条件概率与事件的独立性(高中)

             

预备知识 组合(高中)

1. 条件概率

   对于任何两个事件 $A$ 和 $B$,在已知事件 $A$ 发生的条件下,事件 $B$ 发生的概率叫做条件概率,用符号 $P(B|A)$ 来表示.

   我们把事件 $A$ 和 $B$ 同时发生所构成的事件 $D$,称为事件 $A$ 与 $B$ 的 (或),记作 $D = A \cap B$ (或 $D = AB$).

   一般地,我们有条件概率公式

\begin{equation} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)},P(A) > 0 \end{equation}

2. 事件的独立性

   事件 $A$ 是否发生对事件 $B$ 发生的概率没有影响,即

\begin{equation} P(B|A) = P(B) \end{equation}
这时,我们称两个事件 $A,B$ 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件(mutually independent events)

   在实际问题中,常常通过事件本质进行分析就可知道它们是否相互独立,而不需要进行类似上面的计算去验证.

   一般地,当事件 $A$ 和 $B$ 相互独立时,$A$ 与 $\overline{B}$,$\overline{A}$ 与 $B$,$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立.

   由条件概率公式和相互独立事件 $A$,$B$ 的定义,可以得到

\begin{equation} \begin{aligned} &P(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\ &P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B) \end{aligned} \end{equation}

   我们可以进一步推得,

\begin{equation} P(A_1\cap A_2 \cdots A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdots P(A_n) \end{equation}

3. 独立重复试验

   在相同的条件下,重复地做 $n$ 次试验,各次试验从的结果相互独立,那么一般就称它为 $n$ 次独立重复试验(independent repeated trials)

   一般地,事件 $A$ 在 $n$ 次试验中发生 $k$ 次,共有 $C_n^k$ 种情形,由试验的独立性知 $A$ 在 $k$ 次试验中发生,而在其余 $n-k$ 次试验中不发生的概率都是 $p^k(1-p)^{n-k}$,所以由概率加法公式知,如果在一次试验中事件 $A$ 发生的概率是 $p$ 那么在 $n$ 次独立重复试验中,事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率为

\begin{equation} P_n(k) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k}(k=0,1,2,\cdots,n) \end{equation}
这里解释一下 $p^k(1-p)^{n-k}$ 的含义,我们在一次试验全部发生事件 $A$ 的概率为 $p$,不发生的概率为 $1-p$,发生的次数为 $k$ 次,不发生的次数为 $n-k$ 次,根据分步乘法计数原理,可得 $p^k(1-p)^{n-k}$.

   在式 5 中若将事件 $A$ 发生的次数设为 $X$,事件 $A$ 不发生的概率为 $q = 1 - k$,那么在 $n$ 次独立重复试验中,事件 $A$ 恰好发生 $k$ 的概率是

\begin{equation} P(X=k) = C_n^kp^kq^{n-k}(k = 1,2,\cdots,n) \end{equation}
于是得到 $X$ 的分布列

表1:分布列
$X$ $0$ $1$ $\cdots$ $k$ $\cdots$ $n$
$P$ $C_n^0p^0q^n$ $C_n^1p^1q^{n-1}$ $\cdots$ $C_n^kp^kq^{n-k}$ $\cdots$ $C_n^np^nq^0$

   由于的表 1 中的第二行恰好是二项式展开式

\begin{equation} (q+p) = C_n^0p^0q^n + C_n^1p^1q^{n-1}+\cdots C_n^kp^kq^{n-k}+\cdots + C_n^np^nq^0 \end{equation}
各项对应的值,所以称这样的离散型随机变量 $X$ 服从参数 $n,p$ 的二项分布,记作
\begin{equation} X\sim B(n,p) \end{equation}

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