可积函数

                     

贡献者: 零穹

  • 子节 2 待证明
预备知识 定积分存在条件

   可积函数的定义已经在定义 4 给出,严格来说,这里的可积函数称为黎曼可积函数。本文将给出一些常见的可积函数和可积函数的一些性质。

1. 一些可积函数

定理 1 连续函数必可积

   定义在区间 [a,b] 上的连续函数必在区间 [a,b] 上可积。

   证明:子节 8 的康托尔定理,连续函数在闭区间上必一致连续(子节 6 )由此可证明:即对任意 ϵ>0 可找到 δ>0,使得当 [a,b] 分成长度 Δxi<δ 的若干部分时,所有的 ωi<ϵ/(ba)ωi 是对应区间上的振幅(定义 3 ))。由此

(1)i=0n1ωiΔxi<ϵ/(ba)i=0n1Δxi=ϵ .
定义 1
(2)limi=0n1ωiΔxi=0 
定积分存在条件便证得定理。

   证毕!

定理 2 有限间断点的连续函数必可积

   若 f(x) 是区间 [a,b] 上除在有限个点外都连续的函数,则 f(x) 可积。

   这里只给出该定理的一个理解方式:由维尔斯特拉斯第一定理,定义在闭区间上的函数必有界,于是在每个间断点 x0i 附近做个小区间 (x0iϵi,x0i+ϵi),那么它们对式 2 的贡献相当于 i=0mω0i2ϵi2mΩϵ,其中 Ω,ϵ 是函数在区间 [a,b] 的振幅和 ϵ0i 中的最大者,显然这个极限就是 0,而其它地方的函数是连续的,所以满足可积条件,所以最后的式 2 就应为 0。

定理 3 单调有界函数必可积

   若 f(x) 是区间 [a,b] 上的单调有界函数,则 f(x) 可积。

   证明: 给定任一 ϵ>0,令

(3)δ=ϵf(b)f(a) ,
于是当所有的 Δxi<δ 时,立即有
(4)i=0n1ωiΔxi<δi=0n1(f(xi+1)f(xi))=ϵ 
(5)limλ0i=0n1ωiΔxi=0 .

   证毕!

2. 可积函数的性质

定理 4 

   如果 f(x)[a,b] 上可积,则 |f(x)|,kf(x)k 为常数)也在该区间上可积。

定理 5 

   如果 f(x),g(x)[a,b] 上可积,则它们的和、差、积都可积。

定理 6 

   函数 f(x) 在区间 [a,b] 上可积,当且仅当对于区间的分划,f(x) 在每一部分区间上可积。

定理 7 

   改变可积函数在有限个点上的值,并不会破坏它的可积性。

例 1 不可积函数举例

   Dirichlet 函数

(6)D(x)={1,xQ0,xQ 
不是可积的:对于任何一个子区间 [a,b],其上最大值为 1,最小值为 0,因此上黎曼积分为 1,下黎曼积分为 0


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