离散型随机变量（高中）

贡献者： jingyuan

预备知识　组合（高中）

1. 定义

　　试验结果可以用一个变量 $X$ 来表示，并且 $X$ 是随着试验的结果的不同变化的，我们把这样的变量 $X$ 叫做一个随机变量（random variable）。随机变量常用大写字母 $X,Y,\cdots$ 表示。

　　如果随机变量 $X$ 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 $X$ 为离散型随机变量（discrete random variable）。

2. 离散型随机变量的分布列

　　要掌握一个离散型随机变量 $X$ 的取值规律，必须知道：

$X$ 所有可能取的值 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$。
$X$ 取每一个值 $x_i$ 的概率 $p_1$，$p_2$，$\cdots$，$p_n$。

　　这就是说，需要列出下表：

表1：分布列

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_i$	$\cdots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_i$	$\cdots$	$p_n$

　　我们称这个表为离散型随机变量 $X$ 的概率分布（probability distribution），或称为离散型随机变量 $X$ 的分布列（distribution series）。

　　如果随机变量 $X$ 的分布列为

表2：二点分布

$X$	$1$	$0$
$P$	$p$	$q$

　　其中 $0< p<1,q=1-p$，则称离散型随机变量 $X$ 服从参数 $p$ 的二点分布。

3. 超几何分布

　　一般地，设总数为 $N$ 件的两类物品，其中一类有 $M$ 件，从所有物品中任取 $n$ 件 $(n\leqslant N)$，这 $n$ 件中所含这类物品件数 $X$ 是一个离散型随机变量，它取值为 $m$ 时的概率为

\begin{equation} P(X=m) = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}(0\leqslant m\leqslant l)~. \end{equation}

注：$l$ 为 $n$ 和 $M$ 中较小的一个。

　　我们称离散型随机变量 $X$ 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称 $X$ 服从参数为 $N,M,n$ 的超几何分布。

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