利萨茹曲线

贡献者：切糕糕; addis; ACertainUser

预备知识　简谐振子

图 1：利萨茹曲线例子。一个可交互的示例见这里。

　　 利萨茹曲线（Lissajous curve）是平面上一点 $P$ 在两个垂直的方向 $x, y$ 分别做相简谐运动形成的轨迹，常见于示波器上。莉萨如曲线可以用以下参数方程表示

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x &= A \sin\left(a t + \phi\right) \\ y &= B \sin\left(b t\right) \end{aligned}\right. ~.\end{equation}

　　若两简谐运动频率之比 $a/b$ 是一个有理数（通常是两个较小的整数之比），则利萨茹曲线闭合，曲线的周期为两个方向周期 $2\pi/a$ 和 $2\pi/b$ 的最小公倍数；式中 $\phi$ 被称为相位差，顾名思义就是两个简谐振动的相位之差。

　　当曲线闭合时，把式 1 中的 $\sin$ 都换成 $\cos$ 曲线形状也不变，因为这相当于给 $x, y$ 同时加上 $\pi/2$ 相位。给 $x, y$ 同时加上任意相同的相位都不会改变曲线形状。

　　下文中，我们假设 $\phi \in (-\pi, \pi]$。不难证明，给 $\phi$ 取相反数同样不改变曲线的形状，唯一的区别只是点 $P$ 的运动方向相反。

1. 频率相同

　　频率相同时，两个方向上的频率之比固定为 1，故利萨茹曲线必然闭合。当 $\phi = 0$ 时，曲线是延 $y=(B/A)x$ 的线段；$\phi = \pi$ 时，是延 $y=-(B/A)x$ 的线段；当 $\phi = \pm\pi/2$ 时，轨迹是一个椭圆，椭圆的长短两个轴与 $x,y$ 坐标轴平行。特殊地，如果 $\phi = \pm\pi/2$ 且 $A = B$ 则轨迹是一个圆。

　　当 $\phi$ 是其他值时，曲线是一个斜置的椭圆。当 $A = B$ 时，椭圆长轴与 $x$ 轴的夹角为 $\pm\pi/4$。

证明

　　频率相同，即 $a=b$ 时，式 1 可以化为

\begin{equation} \frac xA-\frac yB\cos\phi-\frac{\sqrt{B^2-y^2}}{B}\sin\phi=0~. \end{equation}

当 $\phi=0$ 时，式 2 化为 $x/A-y/B=0$，即 $y=(B/A)x$，表示一条斜率为 $B/A$ 的直线。当 $\phi=\pi$ 时，式 2 化为 $y=-(B/A)x$，表示斜率为 $-B/A$ 的直线。

　　当 $\phi=\pm\pi/2$ 时，式 2 可以化为 $x/A=\pm\sqrt{B^2-y^2}/B$，两边平方即可化为式 1 ，表示一个长短轴分别沿 $x$、$y$ 轴的椭圆。又若 $A=B$，则表示为一个圆。

　　当 $A=B$ 时，式 2 可以化为

\begin{equation} x^2+y^2-2xy\cos\phi-A^2\sin^2\phi~. \end{equation}

设由式 1 所表示的椭圆旋转 $\theta$ 角度后得到的椭圆方程为

\begin{equation} \frac{(x\cos\theta-y\sin\theta)^2}{a^2}+\frac{(x\sin\theta+y\cos\theta)^2}{b^2}=1~, \end{equation}

将其展开为一般形式

\begin{equation} (a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta)x^2 + (a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)y^2+2(a^2-b^2)( \sin\theta\cos\theta)xy-a^2b^2=0~. \end{equation}

对比式 3 和式 5 各项系数，可得

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} & a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta = 1\\ & a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta = 1\\ & 2(a^2-b^2)\sin\theta\cos\theta = -2\cos\phi\\ & a^2b^2=A^2\sin^2\phi \end{aligned}\right. ~.\end{equation}

将式 6 前两式相减，可得 $a^2 \cos\left(2\theta\right) =b^2 \cos\left(2\theta\right) $，这说明若 $ \cos\left(2\theta\right) \neq 0$，则 $a^2 = b^2$。可由第三式，$\phi$ 取其他值时有 $a^2 \neq b^2$，所以必然有 $ \cos\left(2\theta\right) = 0$，即 $\theta = \pm\pi/4$。证毕。

　　一般而言，我们可以令 $t = 0$，那么曲线与 $x$ 轴的截线长度为 $A \sin\left(\phi\right) $，它与曲线的 $x$ 坐标最大值 $A$ 之比为 $\sin\phi$，由此可判断相位差。

图 2：利萨茹曲线 $A = B = a = b = 1$，$\phi = \pi n/6$（$n = 0,\dots,6$）

　　画图代码如下，读者可以试着使用参数运行。

代码 1：lissajous.m

% 画利萨茹曲线
A = 1; B = 1; % 振幅
a = 1; b = 1; % 频率
ph = linspace(0, pi, 7);
t = linspace(0, 2*pi, 1000);
figure; axis equal; hold on; grid on;
xlabel x; ylabel y;
for i = 1:numel(ph)
    x = A*sin(a*t+ph(i));
    y = B*sin(b*t);
    plot(x, y);
end

2. 频率不同

　　对于频率不同的情况，若频率之比为无理数，则两个方向的周期之比也为无理数，因此不存在这两个周期的最小公倍数（或最小公倍数为无穷），此时周期为无穷大，利萨茹曲线永不闭合。此时，随着时间的增加，曲线将会趋于遍布整个定义域 $-A\leqslant x \leqslant A$，$-B \leqslant y \leqslant B$ 内所有的点（或称曲线在该区域内稠密）。若频率之比为有理数，则周期之比也为有理数，此时一定存在二者的最小公倍数，即存在一个有限的周期，利萨茹曲线闭合。

　　对于曲线闭合的情况，可以从一个完整周期内的曲线图样推知频率之比。因为在一个完整周期内，某个方向上达到极大值的次数与该方向上的频率呈正比。于是，只要数出一个周期内两个方向的峰值各出现的次数，他们的比值即为两个方向上的频率之比。

图 3：利萨茹曲线（左：$A=B=1$，$a=2$，$b=3$，$\phi=0$；右：$A=B=1$，$a=\sqrt 2$，$b=\sqrt 3$，$\phi=0$)

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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