贡献者： addis
1在 “限制性三体问题” 中，我们推导了第三天体 C 的动能、势能、角动量表达式。这里对限制性三体问题进一步特殊化，假设原二体系统围绕质心作圆周运动，即大质量天体 A 和 B 的距离 $R$ 在运动过程中不变，则在旋转坐标系中，A、B 是相对静止的。并且天体 A、B 将作匀速圆周运动（参考“轨道参数-时间变量” 中关于圆轨道的讨论），即角速度 $\omega$ 也恒定不变。
1. 动力学方程
三体系统在空间中自由度为 9，但由于天体 A 和 B 的运动模式已知，故限制性三体系统的自由度为 3，可用质点 C 在旋转坐标系中的广义坐标 $x$,$y$,$z$ 描述。将质点 C 的动能 $T$（式 3 ）和势能 $U$（式 4 ）代入拉格朗日方程）
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial (T-U)}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial (T-U)}{\partial q_i}
\quad (q_i\; \rightarrow \; x,y,z)~.
\end{equation}
可得质点 $C$ 的动力学微分方程组
\begin{equation}
-\omega^2 x - 2\omega\dot{y} + \ddot{x} =- \frac{\partial U}{\partial x} =-\frac{\mu GM}{r_1^3}[x+(1-\mu)R]-\frac{(1-\mu)GM}{r_2^3}(x-\mu R)~,
\end{equation}
\begin{equation}
-\omega^2 y +2\omega\dot{y} + \ddot{y} =- \frac{\partial U}{\partial y} =-\frac{\mu GM}{r_1^3}y-\frac{(1-\mu)GM}{r_2^3}y~,
\end{equation}
\begin{equation}
\ddot{z} =- \frac{\partial U}{\partial z} =-\frac{\mu GM}{r_1^3}z-\frac{(1-\mu)GM}{r_2^3}z~.
\end{equation}
2. 雅可比常量
由于质点 C 的角动量在惯性坐标轴上的分量和机械能分别守恒，故这些物理量的线性组合也是守恒量。为统一量纲，可以令角动量分量乘以角速度。在所有这些线性组合中，有一种组合具有实际的物理意义，记这个组合量为 $E$
\begin{equation}\begin{aligned}
E &=(T+U)-\omega L_z\\
&=\frac{1}{2}m \left(\dot{x}^2-\dot{y}^2+\dot{z}^2 \right) -\frac{1}{2}m\omega^2 \left(x^2+y^2 \right) -\frac{\mu GMm}{r_1}-\frac{(1-\mu)GMm}{r_2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
物理量 $E$ 具有能量的量纲。其中 $\frac{1}{2}m \left(\dot{x}^2-\dot{y}^2+\dot{z}^2 \right) $ 是质点 C 相对旋转坐标系的动能，$E$ 的其余部分只与位置相关，故可解释为势能。在势能部分，引力势能 $-\mu GMm/r_1-(1-\mu)GMm/r_2$ 与坐标系的选取无关，而 $-\frac{1}{2}m\omega^2 \left(x^2+y^2 \right) $ 是由于坐标系 $xOy$ 的旋转引起的，可将其解释为质点 C 所受的向心力由于坐标轴自身的旋转而产生的势能。守恒量 $E$ 称为
雅可比常量，可看作是第三天体相对于旋转坐标系具有的能量。
推导
将式 2 乘以 $\dot{x}$，式 3 乘以 $\dot{y}$，式 4 乘以 $\dot{z}$，再将三个式子相加，可得
\begin{equation} \begin{aligned}
&\dot{x} \ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z}-\omega^2 \left(x\dot{x}+y\dot{y} \right) \\
&=-\frac{\mu GM}{r_1^3}[x\dot{x}+(1-\mu)R\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}]-\frac{(1-\mu)GM}{r_2^3}(x\dot{x}-\mu R\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z})~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中，注意到
\begin{equation}
\dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z} =\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2 \right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\omega^2 \left(x\dot{x}+y\dot{y} \right) =\frac{1}{2}\omega^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(x^2+y^2 \right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
-\frac{\mu GM}{r_1^3}[x\dot{x}+(1-\mu)R\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(\frac{\mu GM}{r_1} \right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
-\frac{(1-\mu)GM}{r_2^3}(x\dot{x}-\mu R\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(\frac{(1-\mu) GM}{r_2} \right) ~.
\end{equation}
将以上四式代入
式 6 可得
\begin{equation}\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2 \right) -\frac{\omega^2}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(x^2+y^2 \right) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\mu GM}{r_1}- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{(1-\mu) GM}{r_2}=0~.
\end{equation}
于是
\begin{equation} \frac{1}{2} \left(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2 \right) -\frac{1}{2}\omega^2 \left(x^2+y^2 \right) -\frac{\mu GM}{r_1}-\frac{(1-\mu) GM}{r_2}=Const~,
\end{equation}
就是单位质量的
雅可比常量（Jacobi constant）。
1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面。
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