Lebesgue 可积的函数

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 Lebesgue 积分的一些补充性质

   定义 6 中已经给出了任意可测集上任意可测函数的 Lebesgue 积分之定义。为方便,我们将此定义再次誊抄如下:

定义 1 Lebesgue 积分

   设 $f$ 是可测集 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 上的可测函数,$f^+$ 和 $f^-$ 分别是其正部与负部。如果 $\int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} $ 和 $\int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} $ 中至少有一个是有限的,则可定义其 Lebesgue 积分为:

\begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} - \int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

   由定义直接可得,如果 $f$ 在 $E$ 上可积,那么必有 $\int_E -f(x) \,\mathrm{d}{x} = -\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} $。另外,也易得,$f$ 可测当且仅当 $ \left\lvert f \right\rvert $ 可测;如果 $E$ 测度有限且 $f$ 有界,那么 $f$ 的正部和负部的积分都是有限的,故 $f$ 可积。

   Riemann 积分中对定义域进行的分划,也可以当作 Lebesgue 积分中的可测分划,于是可以结合 Riemann 可积的定义(Riemann 上和和 Riemann 下和之差可以任意小),得知 Riemann 可积的函数也 Lebesgue 可积。再注意到,在Lebesgue 积分中的定理 4 ,我们证明了可积函数的 Lebesgue 积分实际上就是其下方图形的测度,而测度又是面积的推广;因此,如果区间 $[a, b]$ 上的函数 $f$ 是 Riemann 可积的,那么它也是 Lebesgue 可积的,且两个积分值相等。

   因此,Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广。那么 Lebesgue 积分是和 Riemann 积分等价呢,还是能处理比 Riemann 可积函数范围更广的函数呢?答案是后者,我们以一个例子来说明:

例 1 Dirichlet 函数

   Dirichlet 函数

\begin{equation} D(x)= \left\{\begin{aligned} 1, x\in\mathbb{Q}\\ 0, x\not\in\mathbb{Q} \end{aligned}\right. ~ \end{equation}
是 Lebesgue 可积的,其积分是 $0$(因为有理数集是可数的,从而是零测的),但它不是 Riemann 可积的。


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