定积分的性质

                     

贡献者： 零穹

　　 在定积分的定义（定义 4 ），说 “$a$ 到 $b$ 的区间上的定积分” 时，总是理解成 $a<b$。现在我们先去除这一限制，即对定积分的定义中 $a,b$ 的大小关系不施加任何限制，进而讨论定积分的性质。为此，先介绍定向区间的概念。

　　 对 $a>b$ 时的定向区间 $[a,b]$ 上的积分的定义，可以用完全类似的方法定义，只需从 $a$ 到 $b$ 的方向插入分点：

于是，若积分和 在 $\lambda =max\{\mathrm{\Delta }{x}_i|i=0,\cdots n-1\}$ 趋于 0 时的极限（定义 1 ）存在，则该极限就是 $f(x0$ 在定向区间 $[a,b]$ 上的定积分，并记作

1. 定积分的性质

　　 证明： 只需对 $[a,b],[b,a]$ 取同样的分点和 ${\xi }_i$，则它们的积分和仅仅差一负号，因此其极限也只差一负号。

　　 证毕！

　　 证明： 此时 $[a,a]$ 上所有的分点和 ${\xi }_i$ 都是 $a$，而 $\mathrm{\Delta }{x}_i=0$ 且 $f(a)$ 有限，所以积分和每一项都是 0。

　　 证毕！

　　 当然，如果定向区间 $[a,b]$ 的定义不允许 $a=b$，那么可以把 ${\int }_a^{a}f(x)\mathrm{d}x$ 定义为 $\underset{b\to a}{lim}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$，此时也有定理 2 的性质。所以两种定义带来的结果都是等价的，如何理解都可。

　　 为方便下面的证明，使用的符号 $\sum _c^{d}f(\xi )\mathrm{\Delta }x$ 代表 $\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$ 其中 $x_0=c,x_{n-1}=d$，可以理解成矢量 $f(\xi )=(f({\xi }_0),\cdots ,f({\xi }_{n-1}))$ 和 $\mathrm{\Delta }x=(\mathrm{\Delta }{x}_0,\cdots ,\mathrm{\Delta }{x}_{n-1})$ 的内积，其中 $x_0=c,x_{n-1}=d.$

　　 证明： 由定理 1 ，只需对 $c<d$ 的情形证明即可。由定理 6 ，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的每一部分区间都可积。

　　 设 $e\in [c,d]$，并令 $e$ 是分点之一，于是

两边取极限就得所需证的等式。

　　 设 $e\notin [c,d]$，不失一般性，令 $e\le c$，于是由上一情形

　　 证毕！

　　 证明： 利用积分和出发证明即可：

上面两边取极限便得所需证的等式。

　　 证毕！

　　 证明： 写出达布下和

由于 $f(\xi ),\mathrm{\Delta }x\ge 0$，所以和的每一项都非负，由定积分存在条件和式 9 ， 对于式 11 的证明，完全一样，由于在某一区间分划下，达布下和大于 0，可以该分划的分点为基础获得新的 $\lambda \to 0$ 的分划，由达布下和的性质定理 1 和式 9 $0<s\le {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$

　　 证毕！

　　 由该定理容易得到下面推论

　　 证明： 由数的绝对值满足的三角不等式 $|a_1+a_2|\le \left|a_1\right|+\left|a_2\right|$，容易通过数学归纳法证得

于是 右边的式子的可积性由定理 4 得到。两边取极限便得到式 15 。

　　 证毕！

　　 证明： 由下面明显的不等式

取极限即得。

　　 证毕！