克莱因-戈登传播子

             

   我们现在来看 $[\phi(x),\phi(y)]$ 这个量.因为这个量是一个 c 数,所以我们有

\begin{equation} [\phi(x),\phi(y)] = \langle 0 | [\phi(x),\phi(y)] | 0 \rangle \end{equation}
我们可以用四维形式来表示它.我们首先假设 $x^0 > y^0$.
\begin{equation} \begin{aligned} & \langle 0|[\phi(x), \phi(y)]| 0\rangle\\ =&\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{2 E_{\mathbf{p}}}\left(e^{-i p \cdot(x-y)}-e^{i p \cdot(x-y)}\right) \\ =& \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}}\left\{\left.\frac{1}{2 E_{\mathbf{p}}} e^{-i p \cdot(x-y)}\right|_{p^{0}=E_{\mathbf{p}}}+\left.\frac{1}{-2 E_{\mathbf{p}}} e^{-i p \cdot(x-y)}\right|_{p^{0}=-E_{\mathbf{p}}}\right\} \\ =& \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \int \frac{d p^{0}}{2 \pi i} \frac{-1}{p^{2}-m^{2}} e^{-i p \cdot(x-y)} \end{aligned} \end{equation}

图
图 1:在最后一步中,$p^0$ 的积分围道如图所示.

   对于 $x^0 > y^0$ 我们从下面闭合围道,包围两个极点.对于 $x^0 < y^0$ 我们从上面闭合围道,结果是 0.因此式 2 的的最后一行以及闭合围道的办法可以用下式表示

\begin{equation} D_R(x-y)\equiv \theta(x^0-y^0)\langle 0 | [\phi(x),\phi(y)]|0 \rangle \end{equation}
可以证明,$D_R(x-y)$ 满足
\begin{equation} (\partial^2+m^2)D_R(x-y) = -i \delta^{(4)}(x-y) \end{equation}
$D_R(x-y)$ 在 $x^0 < y^0$ 时为零,所以被称为延迟格林函数.对延迟格林函数进行傅里叶变换可得.
\begin{equation} D_R(x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} e^{-ip(x-y)} \tilde D_R (p) \end{equation}
其中动量空间的格林函数 $\tilde D_R(p)$ 满足下式
\begin{equation} (-p^2+m^2) \tilde D_R(p) = -i \end{equation}
式 6 可推出
\begin{equation} D_R (x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot(x-y)} \end{equation}
积分围道如图所示.这种积分围道被称为Feynman prescription.一种方便的记法是写为
\begin{equation} D_F(x-y) \equiv \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon} e^{-ip\cdot(x-y)} \end{equation}
极点分别位于 $p^0 = \pm(E_{\mathbf p}-i\epsilon)$.当 $x^0 > y^0$ 的时候,我们可以从下方闭合 $p^0$ 的积分.当 $x^0 < y^0$ 的时候,我们可以从上面闭合积分.

图
图 2:Feynmann prescription 的积分围道.

   费曼传播子的定义是

\begin{equation} \begin{aligned} D_{F}(x-y) &= \begin{cases}D(x-y) & \text { for } x^{0} > y^{0} \\ D(y-x) & \text { for } x^{0} < y^{0}\end{cases} \\ &=\theta\left(x^{0}-y^{0}\right)\langle 0|\phi(x) \phi(y)| 0\rangle+\theta\left(y^{0}-x^{0}\right)\langle 0|\phi(y) \phi(x)| 0\rangle \\ & \equiv\langle 0|T \phi(x) \phi(y)| 0\rangle \end{aligned} \end{equation}
最后一行定义了时间顺序算符 $T$.我们可以在 $D_F(x-y)$ 左边加上 $(\partial^2+m^2)$,你可以验证 $D_F$ 是克莱因戈登算符的格林函数.$D_F(x-y)$ 被称为克莱因戈登粒子的费曼传播子.

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