子列极限、上极限与下极限

                     

贡献者: _Eden_; DTSIo; addis

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预备知识 柯西序列

1. 子列极限与上下极限

   我们知道,有许多序列是没有极限的,例如简单的振荡序列 {(1)n}: 它在正负 1 之间无穷多次地跳动,因此它不收敛。但是,它的子序列却可以有极限。

   下面我们要介绍的是上下极限的概念,它可以很好地描述序列的 “振荡” 特征。如下图所示,横坐标为 n,纵坐标为序列的第 n 个元素 xn。可以发现序列越来越趋向于在橙色线和蓝色线之间振荡。“在无穷远处”,蓝色线 “几乎” 是序列的上界;橙色线 “几乎” 是序列的下界。

图
图 1:上下极限示意图

   为了给出严格的描述,我们需要借助上确界和下确界的语言进行定义。

定义 1 上下极限

   设序列 {xn},定义 ln=inf{xn,xn+1,},定义 hn=sup{xn,xn+1,}。也就是说,ln 是序列从 n 开始的后缀的下确界;hn 是序列从 n 开始的后缀的上确界。

   如果序列有上界,那么 hn 是良定义的,定义序列的上极限h=inf{hn}

   如果序列有下界,那么 ln 是良定义的,定义序列的下极限l=sup{ln}。 记做

(1)l=limnxn ,h=limnxn .

   图 1 中蓝线代表的是序列的上极限,橙色线代表的是序列的下极限。

习题 1 

   设序列 {xn} 有界,证明序列的下极限 l 可以用 {ln} 的极限表示;序列的上极限 h 可以用 {hn} 的极限表示:

(2)l=limnxn=limnln ,h=limnxn=limnhn .

   从这个习题我们可以看出,序列的上下极限的含义正是序列在 “无穷远处” 的上界和下界。

2. 上下极限的性质

定理 1 

   以下三个命题等价:

  1. h=limnxn
  2. 对任意 ϵ>0,总是存在 N,当 n>N 时,总有 xn<h+ϵ; 对任意 ϵ>0,对任意的 K,总是存在 n>K,使 xn>hϵ
  3. 存在子列 {xnk},使得 limkxnk=h,并对任何其它收敛子列 {xnk},都有 limkxnkh

  

未完成:最好再补充证明

   对于一个实数的子集,将其中的数洒在数轴上,可能会存在这样的点 x0,它周围有无穷多个点 x 在集合中,而且无论把数轴放大多少倍,也是如此。直观上看,集合中的 “点” 聚集在 x0 周围,所以我们称这样的点为聚点。如果对任意去心邻域 U0(x0,δ),总是存在集合中的某个元素 x 在这个去心邻域中,那么 x0 就是聚点。下面我们给出形式化的定义:

定义 2 聚点

   设 ER 中的一个子集。若 x0Rx0 不一定属于 E)满足:对任意 δ>0,有 U0(x0,δ)E,则称 x0E 的一个聚点。

   我们尝试观察序列的上下极限有哪些性质,是否与聚点有关系。从直观上看,如果把序列 {xn} 当作是集合,那么在上极限附近似乎聚集了大量的点,再以上的就都不是聚点了;在下极限附近也似乎聚集了大量的点,再以下的就都不是聚点了。具体地,我们有以下定理:

定理 2 序列极限与聚点

  1. 若有界序列 {xn} 由互不相同的数组成,则上极限为其最大聚点,下极限为其最小聚点。
  2. {xnk}{xn} 子列,则有 limnxnlimkxnklimkxnklimnxn
  3. limnxn=alimnxn=limnxn=a

习题 2 

  1. ER 中的一个子集。若 xE 的一个聚点,证明: δ>0U(x0,δ)E 中有无穷多个元素。
  2. 证明性质 1 和性质 2。
  3. 利用上下极限证明 {sinn} 发散。
  4. 序列 {xn} 的上极限为 h1,序列 {yn} 的上极限为 h2,那么序列 {xn+yn} 的上极限是 h1+h2 吗,{xnyn} 的上极限是 h1h2 吗?
  5. 若序列 {xn} 是非负收敛序列,上一问的命题成立吗?

3. 柯西收敛准则

定义 3 柯西序列

   设{xn}是一个序列,若对任意 ϵ>0,总是存在 N,当 n,m>N 时,有 |xnxm|<ϵ,则称{xn}是一个柯西序列。

定理 3 柯西收敛准则

   序列 {xn} 收敛 {xn} 是一个柯西序列。

定理 4 压缩映像定理

   设 f(x)[a,b] 上有定义,f([a,b])[a,b],且存在一个 (0,1) 内的实数 q,满足对任意 x,y[a,b],都有 |f(x)f(y)|q|xy|

   那么:存在唯一 c[a,b],使 f(c)=c

   证明:构造序列 {xn=f(xn1)},用柯西准则证明其收敛。

习题 3 

  1. 写出柯西收敛准则的否命题形式(用肯定的语气写出:怎样的序列不是柯西序列,怎样的序列不是发散的)。
  2. 试用闭区间套定理证明压缩映像原理。
  3. 设序列 {pn},{qn} 满足 pn+1=pn+2qn, qn+1=pn+qn, p1=q1=1,求证 {pnqn} 的极限存在,并求其极限。

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