贡献者： JierPeter
1. 同态与同构
和其它代数结构一样，李代数之间可以建立同态与同构映射，其基本思想依然是保持运算结构。
定义 1 李代数的同态
给定李代数 $\mathfrak{g}$ 和 $\mathfrak{h}$ 和线性映射$f:\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$，如果对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{g}} _1, \boldsymbol{\mathbf{g}} _2$ 还满足 $f([ \boldsymbol{\mathbf{g}} _1, \boldsymbol{\mathbf{g}} _2])=[f( \boldsymbol{\mathbf{g}} _1), f( \boldsymbol{\mathbf{g}} _2)]$，那么称 $f$ 是 $\mathfrak{g}$ 到 $\mathfrak{h}$ 的一个同态（homomorphism）。
记 $ \operatorname {ker}f =\{g\in\mathfrak{g}|f(g)=0\in\mathfrak{h}\}$，称为 $f$ 的核（kernel）。
定义 2 李代数的同构
双射的李代数同态，称为同构（isomorphism）。
一个李代数 $\mathfrak{g}$ 到自身的同态称为 $\mathfrak{g}$ 上的一个自同态（endomorphism）。$\mathfrak{g}$ 上的全体自同态构成的集合，配合映射的复合作为二元运算，就可以构成一个半群，记为 $ \operatorname {End}\mathfrak{g}$。它只是一个半群，因为有一些自同态不是双射1，它们就没有逆映射。
$\mathfrak{g}$ 到自身的同构，称为 $\mathfrak{g}$ 上的一个自同构（automorphism），全体自同构的集合配合映射的符合可以构成一个群，记为 $ \operatorname {Aut}\mathfrak{g}$。
同样，李代数的也有相应的同态基本定理：
定义 3 李代数的同态基本定理
令 $f:\mathfrak{g}\to \mathfrak{h}$ 为李代数同态，则有
- $\mathfrak{g}/ \operatorname {ker} f\cong \mathfrak{h}$；
- 如果 $\mathfrak{g}_0\supseteq \operatorname {ker}f$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想，那么 $f(\mathfrak{g}_0)$ 是 $\mathfrak{h}$ 的理想。
2. 李代数的表示
同态可以用于把李代数的性质转嫁到容易处理的结构上去，方便进行讨论和计算。这样的同态映射就叫做 “表示”。
定义 4
设 $\mathfrak{g}$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的一个李代数，$V$ 为 $\mathbb{F}$ 上的一个线性空间，$ \operatorname {gl}V$ 是 $V$ 上全体线性变换的集合构成的李代数2。如果 $\rho:\mathfrak{g}\to \operatorname {gl}V$ 满足李代数同态，那么称 $\rho$ 是 $\mathfrak{g}$ 的一个以$V$为表示空间的线性表示（linear representation）。
$ \operatorname {dim} V$ 被称为该表示的维数（dimension）；$ \operatorname {ker}\rho$ 被称为该表示的核（kernel）。
定义 4 中 $\mathfrak{g}$ 的每个元素都被 $\rho$ 映射到了 $V$ 的一个线性变换上，所以我们也可以把表示看成是李代数对表示空间的作用，这是一种群作用。
例 1 伴随表示
设 $\mathfrak{g}$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的一个李代数，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in\mathfrak{g}$，定义映射 $ \operatorname {ad}_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } :\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ 为：对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} \in\mathfrak{g}$，有 $ \operatorname {ad}_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }( \boldsymbol{\mathbf{y}} )=[ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} ]$。这样，$ \operatorname {ad}_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }$ 就可以看成是李代数对自身的一个线性变换。
令 $\rho:\mathfrak{g}\to \operatorname {gl}\mathfrak{g}$，其中 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \operatorname {ad}_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }$。称 $\rho$ 是 $\mathfrak{g}$ 上的一个伴随表示（adjoint representation）。
由定义容易知道，$ \operatorname {ker}\rho=C(\mathfrak{g})$。
1. ^ 比如把所有元素都映射到 $0$ 上的映射。
2. ^ 即用线性变换的复合和相加作为运算构成一个环，然后再用从结合代数中导出李代数的方法导出一个李代数。当选定了 $V$ 的一组基时，还可以把每个线性变换表示成一个矩阵。
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