\ &F(x_i,\varphi,\partial_i\varphi)] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n\\ =&\int\cdots\int\limits_Q [F(x_i,\varphi+\delta\varphi,\partial_i\varphi+\delta\partial_i\varphi)-\\ &F(x_i,\varphi,\partial_i\varphi)] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n\\ =&\int\cdots\int\limits_Q [F'_\varphi\delta\varphi+\sum_{i=1}^nF'_{\partial_i\varphi}\delta\partial_i\varphi] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n+\eta \end{aligned} \end{equation}
其中,$\eta$ 在 $\delta\varphi\rightarrow0$ 时是比 $r(\varphi,\varphi+\delta\varphi)$ 更高阶的小量.
\begin{equation} \int\cdots\int\limits_Q [F'_\varphi\delta\varphi+\sum_{i=1}^nF'_{\partial_i\varphi}\delta\partial_i\varphi] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n \end{equation}
显然对 $\varphi$ 是线性的,即是泛函 $J(\varphi)$ 的主要线性部分,称为 $J$ 的变分,同样记为 $\delta J$
\begin{equation} \delta J=\int\cdots\int\limits_Q [F'_\varphi\delta\varphi+\sum_{i=1}^nF'_{\partial_i\varphi}\delta\partial_i\varphi] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n \end{equation}
泛函 $J(\varphi)$ 在 $\varphi$ 上达到极值,必要条件是 $\delta J=0$(同定理 1 证明一样的.)

   考虑 $Q$ 内一条平行于 $Ox_i$ 的直线,其上的区间 $AB$ 端点在边界 $\Omega$ 上.于是

\begin{equation} \begin{aligned} \int_A^B F'_{\partial_i\varphi}\delta\partial_i\varphi \,\mathrm{d}{x} _i=&F'_{\partial_i\varphi}\delta\varphi\Big|_A^B-\int_A^B \partial_iF'_{\partial_i\varphi}\delta\varphi \,\mathrm{d}{x} _i\\ &=-\int_A^B \partial_iF'_{\partial_i\varphi}\delta\varphi \,\mathrm{d}{x} _i \end{aligned} \end{equation}
于是由式 6 式 7
\begin{equation} \begin{aligned} \delta J=&\int\cdots\int\limits_Q [F'_\varphi\delta\varphi-\sum_{i=1}^n\partial_iF'_{\partial_i\varphi}\delta\varphi] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n\\ =&\int\cdots\int\limits_Q [F'_\varphi-\sum_{i=1}^n\partial_iF'_{\partial_i\varphi}]\delta\varphi \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n \end{aligned} \end{equation}
有下面的引理即得式 2

   证毕!

引理 1 

   若

\begin{equation} \int\cdots\int\limits_Q M\eta \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n=0 \end{equation}
其中 $M$ 是 $Q$ 上的连续函数,而 $\eta$ 是满足 $\;\eta(\Omega)=0$ 的 $C_1$ 类中的任意函数,则
\begin{equation} M(Q)=0 \end{equation}

   证明:设 $M(A)=c\neq0,\;A\in Q$,不失一般性,设 $c > 0$.围绕 $A$ 作长方形 $R$:

\begin{equation} a_i\leq x_i\leq b_i \end{equation}
它完全包含在 $Q$ 内,且 $\forall A'\in R,M(A') > \frac{c}{2}$($M$ 的连续性保证这是可能的).

   定义函数 $\eta$

\begin{equation} \eta(x_1,\cdots,x_n)=\left\{ \begin{aligned} &\prod_{i=1}^n \sin^2\frac{\pi(x_i-a_i)}{b_i-a_i}\quad &(x_1,\cdots,x_n)\in R\\ &0\quad &(x_1,\cdots,x_n)\notin R \end{aligned}\right. \end{equation}
显然 $\eta\in C_1,\eta(\Omega)=0$,因此
\begin{equation} \begin{aligned} \int\cdots\int\limits_Q M\eta \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n=\int\cdots\int\limits_R M\eta \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n > \\ > \frac{c}{2}\int_{a_1}^{b_1}\cdots\int_{a_n}^{b_n}\prod_{i=1}^n \sin^2\frac{\pi(x_i-a_i)}{b_i-a_i} \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n > 0 \end{aligned} \end{equation}
这与式 9 矛盾,于是引理得证!


1. ^ $f(\Omega)=\{f(A)|A\in \Omega\}$


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