定积分的性质

                     

贡献者: 零穹

预备知识 定积分

   在定积分的定义(定义 4 ),说 “$a$ 到 $b$ 的区间上的定积分” 时,总是理解成 $a< b$。现在我们先去除这一限制,即对定积分的定义中 $a,b$ 的大小关系不施加任何限制,进而讨论定积分的性质。为此,先介绍定向区间的概念。

定义 1 定向区间

   满足不等式

\begin{equation} a\leq x\leq b\quad or\quad a\geq x\geq b~ \end{equation}
的顺序从 $a$ 到 $b$ 的 $x$ 的集合称为从 $a$ 到 $b$ 的定向区间,记作 $[a,b]$。即 $a< b$ 则是递增顺序,$a>b$ 就是递减顺序,$a=b$ 就是不增不减。

   对 $a>b$ 时的定向区间 $[a,b]$ 上的积分的定义,可以用完全类似的方法定义,只需从 $a$ 到 $b$ 的方向插入分点:

\begin{equation} x_0=a>x_1>\cdots>x_n=n~, \end{equation}
于是,若积分和
\begin{equation} \sigma=\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\Delta x_i,\quad\Delta x_i=x_{i+1}-x_i<0~. \end{equation}
在 $\lambda=\max \left\{\Delta x_i|i=0,\cdots n-1 \right\} $ 趋于 0 时的极限(定义 1 )存在,则该极限就是 $f(x0$ 在定向区间 $[a,b]$ 上的定积分,并记作
\begin{equation} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} =\lim_{\lambda\rightarrow0}\sigma~. \end{equation}

1. 定积分的性质

定理 1 

   若 $f(x)$ 在区间 $[b,a]$ 上可积,则它们在 $[a,b]$ 也可积,并且

\begin{equation} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} =-\int_b^a f(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

   证明: 只需对 $[a,b],[b,a]$ 取同样的分点和 $\xi_i$,则它们的积分和仅仅差一负号,因此其极限也只差一负号。

   证毕!

定理 2 

   $\int_a^a f(x) \,\mathrm{d}{x} =0$

   证明: 此时 $[a,a]$ 上所有的分点和 $\xi_i$ 都是 $a$,而 $\Delta x_i=0$ 且 $f(a)$ 有限,所以积分和每一项都是 0。

   证毕!

   当然,如果定向区间 $[a,b]$ 的定义不允许 $a=b$,那么可以把 $\int_a^a f(x) \,\mathrm{d}{x} $ 定义为 $\lim\limits_{b\rightarrow a}\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} $,此时也有定理 2 的性质。所以两种定义带来的结果都是等价的,如何理解都可。

   为方便下面的证明,使用的符号 $\sum\limits_{c}^d f(\xi)\Delta x$ 代表 $\sum\limits_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)\Delta x_i$ 其中 $x_0=c,x_{n-1}=d$,可以理解成矢量 $f(\xi)=(f(\xi_0),\cdots,f(\xi_{n-1}))$ 和 $\Delta x=(\Delta x_0,\cdots,\Delta x_{n-1})$ 的内积,其中 $x_0=c,x_{n-1}=d.$

定理 3 

   设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积,那么对任意的 $c,d,e\in[a,b]$,成立

\begin{equation} \int_c^d f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_c^e f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_e^d f(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

   证明:定理 1 ,只需对 $c< d$ 的情形证明即可。由定理 6 ,$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的每一部分区间都可积。

   设 $e\in [c,d]$,并令 $e$ 是分点之一,于是

\begin{equation} \sum_{c}^d f(\xi)\Delta x=\sum_c^e f(\xi)\Delta x+\sum_e^d f(\xi)\Delta x~. \end{equation}
两边取极限就得所需证的等式。

   设 $e\notin[c,d]$,不失一般性,令 $e\leq c$,于是由上一情形

\begin{equation} \begin{aligned} &\int_e^d f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_e^c f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_c^d f(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &\Downarrow\\ &\int_c^d f(x) \,\mathrm{d}{x} =-\int_e^c f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_e^d f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_c^e f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_e^d f(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{aligned} \end{equation}

   证毕!

定理 4 

   设 $f(x),g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积,则

  1. $\int_a^b kf(x) \,\mathrm{d}{x} =k\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} $,($k$ 是常数);
  2. $\int_a^b[f(x)\pm g(x)] \,\mathrm{d}{x} =\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \pm\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} $.

   证明: 利用积分和出发证明即可:

\begin{equation} \begin{aligned} &\sum_{a}^bkf(\xi)\Delta x=k\sum_{a}^bf(\xi)\Delta x;\\ &\sum_a^b \left[f(\xi)\pm g(\xi) \right] \Delta x=\sum_a^bf(\xi)\Delta x\pm \sum_a^bg(\xi)\Delta x~. \end{aligned} \end{equation}
上面两边取极限便得所需证的等式。

   证毕!

定理 5 

   如果在 $[a,b]$ 上可积函数 $f(x)$ 是非负的,并且 $a< b$,则

\begin{equation} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \geq0~, \end{equation}
此时,若可积函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是正的,则
\begin{equation} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} >0~. \end{equation}

   证明: 写出达布下和

\begin{equation} s=\sum_{a}^bm\Delta x~. \end{equation}
由于 $f(\xi),\Delta x\geq0$,所以和的每一项都非负,由定积分存在条件和式 9
\begin{equation} 0\leq s\leq\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
对于式 11 的证明,完全一样,由于在某一区间分划下,达布下和大于 0,可以该分划的分点为基础获得新的 $\lambda\rightarrow0$ 的分划,由达布下和的性质定理 1 式 9 $0< s\leq\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} .$

   证毕!

   由该定理容易得到下面推论

推论 1 

   如果 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积,并且 $f(x)\leq g(x),a< b$ (或 $f(x)< g(x)$ ),则

\begin{equation} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} \qquad (or \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} <\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} )~. \end{equation}

定理 6 

   设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的可积函数,且 $a< b$,则

\begin{equation} \left\lvert \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert \leq\int_a^b \left\lvert f(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

   证明: 由数的绝对值满足的三角不等式 $ \left\lvert a_1+a_2 \right\rvert \leq \left\lvert a_1 \right\rvert + \left\lvert a_2 \right\rvert $,容易通过数学归纳法证得

\begin{equation} \left\lvert \sum_i a_i \right\rvert \leq\sum_i \left\lvert a_i \right\rvert ~. \end{equation}
于是
\begin{equation} \left\lvert \sum_a^b f(x)\Delta x \right\rvert \leq\sum_a^b \left\lvert f(x) \right\rvert \Delta x~. \end{equation}
右边的式子的可积性由定理 4 得到。两边取极限便得到式 15

   证毕!

定理 7 

   如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积,其中 $a< b$,并且在该区间上恒有

\begin{equation} m< f(x)< M~, \end{equation}
\begin{equation} m(b-a)\leq\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq M(b-a)~. \end{equation}

   证明: 由下面明显的不等式

\begin{equation} m(b-a)=m\sum_a^b\Delta x\leq\sum_a^b f(\xi)\Delta x\leq M\sum_a^b\Delta x=M(b-a)~. \end{equation}
取极限即得。

   证毕!


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