可积函数
贡献者: 零穹
可积函数的定义已经在定义 4 给出,严格来说,这里的可积函数称为黎曼可积函数。本文将给出一些常见的可积函数和可积函数的一些性质。
1. 一些可积函数
定理 1 连续函数必可积
定义在区间 上的连续函数必在区间 上可积。
证明:
由子节 8 的康托尔定理,连续函数在闭区间上必一致连续(子节 6 )由此可证明:即对任意 可找到 ,使得当 分成长度 的若干部分时,所有的 ( 是对应区间上的振幅(定义 3 ))。由此
由
定义 1 ,
由
定积分存在条件便证得定理。
证毕!
定理 2 有限间断点的连续函数必可积
若 是区间 上除在有限个点外都连续的函数,则 可积。
这里只给出该定理的一个理解方式:由维尔斯特拉斯第一定理,定义在闭区间上的函数必有界,于是在每个间断点 附近做个小区间 ,那么它们对式 2 的贡献相当于 ,其中 是函数在区间 的振幅和 中的最大者,显然这个极限就是 0,而其它地方的函数是连续的,所以满足可积条件,所以最后的式 2 就应为 0。
定理 3 单调有界函数必可积
若 是区间 上的单调有界函数,则 可积。
证明:
给定任一 ,令
于是当所有的 时,立即有
即
证毕!
2. 可积函数的性质
定理 4
如果 在 上可积,则 ( 为常数)也在该区间上可积。
定理 5
如果 在 上可积,则它们的和、差、积都可积。
定理 6
函数 在区间 上可积,当且仅当对于区间的分划, 在每一部分区间上可积。
定理 7
改变可积函数在有限个点上的值,并不会破坏它的可积性。
例 1 不可积函数举例
Dirichlet 函数
不是可积的:对于任何一个子区间 ,其上最大值为 ,最小值为 ,因此上黎曼积分为 ,下黎曼积分为 。
致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者
热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。