克莱因-戈登传播子

贡献者： zhousiyi; addis; _Eden_

预备知识　标量场的量子化

　　相对论的因果性要求：对于任意两个类空间隔的时空点 $x, y$ ，在两处进行的任何物理测量都是没有相互影响的。对于 Klein-Gordon 场，我们要求在类空间隔的两个点上 $ϕ (x)$ 和 $ϕ (y)$ 对易，即原则上是可以同时测量的。

\begin{matrix} (1) & [ϕ (x), ϕ (y)] = 0, \forall x, y : (x - y)^{2} < 0 . \end{matrix}

下面我们通过计算验证这一结果。利用式 4 及产生湮灭算符的对易关系进行计算，可以得到

\begin{matrix} (2) & [ϕ (x), ϕ (y)] = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 ω_{p}} (e^{- i p (x - y)} - e^{i p (x - y)}) . \end{matrix}

注意上式中的两项各自都是洛伦兹不变的，并且各自都不等于

0

。由于

d^{3} k / ((2 π)^{3} 2 ω_{k})

是洛伦兹不变的积分测度，所以对易子

[ϕ (x), ϕ (y)]

也是洛伦兹不变的，这也可以通过式 15 验证。对于类空间隔的两个点

x, y

，可以通过洛伦兹变换使

x, y

互换，从而使上式的第二项变成与第一项完全相同，因此两项的差恒等于

0

，即对易子等于

0

。对于类时间隔的两个点

x, y

，不能通过洛伦兹变换做到这一点，因此一般来说对易子不等于

0

。

　　我们现在来看 $[ϕ (x), ϕ (y)]$ 这个量。因为这个量是一个 c 数，所以我们有

\begin{matrix} (3) & [ϕ (x), ϕ (y)] = ⟨ 0 | [ϕ (x), ϕ (y)] | 0 ⟩, \end{matrix}

我们可以用四维形式来表示它。我们首先假设

x^{0} > y^{0}

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} ⟨ 0 | [ϕ (x), ϕ (y)] | 0 ⟩ \\ = & \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{p}} (e^{- i p \cdot (x - y)} - e^{i p \cdot (x - y)}) \\ = & \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} {{\frac{1}{2 E_{p}} e^{- i p \cdot (x - y)} |}_{p^{0} = E_{p}} + {\frac{1}{- 2 E_{p}} e^{- i p \cdot (x - y)} |}_{p^{0} = - E_{p}}} \\ = & \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \int \frac{d p^{0}}{2 π i} \frac{- 1}{p^{2} - m^{2}} e^{- i p \cdot (x - y)} . \end{aligned} \end{matrix}

图 1：在最后一步中，

p^{0}

的积分围道如图所示。

　　对于 $x^{0} > y^{0}$ 我们从下面闭合围道，包围两个极点。对于 $x^{0} < y^{0}$ 我们从上面闭合围道，结果是 0。因此式 4 的的最后一行以及闭合围道的办法可以用下式表示

\begin{matrix} (5) & D_{R} (x - y) \equiv θ (x^{0} - y^{0}) ⟨ 0 | [ϕ (x), ϕ (y)] | 0 ⟩ . \end{matrix}

可以证明，

D_{R} (x - y)

满足

\begin{matrix} (6) & (\partial^{2} + m^{2}) D_{R} (x - y) = - i δ^{(4)} (x - y) . \end{matrix}

D_{R} (x - y)

在

x^{0} < y^{0}

时为零，所以被称为延迟格林函数。对延迟格林函数进行傅里叶变换可得。

\begin{matrix} (7) & D_{R} (x - y) = \int \frac{d^{4} p}{(2 π)^{4}} e^{- i p (x - y)} {\tilde{D}}_{R} (p) . \end{matrix}

其中动量空间的格林函数

{\tilde{D}}_{R} (p)

满足下式

\begin{matrix} (8) & (- p^{2} + m^{2}) {\tilde{D}}_{R} (p) = - i, \end{matrix}

由式 8 可推出

\begin{matrix} (9) & D_{R} (x - y) = \int \frac{d^{4} p}{(2 π)^{4}} \frac{i}{p^{2} - m^{2}} e^{- i p \cdot (x - y)}, \end{matrix}

积分围道如图所示。这种积分围道被称为Feynman prescription。一种方便的记法是写为

\begin{matrix} (10) & D_{F} (x - y) \equiv \int \frac{d^{4} p}{(2 π)^{4}} \frac{i}{p^{2} - m^{2} + i ϵ} e^{- i p \cdot (x - y)}, \end{matrix}

极点分别位于

p^{0} = \pm (E_{p} - i ϵ)

。当

x^{0} > y^{0}

的时候，我们可以从下方闭合

p^{0}

的积分。当

x^{0} < y^{0}

的时候，我们可以从上面闭合积分。

图 2：Feynmann prescription 的积分围道。

　　费曼传播子的定义是

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} D_{F} (x - y) & = {\begin{cases} D (x - y) & for x^{0} > y^{0} \\ D (y - x) & for x^{0} < y^{0} \end{cases} \\ = θ (x^{0} - y^{0}) ⟨ 0 | ϕ (x) ϕ (y) | 0 ⟩ + θ (y^{0} - x^{0}) ⟨ 0 | ϕ (y) ϕ (x) | 0 ⟩ \\ \equiv ⟨ 0 | T ϕ (x) ϕ (y) | 0 ⟩, \end{aligned} \end{matrix}

最后一行定义了时间顺序算符

T

。我们可以在

D_{F} (x - y)

左边加上

(\partial^{2} + m^{2})

，你可以验证

D_{F}

是克莱因戈登算符的格林函数。

D_{F} (x - y)

被称为克莱因戈登粒子的费曼传播子。

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