导体中的电磁波

             

预备知识 电场波动方程

  1 良导体的情况下,设任何净电荷消散的时间都非常快,可以认为 $\rho_f = 0$.另外自由电流仅由自由电子在电场中运动产生,$ \boldsymbol{\mathbf{j}} _f = \sigma \boldsymbol{\mathbf{E}} $.代入介质中的麦克斯韦方程组得波动方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} = \epsilon \mu \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }}{\partial{t}^{2}} + \mu\sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{equation}
设电磁场的形式为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \tilde E_0 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (\tilde k z - \omega t)} \qquad \boldsymbol{\mathbf{B}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \tilde B_0 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (\tilde k z - \omega t)} \end{equation}
代入波动方程得
\begin{equation} \tilde k^2 = \epsilon\mu \omega^2 + \mathrm{i} \sigma \mu \omega \end{equation}
令 $\tilde k = k + \mathrm{i} \kappa$,得
\begin{equation} k = \omega\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{2}} \sqrt{\sqrt{1 + \left(\frac{\sigma}{\epsilon\omega} \right) ^2} + 1} \qquad \kappa = \omega\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{2}} \sqrt{\sqrt{1 + \left(\frac{\sigma}{\epsilon\omega} \right) ^2} - 1} \end{equation}
对于良导体,$\sigma \gg \epsilon\omega$,有
\begin{equation} k = \kappa = \omega \sqrt{\frac{\mu\sigma}{2\omega}} \end{equation}
电磁场变为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \tilde E_0 \mathrm{e} ^{-\kappa z} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (kz - \omega t)} \qquad \boldsymbol{\mathbf{B}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \tilde B_0 \mathrm{e} ^{-\kappa z} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (kz - \omega t)} \end{equation}
定义趋肤深度(skin depth)
\begin{equation} d = 1/\kappa \end{equation}
使用 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} / \partial t$(这里 $ \boldsymbol\nabla \equiv \mathrm{i} \tilde k \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $)
\begin{equation} \tilde B_0 = \tilde k \tilde E_0 / \omega \end{equation}
所以电场磁场存在相位差
\begin{equation} \phi = \arg (\tilde k) \end{equation}


1. ^ 参考 David Griffiths 的电动力学导论

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