连续函数的性质

贡献者： addis

1. 有界性

　　 若函数 $f(x)\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

　　 证明：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无界，则将 $[a,b]$ 等分成两个闭区间，$f(x)$ 必在其中一个子区间上无界，取定这样的一个区间并将其设为 $[a_1,b_1]$ . 同理，取定 $[a_2,b_2]$ . 如此进行下去，我们就得到了一个闭区间列 $\{[a_n,b_n]\}$，满足：

　　 （1）$[a_n,b_n]\supset [a_{n+1},b_{n+1}]$；

　　 （2）$b_{n+1}-a_{n+1}={\displaystyle \frac{b_n-a_n}{2}}$；

　　 （3）$f(x)$ 在每个 $[a_n,b_n]$ 上无界。

　　 于是，由闭区间套定理（定理 3 ）知，存在唯一的 ${\bigcap }^{+\mathrm{\infty }}\in {\bigcap }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}[a_n,b_n]$. 由 $f(x)\in C[a,b]$ 和 $\xi \in [a,b]$，知 $\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$，$\mathrm{\forall }x\in B(\xi ,\delta )\bigcap [a,b]$，有 $|f(x)-f(\xi )|<ϵ$，即 $f(x)$ 在 $B(\xi ,\delta )\bigcap [a,b]$ 上有界。又由条件（2），当 $n$ 充分大时，有 $[a_n,b_n]\subset B(\xi ,\delta )$，故 $[a_n,b_n]\subset B(\xi ,\delta )\bigcap [a,b]$，从而 $f(x)$ 在 $[a_n,b_n]$ 上有界，与条件（3）矛盾。故 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

2. 最值定理

　　 若 $f(x)\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有最小值和最大值，即存在 $\xi ,\zeta \in [a,b]$，使得 $f(\xi )\le f(x)\le f(\zeta )$ 对一切的 $x\in [a,b]$ 成立。

　　 证明：令 $M=\underset{x\in [a,b]}{sup}\{f(x)\}$，则由上确界的定义知，存在一个序列 $\{x_n\}\subset [a,b]$，使得 $f(x)\to M(x\to \mathrm{\infty })$. 由于 $\{x_n\}$ 是有界序列，所以必有一收敛子列 $\{x_{n_k}\}$（定理 5 ）. 设 $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}=\zeta$，则 $\zeta \in [a,b]$. 再由 $f(x)\in C[a,b]$，知 $$f(\zeta )=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_{n_k})=M.$$

　　 同理可证存在 $\xi \in [a,b]$，使得 $$f(\xi )=m=\underset{x\in [a,b]}{inf}\{f(x)\}.$$ **注**：介值定理只在闭区间上成立，开区间上边界处 $f(x)$ 可能趋于无穷。

3. 介值定理

　　 设 $f(x)\in [a,b]$，记 $m=\underset{x\in [a,b]}{min}\{f(x)\}$，$M=\underset{x\in [a,b]}{max}\{f(x)\}$，则 $f([a,b])=[m,M]$，即对 $\mathrm{\forall }\eta \in [m,M]$，$\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi )=\eta$.

　　 证明：由最值定理知，$\mathrm{\exists }{x}_1,x_2\in [a,b]$，使得 $f(x_1)=m$，$f(x_2)=M$. 下证对 $\mathrm{\forall }\eta \in (m,M)$，$\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi )=\eta$.

　　 不妨设 $x_1<x_2$，并定义 $$E=\{x\in [x_1,x_2]:f(x)>\eta \}.$$ 显然有 $x_1\notin E$，$x_2\in E$. 现令 $E$ 的下确界为 $\xi$，则有 $f(\xi )=\eta$.

　　 事实上，若不然，则 $f(\xi )>\eta$. 由连续函数的局部保号性知，存在 $\xi$ 的一个邻域 $U(\xi ,\delta )$，使得 $f(x)>\eta$ 对一切 $x\in U(\xi ,\delta )$ 成立。取 ${\xi }^{\prime }\in [x_1,x_2]\bigcap [\xi -\delta ,\xi ]$，则有 $f({\xi }^{\prime })\in E$ 及 ${\xi }^{\prime }<\xi$，这与 $\xi$ 是 $E$ 的下确界矛盾。

4. 零点存在定理

　　 设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，若 $\alpha ,\beta \in I$，$\alpha <\beta$，满足 $f(\alpha )f(\beta )<0$，则存在 $\xi \in (\alpha ,\beta )$，使得 $f(\xi )=0$.

