李代数的同态与同构

             

预备知识 李代数的子代数、理想与商代数

1. 同态与同构

   和其它代数结构一样,李代数之间可以建立同态与同构映射,其基本思想依然是保持运算结构.

定义 1 李代数的同态

   给定李代数 $\mathfrak{g}$ 和 $\mathfrak{h}$ 和线性映射$f:\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$,如果对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{g}} _1, \boldsymbol{\mathbf{g}} _2$ 还满足 $f([ \boldsymbol{\mathbf{g}} _1, \boldsymbol{\mathbf{g}} _2])=[f( \boldsymbol{\mathbf{g}} _1), f( \boldsymbol{\mathbf{g}} _2)]$,那么称 $f$ 是 $\mathfrak{g}$ 到 $\mathfrak{h}$ 的一个同态(homomorphism)

   记 $ \operatorname {ker}f =\{g\in\mathfrak{g}|f(g)=0\in\mathfrak{h}\}$,称为 $f$ 的核(kernel)

定义 2 李代数的同构

   双射的李代数同态,称为同构(isomorphism)

   一个李代数 $\mathfrak{g}$ 到自身的同态称为 $\mathfrak{g}$ 上的一个自同态(endomorphism).$\mathfrak{g}$ 上的全体自同态构成的集合,配合映射的复合作为二元运算,就可以构成一个半群,记为 $ \operatorname {End}\mathfrak{g}$.它只是一个半群,因为有一些自同态不是双射1,它们就没有逆映射.

   $\mathfrak{g}$ 到自身的同构,称为 $\mathfrak{g}$ 上的一个自同构(automorphism),全体自同构的集合配合映射的符合可以构成一个,记为 $ \operatorname {Aut}\mathfrak{g}$.

   同样,李代数的也有相应的同态基本定理:

定义 3 李代数的同态基本定理

   令 $f:\mathfrak{g}\to \mathfrak{h}$ 为李代数同态,则有

  • $\mathfrak{g}/ \operatorname {ker} f\cong \mathfrak{h}$;
  • 如果 $\mathfrak{g}_0\supseteq \operatorname {ker}f$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想,那么 $f(\mathfrak{g}_0)$ 是 $\mathfrak{h}$ 的理想.

2. 李代数的表示

   同态可以用于把李代数的性质转嫁到容易处理的结构上去,方便进行讨论和计算.这样的同态映射就叫做 “表示”.

定义 4 

   设 $\mathfrak{g}$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的一个李代数,$V$ 为 $\mathbb{F}$ 上的一个线性空间,$ \operatorname {gl}V$ 是 $V$ 上全体线性变换的集合构成的李代数2.如果 $\rho:\mathfrak{g}\to \operatorname {gl}V$ 是一个同态,那么称 $\rho$ 是 $\mathfrak{g}$ 的一个$V$为表示空间线性表示(linear representation)

   $ \operatorname {dim} V$ 被称为该表示的维数(dimension);$ \operatorname {ker}\rho$ 被称为该表示的核(kernel)

   定义 4 中 $\mathfrak{g}$ 的每个元素都被 $\rho$ 映射到了 $V$ 的一个线性变换上,所以我们也可以把表示看成是李代数对表示空间的作用,这是一种群作用.

例 1 伴随表示

   设 $\mathfrak{g}$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的一个李代数,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in\mathfrak{g}$,定义映射 $ \operatorname {ad}_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } :\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ 为:对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} \in\mathfrak{g}$,有 $ \operatorname {ad}_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }( \boldsymbol{\mathbf{y}} )=[ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} ]$.这样,$ \operatorname {ad}_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }$ 就可以看成是李代数对自身的一个线性变换.

   令 $\rho:\mathfrak{g}\to \operatorname {gl}\mathfrak{g}$,其中 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \operatorname {ad}_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }$.称 $\rho$ 是 $\mathfrak{g}$ 上的一个伴随表示(adjoint representation)

   由定义容易知道,$ \operatorname {ker}\rho=C(\mathfrak{g})$.


1. ^ 比如把所有元素都映射到 $0$ 上的映射.
2. ^ 即用线性变换的复合和相加作为运算构成一个环,然后再用从结合代数中导出李代数的方法导出一个李代数.当选定了 $V$ 的一组基时,还可以把每个线性变换表示成一个矩阵.

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