离散型随机变量(高中)

             

预备知识 组合(高中)

1. 定义

   试验结果可以用一个变量 $X$ 来表示,并且 $X$ 是随着试验的结果的不同变化的,我们把这样的变量 $X$ 叫做一个随机变量(random variable).随机变量常用大写字母 $X,Y,\cdots$ 表示.

   如果随机变量 $X$ 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称 $X$ 为离散型随机变量(discrete random variable)

2. 离散型随机变量的分布列

   要掌握一个离散型随机变量 $X$ 的取值规律,必须知道:

  1. $X$ 所有可能取的值 $x_1$,$x_2$,$\cdots$,$x_n$.
  2. $X$ 取每一个值 $x_i$ 的概率 $p_1$,$p_2$,$\cdots$,$p_n$.

   这就是说,需要列出下表:

表1:分布列
$X$ $x_1$ $x_2$ $\cdots$ $x_i$ $\cdots$ $x_n$
$P$ $p_1$ $p_2$ $\cdots$ $p_i$ $\cdots$ $p_n$

   我们称这个表为离散型随机变量 $X$ 的概率分布(probability distribution),或称为离散型随机变量 $X$ 的分布列(distribution series)

   如果随机变量 $X$ 的分布列为

表2:二点分布
$X$ $1$ $0$
$P$ $p$ $q$

   其中 $0 < p < 1,q=1-p$,则称离散型随机变量 $X$ 服从参数 $p$ 的二点分布

3. 超几何分布

   一般地,设总数为 $N$ 件的两类物品,其中一类有 $M$ 件,从所有物品中任取 $n$ 件 $(n\leqslant N)$,这 $n$ 件中所含这类物品件数 $X$ 是一个离散型随机变量,它取值为 $m$ 时的概率为

\begin{equation} P(X=m) = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}(0\leqslant m\leqslant l) \end{equation}
注:$l$ 为 $n$ 和 $M$ 中较小的一个.

   我们称离散型随机变量 $X$ 的这种形式的概率分布为超几何分布,也称 $X$ 服从参数为 $N,M,n$ 的超几何分布.

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