利萨茹曲线

             

预备知识 简谐振子

  1利萨茹曲线(Lissajous curve)是平面上一点 $P$ 在两个垂直的方向 $x, y$ 分别做相简谐运动形成的轨迹,常见于示波器上.莉萨如曲线可以用以下参数方程表示

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x &= A \sin\left(a t + \phi\right) \\ y &= B \sin\left(b t\right) \end{aligned}\right. \end{equation}
通常来说,我们讨论的是闭合的利萨茹曲线,此时要求频率之比 $a/b$ 是一个有理数,通常是两个较小的整数之比.曲线的周期为两个方向周期 $2\pi/a$ 和 $2\pi/b$ 的最小公倍数.式中 $\phi$ 被称为相位差,顾名思义就是两个简谐振动的相位之差.当曲线闭合时,把式 1 中的 $\sin$ 都换成 $\cos$ 曲线形状也不变,因为这相当于给 $x, y$ 同时加上 $\pi/2$ 相位.给 $x, y$ 同时加上任意相同的相位都不会改变曲线形状.

   下文中,我们假设 $\phi \in (-\pi, \pi]$.不难证明,给 $\phi$ 取相反数同样不改变曲线的形状,唯一的区别只是点 $P$ 的运动方向相反.

1. 频率相同

   频率相同时,两个方向上的频率之比固定为 1,故利萨茹曲线必然闭合. 当 $\phi = 0$ 时,曲线是延 $y=(B/A)x$ 的线段;$\phi = \pi$ 时,是延 $y=-(B/A)x$ 的线段;当 $\phi = \pm\pi/2$ 时,轨迹是一个椭圆,椭圆的长短两个轴与 $x,y$ 坐标轴平行.特殊地,如果 $\phi = \pm\pi/2$ 且 $A = B$ 则轨迹是一个圆.

   当 $\phi$ 是其他值时,曲线是一个斜置的椭圆.当 $A = B$ 时,椭圆长轴与 $x$ 轴的夹角为 $\pm\pi/4$.

证明

   频率相同,即 $a=b$ 时,式 1 可以化为

\begin{equation} \frac xA-\frac yB\cos\phi-\frac{\sqrt{B^2-y^2}}{B}\sin\phi=0 \end{equation}
当 $\phi=0$ 时,式 2 化为 $x/A-y/B=0$,即 $y=(B/A)x$,表示一条斜率为 $B/A$ 的直线.当 $\phi=\pi$ 时,式 2 化为 $y=-(B/A)x$,表示斜率为 $-B/A$ 的直线.

   当 $\phi=\pm\pi/2$ 时,式 2 可以化为 $x/A=\pm\sqrt{B^2-y^2}/B$,两边平方即可化为式 4 ,表示一个长短轴分别沿 $x$、$y$ 轴的椭圆.又若 $A=B$,则表示为一个圆.

   当 $A=B$ 时,式 2 可以化为

\begin{equation} x^2+y^2-2xy\cos\phi-A^2\sin^2\phi \end{equation}
设由式 4 所表示的椭圆旋转 $\theta$ 角度后得到的椭圆方程为
\begin{equation} \frac{(x\cos\theta-y\sin\theta)^2}{a^2}+\frac{(x\sin\theta+y\cos\theta)^2}{b^2}=1 \end{equation}
将其展开为一般形式
\begin{equation} (a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta)x^2 + (a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)y^2+2(a^2-b^2)( \sin\theta\cos\theta)xy-a^2b^2=0 \end{equation}
对比式 3 式 5 各项系数,可得
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} & a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta = 1\\ & a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta = 1\\ & 2(a^2-b^2)\sin\theta\cos\theta = -2\cos\phi\\ & a^2b^2=A^2\sin^2\phi \end{aligned}\right. \end{equation}
式 6 前两式相减,可得 $a^2 \cos\left(2\theta\right) =b^2 \cos\left(2\theta\right) $,这说明若 $ \cos\left(2\theta\right) \neq 0$,则 $a^2 = b^2$.可由第三式,$\phi$ 取其他值时有 $a^2 \neq b^2$,所以必然有 $ \cos\left(2\theta\right) = 0$,即 $\theta = \pm\pi/4$.证毕.

   一般而言,我们可以令 $t = 0$,那么曲线与 $x$ 轴的截线长度为 $A \sin\left(\phi\right) $,它与曲线的 $x$ 坐标最大值 $A$ 之比为 $\sin\phi$,由此可判断相位差.

图
图 1:利萨茹曲线 $A = B = a = b = 1$,$\phi = \pi n/6$($n = 0,\dots,6$)

   画图代码如下,读者可以试着使用参数运行.

代码 1:lissajous.m
% 画利萨茹曲线
A = 1; B = 1; % 振幅
a = 1; b = 1; % 频率
ph = linspace(0, pi, 7);
t = linspace(0, 2*pi, 1000);
figure; axis equal; hold on; grid on;
xlabel x; ylabel y;
for i = 1:numel(ph)
    x = A*sin(a*t+ph(i));
    y = B*sin(b*t);
    plot(x, y);
end

2. 频率不同

   对于频率不同的情况,若频率之比为无理数,则两个方向的周期之比也为无理数,因此不存在这两个周期的最小公倍数(或最小公倍数为无穷),此时周期为无穷大,利萨茹曲线永不闭合.此时,随着时间的增加,曲线将会趋于遍布整个定义域 $-A\leqslant x \leqslant A$,$-B \leqslant y \leqslant B$ 内所有的点(或称曲线在该区域内稠密).若频率之比为有理数,则周期之比也为有理数,此时一定存在二者的最小公倍数,即存在一个有限的周期,利萨茹曲线闭合.

   对于曲线闭合的情况,可以从一个完整周期内的曲线图样推知频率之比.因为在一个完整周期内,某个方向上达到极大值的次数与该方向上的频率呈正比.于是,只要数出一个周期内两个方向的峰值各出现的次数,他们的比值即为两个方向上的频率之比.

图
图 2:利萨茹曲线(左:$A=B=1$,$a=2$,$b=3$,$\phi=0$;右:$A=B=1$,$a=\sqrt 2$,$b=\sqrt 3$,$\phi=0$)

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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