克莱因-戈登传播子

贡献者： zhousiyi; addis; _Eden_

预备知识　标量场的量子化

　　相对论的因果性要求：对于任意两个类空间隔的时空点 $x,y$，在两处进行的任何物理测量都是没有相互影响的。对于 Klein-Gordon 场，我们要求在类空间隔的两个点上 $\phi(x)$ 和 $\phi(y)$ 对易，即原则上是可以同时测量的。

\begin{equation} [\phi(x),\phi(y)]=0,\forall x,y:(x-y)^2<0~. \end{equation}

下面我们通过计算验证这一结果。利用式 4 及产生湮灭算符的对易关系进行计算，可以得到

\begin{equation} [\phi(x),\phi(y)]=\int \frac{ \,\mathrm{d}{} ^3 \boldsymbol{\mathbf{p}} }{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }} \left( e^{-ip(x-y)}-e^{ip(x-y)}\right)~. \end{equation}

注意上式中的两项各自都是洛伦兹不变的，并且各自都不等于 $0$。由于 $ \,\mathrm{d}{} ^3 \boldsymbol{\mathbf{k}} /((2\pi)^3 2\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} })$ 是洛伦兹不变的积分测度，所以对易子 $[\phi(x),\phi(y)]$ 也是洛伦兹不变的，这也可以通过式 15 验证。对于类空间隔的两个点 $x,y$，可以通过洛伦兹变换使 $x,y$ 互换，从而使上式的第二项变成与第一项完全相同，因此两项的差恒等于 $0$，即对易子等于 $0$。对于类时间隔的两个点 $x,y$，不能通过洛伦兹变换做到这一点，因此一般来说对易子不等于 $0$。

　　我们现在来看 $[\phi(x),\phi(y)]$ 这个量。因为这个量是一个 c 数，所以我们有

\begin{equation} [\phi(x),\phi(y)] = \langle 0 | [\phi(x),\phi(y)] | 0 \rangle~, \end{equation}

我们可以用四维形式来表示它。我们首先假设 $x^0>y^0$.

\begin{equation} \begin{aligned} & \langle 0|[\phi(x), \phi(y)]| 0\rangle\\ =&\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{2 E_{\mathbf{p}}}\left(e^{-i p \cdot(x-y)}-e^{i p \cdot(x-y)}\right) \\ =& \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}}\left\{\left.\frac{1}{2 E_{\mathbf{p}}} e^{-i p \cdot(x-y)}\right|_{p^{0}=E_{\mathbf{p}}}+\left.\frac{1}{-2 E_{\mathbf{p}}} e^{-i p \cdot(x-y)}\right|_{p^{0}=-E_{\mathbf{p}}}\right\} \\ =& \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \int \frac{d p^{0}}{2 \pi i} \frac{-1}{p^{2}-m^{2}} e^{-i p \cdot(x-y)} ~. \end{aligned} \end{equation}

图 1：在最后一步中，$p^0$ 的积分围道如图所示。

　　对于 $x^0>y^0$ 我们从下面闭合围道，包围两个极点。对于 $x^0< y^0$ 我们从上面闭合围道，结果是 0。因此式 4 的的最后一行以及闭合围道的办法可以用下式表示

\begin{equation} D_R(x-y)\equiv \theta(x^0-y^0)\langle 0 | [\phi(x),\phi(y)]|0 \rangle~. \end{equation}

可以证明，$D_R(x-y)$ 满足

\begin{equation} (\partial^2+m^2)D_R(x-y) = -i \delta^{(4)}(x-y)~. \end{equation}

$D_R(x-y)$ 在 $x^0< y^0$ 时为零，所以被称为延迟格林函数。对延迟格林函数进行傅里叶变换可得。

\begin{equation} D_R(x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} e^{-ip(x-y)} \tilde D_R (p)~. \end{equation}

其中动量空间的格林函数 $\tilde D_R(p)$ 满足下式

\begin{equation} (-p^2+m^2) \tilde D_R(p) = -i~, \end{equation}

由式 8 可推出

\begin{equation} D_R (x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot(x-y)}~, \end{equation}

积分围道如图所示。这种积分围道被称为Feynman prescription。一种方便的记法是写为

\begin{equation} D_F(x-y) \equiv \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon} e^{-ip\cdot(x-y)}~, \end{equation}

极点分别位于 $p^0 = \pm(E_{\mathbf p}-i\epsilon)$。当 $x^0>y^0$ 的时候，我们可以从下方闭合 $p^0$ 的积分。当 $x^0< y^0$ 的时候，我们可以从上面闭合积分。

图 2：Feynmann prescription 的积分围道。

　　费曼传播子的定义是

\begin{equation} \begin{aligned} D_{F}(x-y) &= \begin{cases}D(x-y) & \text { for } x^{0}>y^{0} \\ D(y-x) & \text { for } x^{0}< y^{0}\end{cases} \\ &=\theta\left(x^{0}-y^{0}\right)\langle 0|\phi(x) \phi(y)| 0\rangle+\theta\left(y^{0}-x^{0}\right)\langle 0|\phi(y) \phi(x)| 0\rangle \\ & \equiv\langle 0|T \phi(x) \phi(y)| 0\rangle~, \end{aligned} \end{equation}

最后一行定义了时间顺序算符 $T$。我们可以在 $D_F(x-y)$ 左边加上 $(\partial^2+m^2)$，你可以验证 $D_F$ 是克莱因戈登算符的格林函数。$D_F(x-y)$ 被称为克莱因戈登粒子的费曼传播子。

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