激光原理

贡献者： fengdalizzz

预备知识　玻尔兹曼分布，黑体辐射

　　激光器是现代光学的伟大成就之一，其拥有的窄频宽、单模式等高相干性的优势是许多近代实验，如迈克尔逊-莫雷的实验，成功的必要因素之一。激光器的核心原理是受激辐射。

1. 能级和光量子的概念

　　量子力学告诉我们，在原子中的电子的能量并不是连续的。电子的能量总是一个又一个特定的能级中跳变。例如氢原子的能级分布就如下图：

图 1：氢原子能级

　　可以有很多中方法来让电子的能量发生跳变，例如使用高速电子轰击原子，但最常见的方法是使用光子。光子的能量为 $E=h\nu$，其中 $h$ 为普朗克常数，$\nu$ 为光子的频率。例如要让氢原子的电子从能级 n=1 跃迁到 n=2，就需要一个频率为 2.46PHz 的光子，对应的波长是 122nm，属于远紫外光，其他频率的光子不行。

2. 受激辐射

　　受激辐射的概念是由爱因斯坦最先提出的，源自玻尔兹曼分布和普朗克分布之间矛盾。让我们现在来阐释一下这个矛盾。

　　想象一个理想黑体内有一个两能级系统。能量低的能级称为能级 1，位于这个能级的电子的数量为 $n_1$；为能量高者称为能级 2，位于这个能级的电子数为 $n_2$，能级之间的能量差为 $\Delta E$。热平衡时，根据玻尔兹曼分布，应有：

\begin{equation} \frac{n_2}{n_1}= \exp\left(-\frac{\Delta E}{k_B \ T}\right) ~. \end{equation}

　　位于能级 2 的电子会自发跳转到能级 1，并释放 $\Delta E$ 能量的光子，称为自发辐射，电子发生自发辐射的概率是一个定值 $A_{21}$¹。，只与电子在两个能级中的状态有关，与时间、空间、电子数目等无关。

　　位于能级 1 的电子会吸收能量为 $\Delta E$ 的光子，对应的频率为 $\nu=\frac{\Delta E}{h}$，从而跃迁到能级 2，称为受激吸收。根据隔壁词条 “跃迁概率（一阶微扰）” 的介绍，电子发生受激吸收的概率与频率 $\nu$ 附近的光子场的能量密度 $\rho(\nu)$ 成正比，不妨称比例系数为 $B_{12}$。$B_{12}$ 也是个常数，只与电子在两个能级中的状态有关，与时间、空间、电子数目等无关。

　　自发辐射和受激吸收是原子中的电子最常见的两个过程。但如果电子只发生这两种过程，则对于能级 2 上的电子数目 $n_2$，有：

\begin{equation} \frac{dn_2}{dt}=-n_2A_{21}+n_1B_{12}\rho(\nu)~. \end{equation}

热平衡时，$dn_2/dt=0$，则有：

\begin{equation} \rho(\nu)=\frac{A_{21}}{B_{12}}\frac{n_2}{n_1}=\frac{A_{21}}{B_{12}} \exp\left(-\frac{h\nu}{k_B \ T}\right) ~, \end{equation}

但是根据普朗克黑体辐射公式，应有：

\begin{equation} \rho(\nu)=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\frac{h\nu}{ \exp\left(\frac{h\nu}{k_B\ T}\right) -1}~. \end{equation}

两条式子存在显著的区别。说明原子中的电子存在除自发辐射和受激吸收以外的过程（注意 $\nu$ 也是一个常数，变量只有 $T$）。不妨猜测一种过程，即位于能级 2 的电子受到能量为 $\Delta E$ 的光子的激发，向能级 1 跃迁并发射另一个能量为 $\Delta E$ 的光子，称为受激辐射。由于受激辐射依赖光子的激发，所以不妨与受激吸收一样，认为电子发生受激激发的概率也与频率 $\nu$ 附近的光子场的能量密度 $\rho(\nu)$ 成正比，不妨称比例系数为 $B_{21}$。

　　那么热平衡时就有：

\begin{equation} \frac{dn_2}{dt}=-n_2A_{21}+n_1B_{12}\rho(\nu)-n_2B_{21}\rho(\nu)=0~, \end{equation}

代入式 4 ，即有：

\begin{equation} \frac{A_{21}}{B_{12}}=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3},B_{12}=B_{21}~. \end{equation}

式 6 被称为爱因斯坦关系式。这样就能解决玻尔兹曼分布和普朗克分布之间的矛盾了。

　　使用量子电动力学的二次量子化的计算方法可以证明²，受激辐射中激发的光子和发射的光子具有同样的方向、频率和偏振状态。这是一个伟大的发现，这意味着我们可以利用增加电压等方式，手动制造一个高能级电子数偏多的系统，高能级电子自发辐射产生首个光子，而后该光子与其他高能级电子发生受激辐射产生 2 个几乎相同的光子，这两个光子再与其他高能级电子发生受激辐射，如此往复即可实现光子的放大、复制，也就是激光。

1. ^ Wikipedia Spontaneous emission。
2. ^ [1]关世荣.关于受激辐射[J].福建师范大学学报(自然科学版),1979(01):65-70.

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