Lebesgue 可积的函数

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　Lebesgue 积分的一些补充性质

　　 定义 6 中已经给出了任意可测集上任意可测函数的 Lebesgue 积分之定义。为方便，我们将此定义再次誊抄如下：

定义 1　Lebesgue 积分

　　 设 f 是可测集 E⊆Rn 上的可测函数，f+ 和 f− 分别是其正部与负部。如果 ∫Ef+(x)dx 和 ∫Ef−(x)dx 中至少有一个是有限的，则可定义其 Lebesgue 积分为：

(1)∫Ef(x)dx=∫Ef+(x)dx−∫Ef−(x)dx .

　　 由定义直接可得，如果 f 在 E 上可积，那么必有 ∫E−f(x)dx=−∫Ef(x)dx。另外，也易得，f 可测当且仅当 |f| 可测；如果 E 测度有限且 f 有界，那么 f 的正部和负部的积分都是有限的，故 f 可积。

　　 Riemann 积分中对定义域进行的分划，也可以当作 Lebesgue 积分中的可测分划，于是可以结合 Riemann 可积的定义（Riemann 上和和 Riemann 下和之差可以任意小），得知 Riemann 可积的函数也 Lebesgue 可积。再注意到，在Lebesgue 积分中的定理 4 ，我们证明了可积函数的 Lebesgue 积分实际上就是其下方图形的测度，而测度又是面积的推广；因此，如果区间 [a,b] 上的函数 f 是 Riemann 可积的，那么它也是 Lebesgue 可积的，且两个积分值相等。

　　 因此，Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广。那么 Lebesgue 积分是和 Riemann 积分等价呢，还是能处理比 Riemann 可积函数范围更广的函数呢？答案是后者，我们以一个例子来说明：

例 1　Dirichlet 函数

　　 Dirichlet 函数

(2)D(x)={1,x∈Q0,x∉Q 
是 Lebesgue 可积的，其积分是 0（因为有理数集是可数的，从而是零测的），但它不是 Riemann 可积的。


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