贡献者： jiangnan
1. 前言
贝叶斯公式可常常用于概率模型中的统计推断。在开始讨论贝叶斯公式前，我们需要定义几个概念。
定义 1 划分
设 S 为一个样本空间，我们定义对一个样本空间的划分为一系列的事件 $A_1,A_2,A_3...,A_n$，这些事件对于 $\forall i,j $ 且 $i\neq j$ 都满足 $A_i \cap A_j = \emptyset$,且对于他们的并集满足 $A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n = S$。
划分是对样本空间进行的两两互不相交的切割，当我们有了划分后，对于任意一个事件 $B$ 发生的概率，就可以看做是在每个划分中 $B$ 事件发生的概率再乘以每个划分发生的概率，再对所有划分求和。
定理 1 全概率公式
设 $A_1,A_2,...A_n$ 是样本空间 $S$ 的一个划分，则任意一个事件 $B$ 发生的概率可以写为 $P(B) = \sum_i P(B A_i)= \sum_i P(B| A_i) P(A_i).$
证明如下，我们可以将事件 B 作一个切分，$B = B \cap S = B \cap (A_1 \cup A_2 \cup ...\cup A_n)$,根据集合运算的分配率，我们有
\begin{align}
B = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2) \cup ... \cup (B \cap A_n)~,
\end{align}
由于 $\{A_i\}$ 是 $S$ 的划分，有 $A_i \cap A_j = \emptyset$，而 $(B\cap A_i) \cap (B\cap A_j) \subseteq A_i \cap A_j$,于是我们知道 $(B\cap A_i) \cap (B \cap A_j) = \emptyset$。根据概率与条件概率的定义，我们有
\begin{align}
P(B) = \sum_i P(B\cap A_i) = \sum_i P(B | A_i) P(A_i)~.
\end{align}
2. 贝叶斯公式
定理 2 贝叶斯公式
设 $S$ 为样本空间，$A_1,A_2,...A_n$ 为样本空间的一个划分，$B$ 为一个事件，则有
\begin{equation}
P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_j P(B|A_j)P(A_j)}~.
\end{equation}
贝叶斯公式证明如下：根据条件概率公式的定义 $P(A|B) = P(AB)/P(B)$,$P(B|A) = P(BA)/P(A)$,我们显然有 $AB = A\cap B = BA$,于是对比得到一个等式
\begin{equation}
P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)~,
\end{equation}
或
\begin{equation}
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}~.
\end{equation}
将上述等式做代换 $A\rightarrow A_i$ 即可得到贝叶斯公式
\begin{equation}
P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)}~,
\end{equation}
再代入刚刚给出的全概率公式即可得到贝叶斯公式中第二个等式。
3. 贝叶斯公式的应用
我们先来看一下贝叶斯公式说了什么，条件概率的表达式 $P(A|B)$ 中，事件 $B$ 作为前提，事件 $A$ 作为结果，给出了在前提事件下作为结果的事件发生的概率，因此我们说 $P(A|B)$ 描述了两个事件之间的因果关系强度。而贝叶斯公式的另一侧将前提事件与结果事件翻转过来了，这种翻转使得我们能够形成推断。具体讨论前我们先看例子
例 1 疾病原因的推断
有一种肺部疾病 A，它的发病率为 $2 \%$，通过临床数据的统计，我们发现患者中有 $70\%$ 吸烟，有百分之 $30\%$ 不吸烟。我们调查发现人群中大概 $20\%$ 吸烟，则一个不吸烟的人患疾病 A 的概率为多大？
我们用事件 A 表示患有疾病 A，用事件 $B_1$ 表示吸烟,$B_2$ 表示不吸烟，则有 $P(B_1|A) = 0.7,P(B_2|A)=0.3$,我们要求的概率可以写为 $P(A|B_2)$,而根据贝叶斯公式,我们有
\begin{equation}
P(A|B_2) = \frac{P(B_2|A) P(A)}{P(B_2)}~,
\end{equation}
代入 $P(A)=0.02$,$P(B_2)=0.8$ 我们得到 $P(A|B_2) = 0.0075$。同理对一个吸烟的人，它患有疾病 A 的概率为
\begin{equation}
P(A|B_1) = \frac{P(B_1|A) P(A)}{P(B_1)} = 0.07~.
\end{equation}
这个例子中，我们给出推断的方式是，我们先得到了关于疾病的统计数据，然后对患病人群进行划分。这里的划分是吸烟与不吸烟，我们将这个划分应用到整个人群中，通过统计在人群之中划分给出的概率，我们就可以推断吸烟的人换疾病 A 的概率与不吸烟的人换疾病 A 的概率。
在推断前后，我们的信息从 “结果，以及结果中对可能因素的划分”，得到了 “可能的因素对结果的影响”，以此实现了统计推断。
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