洛必达法则

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　微分中值定理

　　 洛必达法则（L'Hospital rule）是一种对形如 $f (x) / g (x)$ 的函数求极限的方法。

未完成：链接：邻域

定理 1　 $(\frac{0}{0})$ 型洛必达法则

　　设函数 $f (x), g (x)$ 在 $a$ 点的某一去心邻域 $U^{\circ} (a, δ)$ 上可导，而且满足：

$lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0$ ;
$g^{'} (x) \neq 0, \forall x \in U^{\circ} (a, δ)$ ;
$lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = l$ （ $l$ 为有限数或 $+ \infty$ 或 $- \infty$ ）;

　　则有

\begin{matrix} (1) & lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = l . \end{matrix}

上面的

a

也可以取为

+ \infty

或

- \infty

，定理仍然成立。

　　洛必达法则可以通过柯西中值定理证明。

未完成：证明补充

　　对于其中的一种特殊情况 $s f = lim_{x \to a} f^{'} (x), s g = lim_{x \to a} g^{'} (x)$ 存在且 $s g \neq 0$ ，可以通过函数的一阶近似式来理解： $f (x) = s f \cdot (x - a) + O (x - a), g (x) = s g \cdot (x - a) + O (x - a)$ ，于是 $lim_{x \to a} f (x) / g (x) = s f / s g = lim_{x \to a} f^{'} (x) / g^{'} (x)$ 。利用泰勒展开公式作近似或者直接用洛必达法则，是求解分式函数极限问题的常用方法。

定理 2　 $(\frac{\infty}{\infty})$ 型洛必达法则

　　设函数 $f (x), g (x)$ 在 $a$ 点的某一去心邻域 $U^{\circ} (a, δ)$ 上可导，而且满足：

$lim_{x \to a} g (x) = \infty$ ;
$g^{'} (x) \neq 0, \forall x \in U^{\circ} (a, δ)$ ;
$lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = l$ （ $l$ 为有限数或 $\pm \infty, \infty$ ）;

　　则有

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = l . \end{matrix}

上面的

a

也可以取为

+ \infty

或

- \infty

，定理仍然成立。

习题 1　

　　计算 $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 。

　　直接对分子分母同时求导就可以求得：

\begin{matrix} (3) & lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1, \end{matrix}

这告诉我们

\sin x

和

x

在

x \to 0

时是等价无穷小量（需引用文章）。

习题 2　

　　计算 $lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - \sin x}{e^{\sin x} - \cos x - x}$ 。

　　提示：用洛必达法则，对分子和分母同时求两次导，答案为 $0.5$ 。

　　这里我们也可以通过对分子分母作二阶近似来计算。利用 $e^{x} = 1 + x + x^{2} / 2 + O (x^{2}), \sin x = x + O (x^{2}), \cos x = 1 - x^{2} / 2 + O (x^{2})$ 对原式进行化简：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} e^{\sin x} = e^{x + O (x^{2})} = 1 + x + x^{2} / 2 + O (x^{2}), \\ lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - \sin x}{e^{\sin x} - \cos x - x} = lim_{x \to 0} \frac{x^{2} / 2 + O (x^{2})}{x^{2} + O (x^{2})} = \frac{1}{2} . \end{aligned} \end{matrix}

　　在这个例子中，用一次洛必达法则不再能满足我们的要求，于是我们用了第二次洛必达法则，对分子分母再次求导。这对应着将分子分母的函数用关于 $x$ 的二阶近似公式来表示。从这里我们能看出洛必达法则与泰勒展开公式的联系。事实上，带皮亚诺余项的泰勒展开式可以轻易地由洛必达法则得到。

未完成：文章：big O 记号

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洛必达法则

定理 1 (00) 型洛必达法则

定理 2 (∞∞) 型洛必达法则

习题 1

习题 2

定理 1　 $(\frac{0}{0})$ 型洛必达法则

定理 2　 $(\frac{\infty}{\infty})$ 型洛必达法则

习题 1　

习题 2　