条件概率与事件的独立性（高中）

贡献者： jingyuan

预备知识　组合（高中）

1. 条件概率

　　对于任何两个事件 $A$ 和 $B$ ，在已知事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率叫做条件概率，用符号 $P (B | A)$ 来表示。

　　我们把事件 $A$ 和 $B$ 同时发生所构成的事件 $D$ ，称为事件 $A$ 与 $B$ 的交 (或积)，记作 $D = A \cap B$ (或 $D = A B$ ).

　　一般地，我们有条件概率公式

\begin{matrix} (1) & P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}, P (A) > 0 . \end{matrix}

2. 事件的独立性

　　事件 $A$ 是否发生对事件 $B$ 发生的概率没有影响，即

\begin{matrix} (2) & P (B | A) = P (B) . \end{matrix}

这时，我们称两个事件

A, B

相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件（mutually independent events）。

　　在实际问题中，常常通过事件本质进行分析就可知道它们是否相互独立，而不需要进行类似上面的计算去验证。

　　一般地，当事件 $A$ 和 $B$ 相互独立时， $A$ 与 $\overset{―}{B}$ ， $\overset{―}{A}$ 与 $B$ ， $\overset{―}{A}$ 与 $\overset{―}{B}$ 也相互独立。

　　由条件概率公式和相互独立事件 $A$ ， $B$ 的定义，可以得到

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} P (B) = P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}, \\ P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) . \end{aligned} \end{matrix}

　　我们可以进一步推得，

\begin{matrix} (4) & P (A_{1} \cap A_{2} \dots A_{n}) = P (A_{1}) \cdot P (A_{2}) \dots P (A_{n}) . \end{matrix}

3. 独立重复试验

　　在相同的条件下，重复地做 $n$ 次试验，各次试验从的结果相互独立，那么一般就称它为 $n$ 次独立重复试验（independent repeated trials）。

　　一般地，事件 $A$ 在 $n$ 次试验中发生 $k$ 次，共有 $C_{n}^{k}$ 种情形，由试验的独立性知 $A$ 在 $k$ 次试验中发生，而在其余 $n - k$ 次试验中不发生的概率都是 $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件 $A$ 发生的概率是 $p$ 那么在 $n$ 次独立重复试验中，事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率为

\begin{matrix} (5) & P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} (k = 0, 1, 2, \dots, n) . \end{matrix}

这里解释一下

p^{k} (1 - p)^{n - k}

的含义，我们在一次试验全部发生事件

A

的概率为

p

，不发生的概率为

1 - p

，发生的次数为

k

次，不发生的次数为

n - k

次，根据分步乘法计数原理，可得

p^{k} (1 - p)^{n - k}

。

　　在式 5 中若将事件 $A$ 发生的次数设为 $X$ ，事件 $A$ 不发生的概率为 $q = 1 - k$ ，那么在 $n$ 次独立重复试验中，事件 $A$ 恰好发生 $k$ 的概率是

\begin{matrix} (6) & P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} (k = 1, 2, \dots, n) . \end{matrix}

于是得到

X

的分布列

表1：分布列

$X$	$0$	$1$	$\dots$	$k$	$\dots$	$n$
$P$	$C_{n}^{0} p^{0} q^{n}$	$C_{n}^{1} p^{1} q^{n - 1}$	$\dots$	$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$	$\dots$	$C_{n}^{n} p^{n} q^{0}$

　　由于的表 1 中的第二行恰好是二项式展开式

\begin{matrix} (7) & (q + p) = C_{n}^{0} p^{0} q^{n} + C_{n}^{1} p^{1} q^{n - 1} + \dots C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} + \dots + C_{n}^{n} p^{n} q^{0} . \end{matrix}

各项对应的值，所以称这样的离散型随机变量

X

服从参数

n, p

的二项分布，记作

\begin{matrix} (8) & X \sim B (n, p) . \end{matrix}

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