从集合论角度看随机事件

贡献者： jiangnan

预备知识　离散型随机变量（高中），条件概率

　　在概率论问题中，我们通常要处理各种各样的时间。比如，我们要问，当掷出一个骰子时，点数大于四的概率是多少？或者当掷出两个骰子，一个点数大于二，另一个点数小于三的概率是多少？在这里我们将处理各种事件的想法与集合论中集合的运算相对应，来看待如何从集合运算视角处理概率论中的问题。

1. 样本空间

　　我们定义在随机试验过程中，每次获得的一个数据称为一个样本，或称一个样本点，获得样本点的过程我们称为随机抽样。所有可能的样本点所构成的集合称为样本空间

\begin{matrix} (1) & S = {e_{1}, e_{2}, . . ., e_{n}} . \end{matrix}

定义 1　事件

　　事件 A 是一个由样本点组成的集合 $A = {e_{1}, e_{2}, e_{3} . . .}$ ,在这里当 $A = \emptyset$ 时，我们称 $A$ 为不可能事件。当 $A = S$ 时，我们称 $A$ 为必然事件。如果 $A$ 中只包含一个样本，我们称 $A$ 为基本事件。

　　在这里我们多说几句这个定义的一些想法，我们在进行随机试验时，得到的总是一个个样本，但是我们通常需要根据样本的性质对各种采样结果分类。比如，掷出两个骰子点数如果总和大于 6 点的时候我们说这个结果是大。这样所谓"大"的结果作为一个事件，就将包含多个可能的样本点，所以我们将事件定义为样本点的集合。这样，如果一个事件不包含任何样本，那它就不会在抽样中发生。相应地，如果一个事件包含所有样本，则这个事件就必然发生。

2. 事件的关系与运算

　　当我们有了集合论的视角后，我们来看不同事件之间的关系。

如果 $A \subseteq B$ ，则事件 A 的发生一定导致事件 B 的发生。
如果 $A \cap B = \emptyset$ ,则 $A$ 事件发生时 $B$ 事件必定不会发生，反之亦然。即 $A$ 事件与 $B$ 事件是互斥事件。

　　进而我们可以利用集合之间的运算，利用一些事件构造新的事件。例如

推论 1　事件的构造

设 A,B 是事件，则 $C = A \cap B$ , $C$ 事件可以被解释为 $A$ 事件与 $B$ 事件同时发生。
$C = A \cup B$ , $C$ 事件可以被解释为 $A$ 事件与 $B$ 事件中至少一个发生了。
设 $A$ 的补集为 $\bar{A}$ ，则 $\bar{A}$ 就被解释为 $A$ 事件未发生，我们记为 $\bar{A} = S - A$ 。
$C = A \cap \bar{B}$ ， $C$ 事件可以被解释为 $A$ 事件发生而 $B$ 事件不发生。
以及多个事件的运算， $\cup_{i} A_{i}$ ， $A_{i}$ 中至少一个事件发生, $\cap_{i} A_{i}$ , $A_{i}$ 中所有事件都发生。

　　更多类似的事件之间的运算与解释读者可自行进行构造。在这里我们再回顾一下集合间运算的一些规则，这里也直接对应事件构造的规则

交换律： $A \cup B = B \cup A$ , $A \cap B = B \cap A$ .
结合律： $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ , $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
分配律： $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ , $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$
De Morgan 定律： $\bar{\cup_{i} A_{i}} = \cap_{i} {\bar{A}}_{i}$ , $\bar{\cap_{i} A_{i}} = \cup_{i} {\bar{A}}_{i}$

3. 概率

　　现在我们从集合论的视角澄清了事件之间的关系，接下来我们引入概率的概念。概率是指每个事件发生的几率，按照我们对概率一般的理解，我们将概率定义为一个从集合 $A$ 映射到实数的一个函数 $P$ ，这个函数应该满足如下几个性质

非负性：对于任意一个事件 $A$ ,都有 $P (A) \leq 0$
归一条件：对于样本空间 $S$ ,有 $P (S) = 1$ ，对于空集 $P (\emptyset) = 0$
可加性: 对于两个事件 $A_{1}, A_{2}$ ,如果有 $A_{1} \cap A_{2} = \emptyset$ ,则有 $P (A_{1} \cup A_{2}) = P (A_{1}) + P (A_{2})$

　　我们很快可以知道对于任意一个事件（除不可能事件外），这个事件发生的概率等于其把它分割成基本事件后，所有基本事件的和。在实际运算中，事件构造经常会使用省略记号，如

\begin{array}{r} (2) & A \cup B \to A + B \\ (3) & A \cap B \to A B \\ (4) & B \cap \bar{A} \to B - A \end{array}

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