李代数的子代数、理想与商代数

             

预备知识 李代数

1. 子代数与理想

   和抽象代数中的子群、子环等类比,李代数也可以有次级结构,即子代数.

   设 $\mathfrak{m}, \mathfrak{n}$ 是李代数 $\mathfrak{g}$ 的非空子集,定义子集间的运算为 $\mathfrak{m}+\mathfrak{n}=\{M+N|M\in\mathfrak{m}, N\in\mathfrak{n}\}$,以及 $[\mathfrak{m}, \mathfrak{n}]=\{[M, N]|M\in\mathfrak{m}, N\in\mathfrak{n}\}$.那么如果 $\mathfrak{m}, \mathfrak{n}$ 和 $\mathfrak{p}$ 都是 $\mathfrak{g}$ 作为线性空间的子空间,我们容易证明以下性质:

定义 1 李代数的子代数

   若 $\mathfrak{g}$ 是李代数,$\mathfrak{h}$ 是它作为线性空间的子空间,且有 $[\mathfrak{h}, \mathfrak{h}]\subseteq\mathfrak{h}$,那么称 $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的子代数(sub (Lie) algebra)

   尽管李代数并不成环,但是我们也可以仿照环的理想的定义,用吸收律来定义李代数的理想:

定义 2 李代数的理想

   若 $\mathfrak{g}$ 是李代数,$\mathfrak{h}$ 是它作为线性空间的子空间,且有 $[\mathfrak{g}, \mathfrak{h}]=\mathfrak{h}$,那么称 $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想(ideal)

   显然,$\mathfrak{g}$ 和 $\{0\}$ 都是 $\mathfrak{g}$ 的理想,称为平凡理想(trivial ideal)

   我们通常把定义中 $[\mathfrak{g}, \mathfrak{h}]=\mathfrak{h}$ 这一条,称为 “吸收性” 或者说 “吸收律”,方便记忆.从定义可以看到,李代数的理想必为其子代数.进一步,理想和子代数还满足以下性质:

   证明是很简单的,留作练习.注意最后的包含关系里的符号区别,其中一共三个子集符号.

例 1 理想的例子

   域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵的集合 $ \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$,构成一个李代数.考虑到对于任意矩阵 $A, B\in \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$,我们有 $ \operatorname {trace}(AB)= \operatorname {trace}(A) \operatorname {trace}(B)= \operatorname {trace}(B) \operatorname {trace}(A)= \operatorname {trace}(BA)$,因此必有 $ \operatorname {trace}([A, B])=0$.这就提示我们去考虑迹为 $0$ 的全体 $n$ 阶方阵的集合,记为 $\mathfrak{t}$,容易验证它就是 $ \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$ 的一个理想.

习题 1 李代数的中心

   证明对于李代数 $\mathfrak{g}$,其中心(定义 3 )$C(\mathfrak{g})$ 构成一个理想.

2. 半单李代数

   和单群类似,我们可以定义单李代数:

定义 3 单李代数

   给定李代数 $\mathfrak{g}$,如果它没有非平凡理想,即除了 $\{0\}$ 和 $\mathfrak{g}$ 自身外没有别的理想,那么我们称它为一个单李代数(simple Lie algebra)

   类似地,如果加一个限制,还有半单李代数的概念:

定义 4 半单李代数

   给定李代数 $\mathfrak{g}$,如果它没有非平凡交换理想,那么我们称它为一个半单李代数(semi-simple Lie algebra)

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