Lebesgue 可积的函数

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 Lebesgue 积分的一些补充性质

   定义 6 中已经给出了任意可测集上任意可测函数的 Lebesgue 积分之定义.为方便,我们将此定义再次誊抄如下:

定义 1 Lebesgue 积分

   设 $f$ 是可测集 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 上的可测函数,$f^+$ 和 $f^-$ 分别是其正部与负部.如果 $\int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} $ 和 $\int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} $ 中至少有一个是有限的,则可定义其 Lebesgue 积分为:

\begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} - \int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   由定义直接可得,如果 $f$ 在 $E$ 上可积,那么必有 $\int_E -f(x) \,\mathrm{d}{x} = -\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} $.另外,也易得,$f$ 可测当且仅当 $ \left\lvert f \right\rvert $ 可测;如果 $E$ 测度有限且 $f$ 有界,那么 $f$ 的正部和负部的积分都是有限的,故 $f$ 可积.

   Riemann 积分中对定义域进行的分划,也可以当作 Lebesgue 积分中的可测分划,于是可以结合 Riemann 可积的定义(Riemann 上和和 Riemann 下和之差可以任意小),得知 Riemann 可积的函数也 Lebesgue 可积.再注意到,在Lebesgue 积分中的定理 4 ,我们证明了可积函数的 Lebesgue 积分实际上就是其下方图形的测度,而测度又是面积的推广;因此,如果区间 $[a, b]$ 上的函数 $f$ 是 Riemann 可积的,那么它也是 Lebesgue 可积的,且两个积分值相等.

   因此,Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广.那么 Lebesgue 积分是和 Riemann 积分等价呢,还是能处理比 Riemann 可积函数范围更广的函数呢?答案是后者,我们以一个例子来说明:

例 1 Dirichlet 函数

   Dirichlet 函数

\begin{equation} D(x)= \left\{\begin{aligned} 1, x\in\mathbb{Q}\\ 0, x\not\in\mathbb{Q} \end{aligned}\right. \end{equation}
是 Lebesgue 可积的,其积分是 $0$(因为有理数集是可数的,从而是零测的),但它不是 Riemann 可积的.


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利