标量场的量子化

             

贡献者: zhousiyi

预备知识 经典场论基础

   这一节的目的是给大家介绍如何对最简单的克莱因-戈登场进行量子化.

   量子化的步骤是:把 $\phi$ 场和 $\pi$ 场升级为算符,然后在上面加入合适的对易关系.在场论里,因为 $\phi$ 可以类比于坐标,而 $\pi$ 可以类比于动量,那么场的正则对易关系为

\begin{equation} \begin{aligned} & [\phi(\mathbf x),\pi(\mathbf y)] = i \delta^{(3)}(\mathbf x- \mathbf y) \\ & [\phi(\mathbf x),\phi(\mathbf y)] = [\pi(\mathbf x),\pi(\mathbf y)] = 0 \end{aligned} \end{equation}
一般来说在动量空间里面研究问题比较方便.那么我们把 $\phi$ 场换到动量空间中.那么克莱因-戈登方程的形式为
\begin{equation} \bigg[\frac{\partial^2}{\partial t^2}+(|\mathbf p|^2+m^2)\bigg] \phi(\mathbf p, t) = 0 \end{equation}
这也就是一个能量为 $\omega_{\mathbf p}$ 的简谐振子的运动方程.$\omega_{\mathbf p}$ 的表达式如下
\begin{equation} \omega_{\mathbf p} = \sqrt{|\mathbf p|^2+m^2} \end{equation}
现在我们来找克莱因-戈登场的谱.用的是跟量子力学里面学到的方法类似的方法,首先我们要对场 $\phi$ 和场 $\phi$ 进行量子化
\begin{equation} \begin{aligned} & \phi(\mathbf x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf p}}}\bigg( a_{\mathbf p} e^{i \mathbf p \cdot \mathbf x} + a_{\mathbf p}^\dagger e^{-i\mathbf p \cdot \mathbf x} \bigg) \\ & \pi(\mathbf x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} (-i) \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf p}}{2}} \bigg( a_{\mathbf p} e^{i \mathbf p \cdot \mathbf x} - a^{\dagger}_{\mathbf p} e^{-i \mathbf p \cdot \mathbf x} \bigg) \end{aligned} \end{equation}
可以证明,正则对易关系可以化简为如下的形式
\begin{equation} [a_{\mathbf p},a_{\mathbf p'}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^{(3)} (\mathbf p - \mathbf p') \end{equation}
前面我们已经推导过哈密顿量的表达式,现在把 $\phi$ 场和 $\pi$ 场的表达式代入,就可以得出用产生湮灭算符来表示的哈密顿量的表达式.
\begin{equation} H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \omega_{\mathbf p} \bigg( a^\dagger_{\mathbf p} a_{\mathbf p} + \frac{1}{2} [a_{\mathbf p},a^\dagger_{\mathbf p}] \bigg) \end{equation}
我们可以看出,这里的第二项是正比于 $\delta(0)$ 的.这一项是真空能项.这一项实验上是测不到的.因为实验只能测到跟基态的差值.因此以后我们都会忽略这一项.

   由式 6 以及对易关系,可以推导出

\begin{equation} [H,a_{\mathbf p}^\dagger] = \omega_{\mathbf p} a^\dagger_{\mathbf p}~, \quad [H,a_{\mathbf p}] = -\omega_{\mathbf p} a_{\mathbf p}~. \end{equation}


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