贡献者： 零穹
可积函数的定义已经在定义 4 给出，严格来说，这里的可积函数称为黎曼可积函数。本文将给出一些常见的可积函数和可积函数的一些性质。
1. 一些可积函数
定理 1 连续函数必可积
定义在区间 $[a,b]$ 上的连续函数必在区间 $[a,b]$ 上可积。
证明：
由子节 8 的康托尔定理，连续函数在闭区间上必一致连续（子节 6 ）由此可证明：即对任意 $\epsilon>0$ 可找到 $\delta>0$，使得当 $[a,b]$ 分成长度 $\Delta x_i<\delta$ 的若干部分时，所有的 $\omega_i<\epsilon/(b-a)$（$\omega_i$ 是对应区间上的振幅（定义 3 ））。由此
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{n-1}\omega_i\Delta x_i<\epsilon/(b-a)\cdot\sum_{i=0}^{n-1}\Delta x_i=\epsilon~.
\end{equation}
由
定义 1 ，
\begin{equation}
\lim\sum_{i=0}^{n-1}\omega_i\Delta x_i=0~
\end{equation}
由
定积分存在条件便证得定理。
证毕！
定理 2 有限间断点的连续函数必可积
若 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上除在有限个点外都连续的函数，则 $f(x)$ 可积。
这里只给出该定理的一个理解方式：由维尔斯特拉斯第一定理，定义在闭区间上的函数必有界，于是在每个间断点 $x_{0i}$ 附近做个小区间 $(x_{0i}-\epsilon_i,x_{0i}+\epsilon_i)$,那么它们对式 2 的贡献相当于 $\sum_{i=0}^{m}\omega_{0i}2\epsilon_i\leq2m\Omega\epsilon $，其中 $\Omega,\epsilon$ 是函数在区间 $[a,b]$ 的振幅和 $\epsilon_{0i}$ 中的最大者，显然这个极限就是 0，而其它地方的函数是连续的，所以满足可积条件，所以最后的式 2 就应为 0。
定理 3 单调有界函数必可积
若 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上的单调有界函数，则 $f(x)$ 可积。
证明：
给定任一 $\epsilon>0$，令
\begin{equation}
\delta=\frac{\epsilon}{f(b)-f(a)}~,
\end{equation}
于是当所有的 $\Delta x_i<\delta$ 时，立即有
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{n-1}\omega_i\Delta x_i<\delta\sum_{i=0}^{n-1}(f(x_{i+1})-f(x_i))=\epsilon~
\end{equation}
即
\begin{equation}
\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_i\Delta x_i=0~.
\end{equation}
证毕！
2. 可积函数的性质
定理 4
如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $ \left\lvert f(x) \right\rvert ,kf(x)$（$k$ 为常数）也在该区间上可积。
定理 5
如果 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则它们的和、差、积都可积。
定理 6
函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，当且仅当对于区间的分划，$f(x)$ 在每一部分区间上可积。
定理 7
改变可积函数在有限个点上的值，并不会破坏它的可积性。
例 1 不可积函数举例
Dirichlet 函数
\begin{equation}
D(x)=
\left\{\begin{aligned}
1, x\in\mathbb{Q}\\
0, x\not\in\mathbb{Q}
\end{aligned}\right. ~
\end{equation}
不是可积的：对于任何一个子区间 $[a, b]$，其上最大值为 $1$，最小值为 $0$，因此上黎曼积分为 $1$，下黎曼积分为 $0$。
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