Lebesgue 积分的一些补充性质

                     

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 Lebesgue 积分,子列极限、上极限与下极限

   由于非负可测函数的积分定义为 “压平” 后的非负有界可测函数的积分之极限,易得以下性质:

引理 1 

   如果 $E$ 是零测集,那么 $E$ 上的任意函数都是可测的,且其积分为 $0$.

   这里的函数取值可以是广义实数 $\pm\infty$.

   由描述 Lebesgue 积分几何意义的定理 4 ,容易推得以下定理:

定理 1 Levi 定理

  

   设 $\{f_k\}$ 是可测集 $E$ 上的一列单调不减非负可测函数,则有

\begin{equation} \int_E \left[\lim\limits_{k\to \infty} f_k(x) \right] \,\mathrm{d}{x} = \lim\limits_{k\to \infty}\int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   简单来说,Levi 定理就是指单调不减的非负可测函数列具有 “可极限换序” 的性质.

   由 Levi 定理可以直接得到以下推论:

推论 1 Lebesgue 基本定理

   设 $\{f_k\}^\infty_{k=1}$ 是可测集 $E$ 上的一列非负可测函数,则有

\begin{equation} \int_E \left[\sum\limits_{k=1}f_k(x) \right] \,\mathrm{d}{x} = \sum\limits_{k=1} \int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   回忆上极限下极限定义 1 ,我们可以把这个定义推广到函数列上去.为了方便阅读,我们在这里简单解释一下上下极限的含义,已熟悉的读者可直接跳过,需要更详细解释的读者请跳转到子列极限、上极限与下极限

定义 1 数列的上、下极限

   给定实数列 $\{a_n\}$.

   定义

\begin{equation} \lim\limits_{n\to\infty} \sup\{a_i\}_{i=n}^\infty = \operatorname {\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty} a_n \end{equation}
为 $\{a_n\}$ 的上极限(upper limit)

   类似地,定义

\begin{equation} \lim\limits_{n\to\infty} \inf\{a_i\}_{i=n}^\infty = \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty} a_n \end{equation}
为 $\{a_n\}$ 的下极限(lower limit)

   简单来说,数列的上极限就是 “上确界的极限”,下极限就是 “下确界的极限”.当然,由于上确界数列 $\{\sup \{a_i\}_{i=n}^\infty\}$ 是单调不增的,也可以说上极限是 “上确界的下确界”,类似地,下极限就是 “下确界的上确界”.后面这两种解释更适用于子列极限、上极限与下极限中的讨论.

定义 2 函数列的上、下极限

  

   给定一列实函数 $f_k$.定义其上、下极限函数在 $x$ 处的值为数列 $f_k(x)$ 的上、下极限.

   有了上下极限的概念,我们才可以描述清楚以下性质:

定理 2 Fatou 引理

  

   设 $f_k$ 是可测集 $E$ 上的一列非负可测函数,则

\begin{equation} \int_E \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to \infty} f_k(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to \infty}\int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   证明

   为方便讨论,定义一个工具函数:

\begin{equation} g_k(x) = \inf\limits_{i\geq 0}\{f_{k+i}(x)\} \end{equation}

   则由定义 2 可知,$ \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to\infty} f_k(x)=\lim\limits_{k\to\infty} g_k(x)$.另外易得,$\{g_k\}$ 是一列 $E$ 上的一列单调不减非负可测函数.

   由确界的性质,可知 $g_k(x)\leq f_k(x)$ 处处成立.因此有

\begin{equation} \lim_{k\to\infty} \int_E g_k(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \lim_{k\to\infty} \int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   于是由定理 1 ,结合极限的性质可得:

\begin{equation} \begin{aligned} \int_E \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to\infty}f_k(x) \,\mathrm{d}{x} &= \int_E \lim_{k\to\infty} g_k(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &=\lim_{k\to\infty} \int_E g_k(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &\leq \lim_{k\to\infty} \int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} \end{aligned} \end{equation}

   证毕

   定理 2 有没有可能更强一些呢?就是说,能不能把式 5 的不等号写成等号呢?答案是否定的,用下面这个简单的例子就可以看出来:

例 1 

   考虑区间 $[0, 1]$ 上的函数列 $\{f_k\}$,其定义如下:

   当 $k$ 为奇数时,

\begin{equation} f_k(x)= \left\{\begin{aligned} &1, x\in[0, 1/2)\\ &0, x\in[1/2, 0] \end{aligned}\right. \end{equation}

   当 $k$ 为偶数时,

\begin{equation} f_k(x)= \left\{\begin{aligned} &0, x\in[0, 1/2)\\ &1, x\in[1/2, 0] \end{aligned}\right. \end{equation}

   则显然 $ \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to \infty}f_k(x)=0$ 处处成立,故

\begin{equation} \int_{[0, 1]} \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to \infty}f_k(x) \,\mathrm{d}{x} = 0 \end{equation}

   但由于各 $\int_{[0, 1]} f_k(x) \,\mathrm{d}{x} $ 都等于 $1/2$,故

\begin{equation} \operatorname {\underline{\lim}}\limits_{k\to \infty}\int_{[0, 1]} f_k(x) \,\mathrm{d}{x} = 1/2 \end{equation}

   比较式 11 式 12 即可知,式 5 的等号不总是成立.

   考虑到 $ \left\lvert \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert = \left\lvert \int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} - \int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert $ 和 $\int_E \left\lvert f(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} = \int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} + \int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} $,可得柯西不等式

\begin{equation} \left\lvert \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert \leq \int_E \left\lvert f(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

定理 3 积分的绝对连续性

   设 $f$ 在 $E$ 上 Lebesgue 可积且几乎处处有限,那么对于任意的 $\epsilon > 0$,总存在 $\delta > 0$ 使得只要 $A\subseteq E$ 的测度 $ \operatorname {m}A < \delta$,就一定有

\begin{equation} \left\lvert \int_A f(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert < \epsilon \end{equation}

   证明

   由柯西不等式式 13 ,可知只需要考虑 $f$ 是非负可测函数的情况即可.又由引理 1 ,只需要考虑 $f$ 处处有限的情况即可,即有界.下设 $f$ 是有界的非负可测函数.

   设 $f$ 的一个上界为 $s$,那么只需要取 $\delta < \epsilon/s$ 即可得证.

   证毕


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