Lebesgue 积分的一些补充性质

贡献者： JierPeter; addis

　　 由于非负可测函数的积分定义为 “压平” 后的非负有界可测函数的积分之极限，易得以下性质：

　　 这里的函数取值可以是广义实数 $\pm \mathrm{\infty }$。

　　 由描述 Lebesgue 积分几何意义的定理 4 ，容易推得以下定理：

　　 简单来说，Levi 定理就是指单调不减的非负可测函数列具有 “可极限换序” 的性质。

　　 由 Levi 定理可以直接得到以下推论：

　　 回忆上极限与下极限的定义 1 ，我们可以把这个定义推广到函数列上去。为了方便阅读，我们在这里简单解释一下上下极限的含义，已熟悉的读者可直接跳过，需要更详细解释的读者请跳转到子列极限、上极限与下极限。

　　 简单来说，数列的上极限就是 “上确界的极限”，下极限就是 “下确界的极限”。当然，由于上确界数列 $\{sup\{a_i{\}}_{i=n}^{\mathrm{\infty }}\}$ 是单调不增的，也可以说上极限是 “上确界的下确界”，类似地，下极限就是 “下确界的上确界”。后面这两种解释更适用于子列极限、上极限与下极限中的讨论。

　　 有了上下极限的概念，我们才可以描述清楚以下性质：

　　 证明：

　　 为方便讨论，定义一个工具函数：

　　 则由定义 2 可知，${\underset{―}{lim}}_{k\to \mathrm{\infty }}{f}_k(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}_k(x)$。另外易得，$\{g_k\}$ 是一列 $E$ 上的一列单调不减的非负可测函数。

　　 由确界的性质，可知 $g_k(x)\le f_k(x)$ 处处成立。因此有

　　 于是由定理 1 ，结合极限的性质可得：

　　 证毕。

　　 定理 2 有没有可能更强一些呢？就是说，能不能把式 5 的不等号写成等号呢？答案是否定的，用下面这个简单的例子就可以看出来：

　　 考虑到 $|{\int }_{E}f(x)\mathrm{d}x|=|{\int }_E{f}^{+}(x)\mathrm{d}x-{\int }_E{f}^{-}(x)\mathrm{d}x|$ 和 ${\int }_E|f(x)|\mathrm{d}x={\int }_E{f}^{+}(x)\mathrm{d}x+{\int }_E{f}^{-}(x)\mathrm{d}x$，可得柯西不等式：

　　 证明：

　　 由柯西不等式式 13 ，可知只需要考虑 $f$ 是非负可测函数的情况即可。又由引理 1 ，只需要考虑 $f$ 处处有限的情况即可，即有界。下设 $f$ 是有界的非负可测函数。

　　 设 $f$ 的一个上界为 $s$，那么只需要取 $\delta <ϵ/s$ 即可得证。

　　 证毕。