可积函数

贡献者：零穹

子节 2 待证明

预备知识　定积分存在条件

　　可积函数的定义已经在定义 4 给出，严格来说，这里的可积函数称为黎曼可积函数。本文将给出一些常见的可积函数和可积函数的一些性质。

1. 一些可积函数

定理 1　连续函数必可积

　　定义在区间 $[a, b]$ 上的连续函数必在区间 $[a, b]$ 上可积。

　　 证明： 由子节 8 的康托尔定理，连续函数在闭区间上必一致连续（子节 6 ）由此可证明：即对任意 $ϵ > 0$ 可找到 $δ > 0$ ，使得当 $[a, b]$ 分成长度 $Δ x_{i} < δ$ 的若干部分时，所有的 $ω_{i} < ϵ / (b - a)$ （ $ω_{i}$ 是对应区间上的振幅（定义 3 ））。由此

\begin{matrix} (1) & \sum_{i = 0}^{n - 1} ω_{i} Δ x_{i} < ϵ / (b - a) \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} Δ x_{i} = ϵ . \end{matrix}

由定义 1 ，

\begin{matrix} (2) & lim \sum_{i = 0}^{n - 1} ω_{i} Δ x_{i} = 0 \end{matrix}

由定积分存在条件便证得定理。

　　 证毕！

定理 2　有限间断点的连续函数必可积

　　若 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上除在有限个点外都连续的函数，则 $f (x)$ 可积。

　　这里只给出该定理的一个理解方式：由维尔斯特拉斯第一定理，定义在闭区间上的函数必有界，于是在每个间断点 $x_{0 i}$ 附近做个小区间 $(x_{0 i} - ϵ_{i}, x_{0 i} + ϵ_{i})$ ,那么它们对式 2 的贡献相当于 $\sum_{i = 0}^{m} ω_{0 i} 2 ϵ_{i} \leq 2 m Ω ϵ$ ，其中 $Ω, ϵ$ 是函数在区间 $[a, b]$ 的振幅和 $ϵ_{0 i}$ 中的最大者，显然这个极限就是 0，而其它地方的函数是连续的，所以满足可积条件，所以最后的式 2 就应为 0。

定理 3　单调有界函数必可积

　　若 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的单调有界函数，则 $f (x)$ 可积。

　　 证明： 给定任一 $ϵ > 0$ ，令

\begin{matrix} (3) & δ = \frac{ϵ}{f (b) - f (a)}, \end{matrix}

于是当所有的

Δ x_{i} < δ

时，立即有

\begin{matrix} (4) & \sum_{i = 0}^{n - 1} ω_{i} Δ x_{i} < δ \sum_{i = 0}^{n - 1} (f (x_{i + 1}) - f (x_{i})) = ϵ \end{matrix}

即

\begin{matrix} (5) & lim_{λ \to 0} \sum_{i = 0}^{n - 1} ω_{i} Δ x_{i} = 0 . \end{matrix}

　　 证毕！

2. 可积函数的性质

定理 4　

　　如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $| f (x) |, k f (x)$ （ $k$ 为常数）也在该区间上可积。

定理 5　

　　如果 $f (x), g (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则它们的和、差、积都可积。

定理 6　

　　函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，当且仅当对于区间的分划， $f (x)$ 在每一部分区间上可积。

定理 7　

　　改变可积函数在有限个点上的值，并不会破坏它的可积性。

例 1　不可积函数举例

　　 Dirichlet 函数

\begin{matrix} (6) & D (x) = {\begin{array}{r} 1, x \in Q \\ 0, x \notin Q \end{array} \end{matrix}

不是可积的：对于任何一个子区间

[a, b]

，其上最大值为

1

，最小值为

0

，因此上黎曼积分为

1

，下黎曼积分为

0

。

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可积函数

1. 一些可积函数

定理 1 连续函数必可积

定理 2 有限间断点的连续函数必可积

定理 3 单调有界函数必可积

2. 可积函数的性质

定理 4

定理 5

定理 6

定理 7

例 1 不可积函数举例

定理 1　连续函数必可积

定理 2　有限间断点的连续函数必可积

定理 3　单调有界函数必可积

定理 4　

定理 5　

定理 6　

定理 7　

例 1　不可积函数举例