离散型随机变量（高中）

贡献者： jingyuan

预备知识　组合（高中）

1. 定义

　　试验结果可以用一个变量 $X$ 来表示，并且 $X$ 是随着试验的结果的不同变化的，我们把这样的变量 $X$ 叫做一个随机变量（random variable）。随机变量常用大写字母 $X, Y, \dots$ 表示。

　　如果随机变量 $X$ 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 $X$ 为离散型随机变量（discrete random variable）。

2. 离散型随机变量的分布列

　　要掌握一个离散型随机变量 $X$ 的取值规律，必须知道：

$X$ 所有可能取的值 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 。
$X$ 取每一个值 $x_{i}$ 的概率 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $\dots$ ， $p_{n}$ 。

　　这就是说，需要列出下表：

表1：分布列

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{i}$	$\dots$	$x_{n}$
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\dots$	$p_{i}$	$\dots$	$p_{n}$

　　我们称这个表为离散型随机变量 $X$ 的概率分布（probability distribution），或称为离散型随机变量 $X$ 的分布列（distribution series）。

　　如果随机变量 $X$ 的分布列为

表2：二点分布

$X$	$1$	$0$
$P$	$p$	$q$

　　其中 $0 < p < 1, q = 1 - p$ ，则称离散型随机变量 $X$ 服从参数 $p$ 的二点分布。

3. 超几何分布

　　一般地，设总数为 $N$ 件的两类物品，其中一类有 $M$ 件，从所有物品中任取 $n$ 件 $(n ⩽ N)$ ，这 $n$ 件中所含这类物品件数 $X$ 是一个离散型随机变量，它取值为 $m$ 时的概率为

\begin{matrix} (1) & P (X = m) = \frac{C_{M}^{m} C_{N - M}^{n - m}}{C_{N}^{n}} (0 ⩽ m ⩽ l) . \end{matrix}

注： $l$ 为 $n$ 和 $M$ 中较小的一个。

　　我们称离散型随机变量 $X$ 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称 $X$ 服从参数为 $N, M, n$ 的超几何分布。

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