洛必达法则

                     

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定理 1 $\left(\frac{0}{0}\right)$ 型 洛必达法则

   设函数 $f(x),g(x)$ 在 $a$ 点的某一去心邻域 $U_0(a,\delta)$ 上可导,而且满足:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0$;
  2. $g'(x)\neq 0,\forall x\in U_0(a,\delta)$;
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=l$($l$ 为有限数或 $+\infty$ 或 $-\infty$);

   则有

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l \end{equation}
上面的 $a$ 也可以取为 $+\infty$ 或 $-\infty$,定理仍然成立.

   洛必达法则可以通过柯西中值定理证明.

未完成:证明补充

   对于其中的一种特殊情况 $sf=\lim\limits_{x\rightarrow a}f'(x),sg=\lim\limits_{x\rightarrow a}g'(x)$ 存在且 $sg\neq 0$,可以通过函数的一阶近似式来理解:$f(x)=sf\cdot (x-a)+o(x-a),g(x)=sg\cdot (x-a)+o(x-a)$,于是 $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)/g(x)=sf/sg=\lim\limits_{x\rightarrow a}f'(x)/g'(x)$.利用泰勒展开公式作近似或者直接用洛必达法则,是求解分式函数极限问题的常用方法.

定理 2 $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$ 型 洛必达法则

   设函数 $f(x),g(x)$ 在 $a$ 点的某一去心邻域 $U_0(a,\delta)$ 上可导,而且满足:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)=\infty$;
  2. $g'(x)\neq 0,\forall x\in U_0(a,\delta)$;
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=l$($l$ 为有限数或 $\pm\infty,\infty$);

   则有

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l \end{equation}
上面的 $a$ 也可以取为 $+\infty$ 或 $-\infty$,定理仍然成立.

习题 1 

   计算 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$.

   直接对分子分母同时求导就可以求得:

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{1}=1 \end{equation}
这告诉我们 $\sin x$ 和 $x$ 在 $x\rightarrow 0$ 时是等价无穷小量(需引用词条).

习题 2 

   计算 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-\sin x}{e^{\sin x} - \cos x - x}$.

   提示:用洛必达法则,对分子和分母同时求两次导,答案为 $0.5$.

   这里我们也可以通过对分子分母作二阶近似来计算.利用 $e^x=1+x+x^2/2+o(x^2),\sin x=x+o(x^2),\cos x=1-x^2/2+o(x^2)$ 对原式进行化简:

\begin{equation} \begin{aligned} &e^{\sin x}=e^{x+o(x^2)}=1+x+x^2/2+o(x^2)\\ &\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-\sin x}{e^{\sin x} - \cos x - x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2/2+o(x^2)}{x^2+o(x^2)}=\frac{1}{2} \end{aligned} \end{equation}

   在这个例子中,用一次洛必达法则不再能满足我们的要求,于是我们用了第二次洛必达法则,对分子分母再次求导.这对应着将分子分母的函数用关于 $x$ 的二阶近似公式来表示.从这里我们能看出洛必达法则与泰勒展开公式的联系.事实上,带皮亚诺余项的泰勒展开式可以轻易地由洛必达法则得到.


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