激光原理

贡献者： fengdalizzz

预备知识　玻尔兹曼分布，黑体辐射

　　激光器是现代光学的伟大成就之一，其拥有的窄频宽、单模式等高相干性的优势是许多近代实验，如迈克尔逊-莫雷的实验，成功的必要因素之一。激光器的核心原理是受激辐射。

1. 能级和光量子的概念

　　量子力学告诉我们，在原子中的电子的能量并不是连续的。电子的能量总是一个又一个特定的能级中跳变。例如氢原子的能级分布就如下图：

图 1：氢原子能级

　　可以有很多中方法来让电子的能量发生跳变，例如使用高速电子轰击原子，但最常见的方法是使用光子。光子的能量为 $E = h ν$ ，其中 $h$ 为普朗克常数， $ν$ 为光子的频率。例如要让氢原子的电子从能级 n=1 跃迁到 n=2，就需要一个频率为 2.46PHz 的光子，对应的波长是 122nm，属于远紫外光，其他频率的光子不行。

2. 受激辐射

　　受激辐射的概念是由爱因斯坦最先提出的，源自玻尔兹曼分布和普朗克分布之间矛盾。让我们现在来阐释一下这个矛盾。

　　想象一个理想黑体内有一个两能级系统。能量低的能级称为能级 1，位于这个能级的电子的数量为 $n_{1}$ ；为能量高者称为能级 2，位于这个能级的电子数为 $n_{2}$ ，能级之间的能量差为 $Δ E$ 。热平衡时，根据玻尔兹曼分布，应有：

\begin{matrix} (1) & \frac{n_{2}}{n_{1}} = \exp (- \frac{Δ E}{k_{B} T}) . \end{matrix}

　　位于能级 2 的电子会自发跳转到能级 1，并释放 $Δ E$ 能量的光子，称为自发辐射，电子发生自发辐射的概率是一个定值 $A_{21}$ ¹。，只与电子在两个能级中的状态有关，与时间、空间、电子数目等无关。

　　位于能级 1 的电子会吸收能量为 $Δ E$ 的光子，对应的频率为 $ν = \frac{Δ E}{h}$ ，从而跃迁到能级 2，称为受激吸收。根据隔壁文章 “跃迁概率（一阶微扰）” 的介绍，电子发生受激吸收的概率与频率 $ν$ 附近的光子场的能量密度 $ρ (ν)$ 成正比，不妨称比例系数为 $B_{12}$ 。 $B_{12}$ 也是个常数，只与电子在两个能级中的状态有关，与时间、空间、电子数目等无关。

　　自发辐射和受激吸收是原子中的电子最常见的两个过程。但如果电子只发生这两种过程，则对于能级 2 上的电子数目 $n_{2}$ ，有：

\begin{matrix} (2) & \frac{d n_{2}}{d t} = - n_{2} A_{21} + n_{1} B_{12} ρ (ν) . \end{matrix}

热平衡时，

d n_{2} / d t = 0

，则有：

\begin{matrix} (3) & ρ (ν) = \frac{A_{21}}{B_{12}} \frac{n_{2}}{n_{1}} = \frac{A_{21}}{B_{12}} \exp (- \frac{h ν}{k_{B} T}), \end{matrix}

但是根据普朗克黑体辐射公式，应有：

\begin{matrix} (4) & ρ (ν) = \frac{8 π ν^{2}}{c^{3}} \frac{h ν}{\exp (\frac{h ν}{k_{B} T}) - 1} . \end{matrix}

两条式子存在显著的区别。说明原子中的电子存在除自发辐射和受激吸收以外的过程（注意

ν

也是一个常数，变量只有

T

）。不妨猜测一种过程，即位于能级 2 的电子受到能量为

Δ E

的光子的激发，向能级 1 跃迁并发射另一个能量为

Δ E

的光子，称为受激辐射。由于受激辐射依赖光子的激发，所以不妨与受激吸收一样，认为电子发生受激激发的概率也与频率

ν

附近的光子场的能量密度

ρ (ν)

成正比，不妨称比例系数为

B_{21}

。

　　那么热平衡时就有：

\begin{matrix} (5) & \frac{d n_{2}}{d t} = - n_{2} A_{21} + n_{1} B_{12} ρ (ν) - n_{2} B_{21} ρ (ν) = 0, \end{matrix}

代入式 4 ，即有：

\begin{matrix} (6) & \frac{A_{21}}{B_{12}} = \frac{8 π h ν^{3}}{c^{3}}, B_{12} = B_{21} . \end{matrix}

式 6 被称为爱因斯坦关系式。这样就能解决玻尔兹曼分布和普朗克分布之间的矛盾了。

　　使用量子电动力学的二次量子化的计算方法可以证明²，受激辐射中激发的光子和发射的光子具有同样的方向、频率和偏振状态。这是一个伟大的发现，这意味着我们可以利用增加电压等方式，手动制造一个高能级电子数偏多的系统，高能级电子自发辐射产生首个光子，而后该光子与其他高能级电子发生受激辐射产生 2 个几乎相同的光子，这两个光子再与其他高能级电子发生受激辐射，如此往复即可实现光子的放大、复制，也就是激光。

1. ^ Wikipedia Spontaneous emission。
2. ^ [1]关世荣.关于受激辐射[J].福建师范大学学报(自然科学版),1979(01):65-70.

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。