初等矩阵与初等变化

                     

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1. 初等变换 Elementary Operations

   初等变换包括三种类型,以下分别举例说明:

  1. 交换两行(列)
    \begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ \end{pmatrix} \end{equation}
  2. 一行(列)扩大非零常数倍数
    \begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ ca_{21} & ca_{22} & ca_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} \end{equation}
  3. 一行(列)加上另一行(列)的常数倍数
    \begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}+ca_{31} & a_{21}+ca_{32} & a_{21}+ca_{33}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} \end{equation}

2. 初等矩阵 Elementary Matrices

   初等矩阵是单位矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 只经一次初等变化得到的矩阵,也包括三种类型,常记作 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $.以下分别举例说明.

表1:初等矩阵
种类 效果 形式 逆矩阵 行列式
1 交换两行(列) 交换第 2,3 行 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1= \begin{pmatrix} 1 < /td > < td > 0 < /td > < td > 0\\ 0 < /td > < td > 0 < /td > < td > 1\\ 0 < /td > < td > 1 < /td > < td> 0\\ \end{pmatrix} $ $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1^{-1}= \boldsymbol{\mathbf{E}} _1= \begin{pmatrix} 1 < /td > < td > 0 < /td > < td > 0\\ 0 < /td > < td > 0 < /td > < td > 1\\ 0 < /td > < td > 1 < /td > < td> 0\\ \end{pmatrix} $ $det ( \boldsymbol{\mathbf{E}} _1) = -1$
2 一行(列)扩大非零常数倍数 第 2 行扩大 c 倍 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2= \begin{pmatrix} 1 < /td > < td > 0 < /td > < td > 0\\ 0 < /td > < td > c < /td > < td > 0\\ 0 < /td > < td > 0 < /td > < td> 1\\ \end{pmatrix} $ $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2^{-1}= \begin{pmatrix} 1 < /td > < td > 0 < /td > < td > 0\\ 0 < /td > < td > \frac{1}{c} < /td > < td > 0\\ 0 < /td > < td > 0 < /td > < td> 1\\ \end{pmatrix} $ $det ( \boldsymbol{\mathbf{E}} _2) = c$
3 一行(列)加上另一行(列)的常数倍数 第 2 行加上第 3 行的 c 倍 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _3 = \begin{pmatrix} 1 < /td > < td > 0 < /td > < td > 0\\ 0 < /td > < td > 1 < /td > < td > c\\ 0 < /td > < td > 0 < /td > < td> 1\\ \end{pmatrix} $ $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _3^{-1} = \begin{pmatrix} 1 < /td > < td > 0 < /td > < td > 0\\ 0 < /td > < td > 1 < /td > < td > -c\\ 0 < /td > < td > 0 < /td > < td> 1\\ \end{pmatrix} $ $det ( \boldsymbol{\mathbf{E}} _3) = 1$

   初等矩阵的逆矩阵仍是原类型的初等矩阵.

3. 初等变化与初等矩阵

预备知识 矩阵乘法

定理 1 

   对矩阵进行一次初等行操作⇔相应的初等矩阵 E*矩阵(左乘)

   对矩阵进行一次初等列操作⇔矩阵*相应的初等矩阵 E(右乘)

例 1 

   例如

\begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} \end{equation}

   运用初等变换的性质,可以很容易地理解一些结论.

例 2 

   例如行列式的性质定理 3 “将行列式的两列交换,结果取相反数”:交换两列,相当于对相应矩阵做一次初等列变换.那么自然有, $$det ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{E}} _1)=det ( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) det( \boldsymbol{\mathbf{E}} _1)=-det ( \boldsymbol{\mathbf{A}} )$$

例 3 

   如何理解初等矩阵的逆矩阵?

   以 “交换第 2,3 行” 的初等矩阵为例.根据逆矩阵的定义,$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1^{-1} \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 = \boldsymbol{\mathbf{I}} $.既然 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1$ 的效果是"交换第 2,3 行",那么左乘的 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1^{-1}$ 的效果也应该是再次"交换第 2,3 行",才可使矩阵恢复 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $.所以,$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1^{-1} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _1$

   同理可理解剩余两种变换,试着自己给出说明.

4. 行等价 Row Equivalent

定义 1 行等价

   若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 经过有限次初等行变换即可得到 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $,则称 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 行等价.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = ... \boldsymbol{\mathbf{E}} _3 \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}

   可以证明,所有可逆矩阵都行等价于单位矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $.

   可以用该思路来理解 高斯消元法求逆矩阵


1. ^ 本文参考了 Steven J. Leon 的 Linear Algebra with Applications 与 MIT 的《线性代数》课程.本文适用于 CC-BY-SA.


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