定积分存在条件

                     

贡献者： 零穹; addis; Giacomo

　　 “定积分"里给出了定积分的定义，并且强调了该定义只适用于有解函数的情况。也就是说定积分的存在是有条件的，所以自然而然就出现这样的疑问：是否有一般的办法断定积分是否存在？这就是本文要完成的任务。

1. 达布和

　　 定积分的定义（定义 4 ）中，积分和（黎曼和）的极限要求 ${\xi }_i$ 在区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上的选择是任意的。为简化研究，除积分和外，按照达布（Darboux）的方法，引进一类更为简单的和。

　　 显然，达布和仅仅是给出了 ${\xi }_i$ 在区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 的两种选择方式：使 $f(x)$ 在该区间上最大或最小。所以它只是某种特殊的积分和。

　　 为方便起见，设

是给定的分点序列（或区间 $[a,b]$ 的分划）。用 $m_i,M_i$ 分别代表函数 $f(x)$ 在第 $i$¹个部分区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 的最大与最小值，而下、上积分和记为

　　 显然，$s,S$ 分别是给定分划时积分和中的下确界和上确界(定义 2 )。因为如果数集有最大值和最小值，则最大值和最小值就是数集的上确界和下确界。这个证明很简单，因为上确界是上界中的最小者，而如果数集有最大值 $a$，那么它的上界 $A$ 必须满足 $A\ge a$，由这不等式容易知道，上界中的最小值就是 $a$，同样下确界可以类似证明。

达布和的性质

　　 达布和的两个基本性质可用如下两个定理说明。

　　 证明： 我们仅讨论下和，上和可类似讨论。只需讨论在任一部分区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 内加入一个新的分点 $x^{\prime }$ 即可，即

用 $s^{\prime }$ 表示新的下和，那么，$s,s^{\prime }$ 仅在这个区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 有所不同，两者对应于该区间的项分别是 其中 $m_{1i},m_{2i}$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[x_i,x^{\prime }],[x^{\prime },x_{i+1}]$ 山的最小值，由于 $m_i$ 是区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上 $f(x)$ 的最小值，所以 于是 由此推得 $s^{\prime }>s$。

　　 证毕！

　　 证明： 考虑任意两个分划，设它们的达布和分别为 $s_1,S_1$ 和 $s_2,S_2$。所以定理的证明相当于只需证明 $s_1\le S_2$。把这两分划的分点合在一起构成新的分划，记其达布和为 $s_3,S_3$。根据定理 1 ，

而 $s_3\le S_3$，所以 $s_1\le S_2$。

　　 证毕！

　　 由定理 2 ，下和的整个集合 $\{s\}$ 上有界，上和的整个集合 $\{S\}$ 下有界。由确界定理（定义 3 ），$\{s\},\{S\}$ 分别有有限的上确界和下确界：

显然 $I_{\ast }\le I^{\ast }$。

　　 上述可总结为

2. 定积分的存在条件

　　 借助达布和的知识，现在容易得到定积分存在的充要条件了。

　　 证明： 1.必要性：假定积分为 $I$，于是对任一 $ϵ>0$，可以找到 $\delta >0$，使得只要 当所有 $\mathrm{\Delta }{x}_i<\delta$，就有

对应满足该条件的分划，设 $s,S$ 是其达布下和与上和，所以就有 于是 上式等价于

　　 2.充分性：设式 11 成立，那么由 式 9 $I_{\ast }=I^{\ast }=I$。令 $\sigma$ 为 $s,S$ 对应的区间分划的和，那么

即定积分存在。

　　 证毕！

　　 那么如果以 ${\omega }_i$ 表示区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上的振幅，式 11 就等价于

　　 有了定积分存在的充要条件，我们要证明函数可积（定义 4 ），就只需证明函数满足式 11 或式 17 即可。

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