　　 零点存在定理实质上是介值定理的一种特殊情况，常被用来证明非线性方程之解的存在性，或者用它来求方程的近似根。如：

5. Question

　　 1.证明三次方程 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ 至少有一实根。

　　 2.证明方程 $x^4+2x-1=0$ 在 $(0,1)$ 中必有一根，并求它的一个近似解。

6. 定义 一致连续

　　 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。 若 $\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$，当 $x_1,x_2\in I$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<ϵ$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上**一致连续**.

　　 由此，$f(x)$ 在 $I$ 上不一致连续与以下断言等价：存在 ${ϵ}_0>0$ 及序列 $\{x_n^{\prime }\}$，$\{x_n^{″}\}\subset I$ 满足 $x_n^{\prime }-x_n^{″}\to 0(n\to \mathrm{\infty })$ 及 $|f(x_n^{\prime })-f(x_n^{″})|\ge {ϵ}_0$.

　　 显然，若 $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续，则它必在 $I$ 上连续。

7. Question

　　 1.证明 $f(x)=\sin x$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上一致连续。

　　 2.试证明 $f(x)$ 在 $I$ 一致连续的充分必要条件是：对任意的两个序列 $\{x_n^{\prime }\}\subset I$，$\{x_n^{″}\}\subset I$，若它们满足 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n^{\prime }-x_n^{″})=0$，必有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x_n^{\prime })-f(x_n^{″})]=0$。

8. 康托尔定理

　　 设函数 $f(x)\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上一致连续。

　　 证明：定义 $$F(x)=\{\begin{array}{cc}f(a),& x\in (-\mathrm{\infty },a),\\ f(x),& x\in [a,b],\\ f(b),& x\in (b,+\mathrm{\infty }),\end{array}.$$

　　 则 $F(x)\in C(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$. $\mathrm{\forall }ϵ>0$ 和 $x\in [a,b]$，$\mathrm{\exists }{\delta }_x>0$，当 $x^{\prime },x^{″}\in U(x,2{\delta }_x)$ 时，有

　　 $$|F(x^{\prime })-F(x^{″})|<ϵ.$$

　　 显然，开区间簇 $\{U(x,{\delta }_x):x\in [a,b]\}$ 是闭区间 $[a,b]$ 的一个开覆盖。由有限覆盖定理知，必有其中有限多个开区间

　　 $$U(x_1,{\delta }_{x_1}),U(x_2,{\delta }_{x_2}),\cdot \cdot \cdot ,U(x_m,{\delta }_{x_m}).$$

　　 它们完全覆盖了 $[a,b]$. 令 $\delta =min\{{\delta }_{x_j}:j=1,2,\cdot \cdot \cdot ,m\}$，则 $\delta >0$，且当 $x^{\prime },x^{″}\in [a,b]$ 且 $|x^{\prime }-x^{″}|<\delta$ 时，必定存在某一 $U(x_j,{\delta }_{x_j})$，使得 $x^{\prime }\in U(x_j,{\delta }_{x_j})$，即 $|x^{\prime }-x_j|<{\delta }_{x_j}$，从而 $|x^{″}-x_j|\le |x^{″}-x^{\prime }|+|x^{\prime }-x_j|\le \delta +{\delta }_{x_j}\le 2{\delta }_{x_j}$，于是有 $x^{\prime },x^{″}\in U(x_j,2{\delta }_{x_j})$. 这样，由 ${\delta }_{x_j}$ 的定义，有

　　 $$|f(x^{\prime })-f(x^{″})|=|F(x^{\prime })-F(x^{″})|<ϵ.$$

　　 注意到 $\delta$ 只与 $ϵ$ 有关而与 $x^{\prime },x^{″}$ 无关，故 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

9. Question

　　 1.设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续。证明：$f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续的充要条件是 $\underset{x\to a+0}{lim}f(x)$ 与 $\underset{x\to b-0}{lim}f(x)$ 都存在。

　　 2.设 $f(x)$ 是定义在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上的连续周期函数，证明 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上一致连续。