导体中的电磁波

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识　电场波动方程

图 1：导体中的平面电磁波示意图。注意它与真空电磁波的差异（衰减、电场磁场不同相）

　　¹ 良导体的情况下，设任何净电荷消散的时间都非常快，可以认为 $ρ_{f} = 0$ 。另外自由电流仅由自由电子在电场中运动产生， $j_{f} = σ E$ 。代入介质中的麦克斯韦方程组得波动方程

\begin{matrix} (1) & \nabla^{2} E = ϵ μ \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} + μ σ \frac{\partial E}{\partial t} . \end{matrix}

例 1　简要的推导

　　因为 $\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ , $\nabla \times B = μ j_{f} + ϵ μ \frac{\partial}{\partial t} E,$

\begin{matrix} (2) & \nabla \times (\nabla \times E) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times B) = - \frac{\partial}{\partial t} (μ j_{f} + ϵ μ \frac{\partial}{\partial t} E), \end{matrix}

代入

j_{f} = σ E

\begin{matrix} (3) & \nabla \times (\nabla \times E) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times B) = - \frac{\partial}{\partial t} (μ σ E + ϵ μ \frac{\partial}{\partial t} E) . \end{matrix}

参考，即可求解。

　　设电磁场的形式为

\begin{matrix} (4) & E = \hat{x} {\tilde{E}}_{0} e^{i (\tilde{k} z - ω t)}, B = \hat{y} {\tilde{B}}_{0} e^{i (\tilde{k} z - ω t)} . \end{matrix}

代入波动方程得

\begin{matrix} (5) & {\tilde{k}}^{2} = ϵ μ ω^{2} + i σ μ ω . \end{matrix}

令

\tilde{k} = k + i κ

，得

\begin{matrix} (6) & k = ω \sqrt{\frac{ϵ μ}{2}} \sqrt{\sqrt{1 + {(\frac{σ}{ϵ ω})}^{2}} + 1}, κ = ω \sqrt{\frac{ϵ μ}{2}} \sqrt{\sqrt{1 + {(\frac{σ}{ϵ ω})}^{2}} - 1} . \end{matrix}

对于良导体，

σ ≫ ϵ ω

，有

\begin{matrix} (7) & k = κ = ω \sqrt{\frac{μ σ}{2 ω}} . \end{matrix}

电磁场变为

\begin{matrix} (8) & E = \hat{x} {\tilde{E}}_{0} e^{- κ z} e^{i (k z - ω t)}, B = \hat{y} {\tilde{B}}_{0} e^{- κ z} e^{i (k z - ω t)} . \end{matrix}

定义趋肤深度（skin depth）为

\begin{matrix} (9) & d = 1 / κ . \end{matrix}

使用

\nabla \times E = - \partial B / \partial t

（这里

\nabla \equiv i \tilde{k} \hat{z}

）

\begin{matrix} (10) & {\tilde{B}}_{0} = \tilde{k} {\tilde{E}}_{0} / ω, \end{matrix}

所以电场磁场存在相位差

\begin{matrix} (11) & ϕ = \arg (\tilde{k}) . \end{matrix}

1. ^ 参考 David Griffiths 的电动力学导论

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

导体中的电磁波

例 1 简要的推导

例 1　简要的推导