子列极限、上极限与下极限
贡献者: _Eden_; DTSIo; addis
1. 子列极限与上下极限
我们知道,有许多序列是没有极限的,例如简单的振荡序列 : 它在正负 1 之间无穷多次地跳动,因此它不收敛。但是,它的子序列却可以有极限。
下面我们要介绍的是上下极限的概念,它可以很好地描述序列的 “振荡” 特征。如下图所示,横坐标为 ,纵坐标为序列的第 个元素 。可以发现序列越来越趋向于在橙色线和蓝色线之间振荡。“在无穷远处”,蓝色线 “几乎” 是序列的上界;橙色线 “几乎” 是序列的下界。
图 1:上下极限示意图
为了给出严格的描述,我们需要借助上确界和下确界的语言进行定义。
定义 1 上下极限
设序列 ,定义 ,定义 。也就是说, 是序列从 开始的后缀的下确界; 是序列从 开始的后缀的上确界。
如果序列有上界,那么 是良定义的,定义序列的上极限为 。
如果序列有下界,那么 是良定义的,定义序列的下极限为 。
记做
图 1 中蓝线代表的是序列的上极限,橙色线代表的是序列的下极限。
习题 1
设序列 有界,证明序列的下极限 可以用 的极限表示;序列的上极限 可以用 的极限表示:
从这个习题我们可以看出,序列的上下极限的含义正是序列在 “无穷远处” 的上界和下界。
2. 上下极限的性质
定理 1
以下三个命题等价:
-
- 对任意 ,总是存在 ,当 时,总有 ;
对任意 ,对任意的 ,总是存在 ,使 。
- 存在子列 ,使得 ,并对任何其它收敛子列 ,都有
未完成:最好再补充证明
对于一个实数的子集,将其中的数洒在数轴上,可能会存在这样的点 ,它周围有无穷多个点 在集合中,而且无论把数轴放大多少倍,也是如此。直观上看,集合中的 “点” 聚集在 周围,所以我们称这样的点为聚点。如果对任意去心邻域 ,总是存在集合中的某个元素 在这个去心邻域中,那么 就是聚点。下面我们给出形式化的定义:
定义 2 聚点
设 是 中的一个子集。若 ( 不一定属于 )满足:对任意 ,有 ,则称 是 的一个聚点。
我们尝试观察序列的上下极限有哪些性质,是否与聚点有关系。从直观上看,如果把序列 当作是集合,那么在上极限附近似乎聚集了大量的点,再以上的就都不是聚点了;在下极限附近也似乎聚集了大量的点,再以下的就都不是聚点了。具体地,我们有以下定理:
定理 2 序列极限与聚点
- 若有界序列 由互不相同的数组成,则上极限为其最大聚点,下极限为其最小聚点。
- 若 为 子列,则有 。
-
习题 2
- 设 是 中的一个子集。若 是 的一个聚点,证明: , 中有无穷多个元素。
- 证明性质 1 和性质 2。
- 利用上下极限证明 发散。
- 序列 的上极限为 ,序列 的上极限为 ,那么序列 的上极限是 吗, 的上极限是 吗?
- 若序列 是非负收敛序列,上一问的命题成立吗?
3. 柯西收敛准则
定义 3 柯西序列
设{}是一个序列,若对任意 ,总是存在 ,当 时,有 ,则称{}是一个柯西序列。
定理 3 柯西收敛准则
序列 {} 收敛 {} 是一个柯西序列。
定理 4 压缩映像定理
设 在 上有定义,,且存在一个 内的实数 ,满足对任意 ,都有 。
那么:存在唯一 ,使 。
证明:构造序列 ,用柯西准则证明其收敛。
习题 3
- 写出柯西收敛准则的否命题形式(用肯定的语气写出:怎样的序列不是柯西序列,怎样的序列不是发散的)。
- 试用闭区间套定理证明压缩映像原理。
- 设序列 满足 ,求证 的极限存在,并求其极限。
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