导体中的电磁波

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识　电场波动方程

图 1：导体中的平面电磁波示意图。注意它与真空电磁波的差异（衰减、电场磁场不同相）

　　¹ 良导体的情况下，设任何净电荷消散的时间都非常快，可以认为 $\rho_f = 0$。另外自由电流仅由自由电子在电场中运动产生，$ \boldsymbol{\mathbf{j}} _f = \sigma \boldsymbol{\mathbf{E}} $。代入介质中的麦克斯韦方程组得波动方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} = \epsilon \mu \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }}{\partial{t}^{2}} + \mu\sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~. \end{equation}

例 1　简要的推导

　　因为 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} $, $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \epsilon\mu \frac{\partial}{\partial{t}} \boldsymbol{\mathbf{E}} ~,$

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) = - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) =- \frac{\partial}{\partial{t}} (\mu \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \epsilon\mu \frac{\partial}{\partial{t}} \boldsymbol{\mathbf{E}} )~, \end{equation}

代入 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} _f = \sigma \boldsymbol{\mathbf{E}} $

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) = - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) =- \frac{\partial}{\partial{t}} (\mu \sigma \boldsymbol{\mathbf{E}} + \epsilon\mu \frac{\partial}{\partial{t}} \boldsymbol{\mathbf{E}} )~. \end{equation}

参考，即可求解。

　　设电磁场的形式为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \tilde E_0 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (\tilde k z - \omega t)}~, \qquad \boldsymbol{\mathbf{B}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \tilde B_0 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (\tilde k z - \omega t)}~. \end{equation}

代入波动方程得

\begin{equation} \tilde k^2 = \epsilon\mu \omega^2 + \mathrm{i} \sigma \mu \omega~. \end{equation}

令 $\tilde k = k + \mathrm{i} \kappa$，得

\begin{equation} k = \omega\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{2}} \sqrt{\sqrt{1 + \left(\frac{\sigma}{\epsilon\omega} \right) ^2} + 1}~, \qquad \kappa = \omega\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{2}} \sqrt{\sqrt{1 + \left(\frac{\sigma}{\epsilon\omega} \right) ^2} - 1}~. \end{equation}

对于良导体，$\sigma \gg \epsilon\omega$，有

\begin{equation} k = \kappa = \omega \sqrt{\frac{\mu\sigma}{2\omega}}~. \end{equation}

电磁场变为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \tilde E_0 \mathrm{e} ^{-\kappa z} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (kz - \omega t)}~, \qquad \boldsymbol{\mathbf{B}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \tilde B_0 \mathrm{e} ^{-\kappa z} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (kz - \omega t)}~. \end{equation}

定义趋肤深度（skin depth）为

\begin{equation} d = 1/\kappa~. \end{equation}

使用 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} / \partial t$（这里 $ \boldsymbol\nabla \equiv \mathrm{i} \tilde k \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $）

\begin{equation} \tilde B_0 = \tilde k \tilde E_0 / \omega~, \end{equation}

所以电场磁场存在相位差

\begin{equation} \phi = \arg (\tilde k)~. \end{equation}

1. ^ 参考 David Griffiths 的电动力学导论

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导体中的电磁波

例 1 简要的推导

例 1　简要的推导