子列极限、上极限与下极限

定义 1　上下极限

　　 设序列 $\{x_n\}$，定义 $l_n=inf\{x_n,x_{n+1},\cdots \}$，定义 $h_n=sup\{x_n,x_{n+1},\cdots \}$。也就是说，$l_n$ 是序列从 $n$ 开始的后缀的下确界；$h_n$ 是序列从 $n$ 开始的后缀的上确界。

　　 如果序列有上界，那么 $h_n$ 是良定义的，定义序列的上极限为 $h=inf\{h_n\}$。

　　 如果序列有下界，那么 $l_n$ 是良定义的，定义序列的下极限为 $l=sup\{l_n\}$。 记做

定理 1　

　　 以下三个命题等价：

1. $h={\overline{lim}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n$
2. 对任意 $ϵ>0$，总是存在 $N$，当 $n>N$ 时，总有 $x_n<h+ϵ$； 对任意 $ϵ>0$，对任意的 $K$，总是存在 $n>K$，使 $x_n>h-ϵ$。
3. 存在子列 $\{x_{n_k}\}$，使得 $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}=h$，并对任何其它收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，都有 $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}\le h$

定义 2　聚点

　　 设 $E$ 是 $\mathbb{R}$ 中的一个子集。若 $x_0\in \mathbb{R}$（$x_0$ 不一定属于 $E$）满足：对任意 $\delta >0$，有 $U_0(x_0,\delta )\cap E\ne \mathrm{\varnothing }$，则称 $x_0$ 是 $E$ 的一个聚点。

定理 2　序列极限与聚点

1. 若有界序列 $\{x_n\}$ 由互不相同的数组成，则上极限为其最大聚点，下极限为其最小聚点。
2. 若 $\{x_{n_k}\}$ 为 $\{x_n\}$ 子列，则有 ${\underset{―}{lim}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n\le {\underset{―}{lim}}_{k\to \mathrm{\infty }}{x}_{n_k}\le {\overline{lim}}_{k\to \mathrm{\infty }}{x}_{n_k}\le {\overline{lim}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n$。
3. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a\iff {\underset{―}{lim}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n={\overline{lim}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=a$

定义 3　柯西序列

　　 设{$x_n$}是一个序列，若对任意 $ϵ>0$，总是存在 $N$，当 $n,m>N$ 时，有 $|x_n-x_m|<ϵ$，则称{$x_n$}是一个柯西序列。

定理 3　柯西收敛准则

　　 序列 {$x_n$} 收敛 $\iff$ {$x_n$} 是一个柯西序列。

定理 4　压缩映像定理

　　 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义，$f([a,b])\subset [a,b]$，且存在一个 $(0,1)$ 内的实数 $q$，满足对任意 $x,y\in [a,b]$，都有 $|f(x)-f(y)|\le q|x-y|$。

　　 那么：存在唯一 $c\in [a,b]$，使 $f(c)=c$。