雅可比常量2

贡献者： addis

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预备知识　限制性三体问题，拉格朗日方程

　　¹在 “限制性三体问题” 中，我们推导了第三天体 C 的动能、势能、角动量表达式。这里对限制性三体问题进一步特殊化，假设原二体系统围绕质心作圆周运动，即大质量天体 A 和 B 的距离 $R$ 在运动过程中不变，则在旋转坐标系中，A、B 是相对静止的。并且天体 A、B 将作匀速圆周运动（参考“轨道参数-时间变量” 中关于圆轨道的讨论），即角速度 $ω$ 也恒定不变。

1. 动力学方程

　　三体系统在空间中自由度为 9，但由于天体 A 和 B 的运动模式已知，故限制性三体系统的自由度为 3，可用质点 C 在旋转坐标系中的广义坐标 $x$ , $y$ , $z$ 描述。将质点 C 的动能 $T$ （式 3 ）和势能 $U$ （式 4 ）代入拉格朗日方程）

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} \frac{\partial (T - U)}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \frac{\partial (T - U)}{\partial q_{i}} (q_{i} \to x, y, z) . \end{matrix}

可得质点

C

的动力学微分方程组

\begin{matrix} (2) & - ω^{2} x - 2 ω \dot{y} + \ddot{x} = - \frac{\partial U}{\partial x} = - \frac{μ G M}{r_{1}^{3}} [x + (1 - μ) R] - \frac{(1 - μ) G M}{r_{2}^{3}} (x - μ R), \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & - ω^{2} y + 2 ω \dot{y} + \ddot{y} = - \frac{\partial U}{\partial y} = - \frac{μ G M}{r_{1}^{3}} y - \frac{(1 - μ) G M}{r_{2}^{3}} y, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & \ddot{z} = - \frac{\partial U}{\partial z} = - \frac{μ G M}{r_{1}^{3}} z - \frac{(1 - μ) G M}{r_{2}^{3}} z . \end{matrix}

2. 雅可比常量

　　由于质点 C 的角动量在惯性坐标轴上的分量和机械能分别守恒，故这些物理量的线性组合也是守恒量。为统一量纲，可以令角动量分量乘以角速度。在所有这些线性组合中，有一种组合具有实际的物理意义，记这个组合量为 $E$

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} E & = (T + U) - ω L_{z} \\ = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} - {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - \frac{1}{2} m ω^{2} (x^{2} + y^{2}) - \frac{μ G M m}{r_{1}} - \frac{(1 - μ) G M m}{r_{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

物理量

E

具有能量的量纲。其中

\frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} - {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2})

是质点 C 相对旋转坐标系的动能，

E

的其余部分只与位置相关，故可解释为势能。在势能部分，引力势能

- μ G M m / r_{1} - (1 - μ) G M m / r_{2}

与坐标系的选取无关，而

- \frac{1}{2} m ω^{2} (x^{2} + y^{2})

是由于坐标系

x O y

的旋转引起的，可将其解释为质点 C 所受的向心力由于坐标轴自身的旋转而产生的势能。守恒量

E

称为雅可比常量，可看作是第三天体相对于旋转坐标系具有的能量。

推导

　　将式 2 乘以 $\dot{x}$ ，式 3 乘以 $\dot{y}$ ，式 4 乘以 $\dot{z}$ ，再将三个式子相加，可得

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \dot{x} \ddot{x} + \dot{y} \ddot{y} + \dot{z} \ddot{z} - ω^{2} (x \dot{x} + y \dot{y}) \\ = - \frac{μ G M}{r_{1}^{3}} [x \dot{x} + (1 - μ) R \dot{x} + y \dot{y} + z \dot{z}] - \frac{(1 - μ) G M}{r_{2}^{3}} (x \dot{x} - μ R \dot{x} + y \dot{y} + z \dot{z}) . \end{aligned} \end{matrix}

其中，注意到

\begin{matrix} (7) & \dot{x} \ddot{x} + \dot{y} \ddot{y} + \dot{z} \ddot{z} = \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & ω^{2} (x \dot{x} + y \dot{y}) = \frac{1}{2} ω^{2} \frac{d}{d t} (x^{2} + y^{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & - \frac{μ G M}{r_{1}^{3}} [x \dot{x} + (1 - μ) R \dot{x} + y \dot{y} + z \dot{z}] = \frac{d}{d t} (\frac{μ G M}{r_{1}}), \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & - \frac{(1 - μ) G M}{r_{2}^{3}} (x \dot{x} - μ R \dot{x} + y \dot{y} + z \dot{z}) = \frac{d}{d t} (\frac{(1 - μ) G M}{r_{2}}) . \end{matrix}

将以上四式代入式 6 可得

\begin{matrix} (11) & \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - \frac{ω^{2}}{2} \frac{d}{d t} (x^{2} + y^{2}) - \frac{d}{d t} \frac{μ G M}{r_{1}} - \frac{d}{d t} \frac{(1 - μ) G M}{r_{2}} = 0 . \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (12) & \frac{1}{2} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - \frac{1}{2} ω^{2} (x^{2} + y^{2}) - \frac{μ G M}{r_{1}} - \frac{(1 - μ) G M}{r_{2}} = C o n s t, \end{matrix}

式 12 就是单位质量的雅可比常量（Jacobi constant）。

1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面。

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