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1. 理想气体的巨配分函数
\begin{equation}
\Xi = \exp\left(z Q_1\right) = \exp\left(\frac{zV}{\lambda^3}\right) ~.
\end{equation}
2. 推导
\begin{equation}
\begin{aligned}
\Xi & = \sum_{N = 0}^\infty \sum_{i = 1}^\infty \mathrm{e} ^{(N\mu - E_i)\beta} = \sum_{N = 0}^\infty z^N Q
= \sum_{N = 0}^\infty z^N \frac{1}{N!}Q_1^N \\
& = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} (z Q_1)^N
= \exp\left(z Q_1\right) = \exp\left(\frac{zV}{\lambda^3}\right) ~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中用到了指数函数的泰勒展开（
式 6 ）。
3. 状态方程推导
首先求出理想气体的巨势
\begin{equation}
\Phi = - kT\ln \Xi = - kT\frac{zV}{\lambda ^3}~.
\end{equation}
由
巨正则系综法
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\Phi} = - P \,\mathrm{d}{V} - S \,\mathrm{d}{T} - N \,\mathrm{d}{\mu} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
P = - \left( \frac{\partial \Phi}{\partial V} \right) _{T, \mu} = kT\frac{z}{\lambda ^3}~.
\end{equation}
注意 $z$ 是 $\mu $ 和 $T$ 的函数（$z = \mathrm{e} ^{\mu/(kT)}$），$\lambda $ 是 $T$ 的函数，所以 $z$ 和 $\lambda $ 在该偏微分中都看做常数。
\begin{equation}
N = - \left( \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right) _{V,T} = kT\frac{V}{\lambda^3} \left( \frac{\partial z}{\partial \mu} \right) _{V,T} = \frac{Vz}{\lambda ^3}
\qquad ( = z{Q_1})~.
\end{equation}
若用上面两式消去 $z/\lambda^3$ 因子，得到理想气体状态方程 $PV = NkT$。
另外，想象在巨正则系综的物理情景中，变化 $T$ 和 $\mu $， 从而使
式 6 中的粒子数保持不变，则 $N$ 不变时 可以看成 $T$ 的函数（而这个函数应该与正则系宗所得到的一样）。由
式 6 得
\begin{equation}
\mu = kT\ln \frac{N\lambda^3}{V}~.
\end{equation}
再测试一下状态方程 $PV = - \Phi$， 得到 $PV = kTzV/\lambda^3$， 这与上面的压强公式（编号）重复，没有新的信息。若把粒子数公式 $N = Vz/\lambda^3$（编号）代入理想气体的巨配分函数 $\Xi = \exp\left(zV/\lambda^3\right) $（编号）以及巨势 $\Phi = - kTzV/\lambda^3$（编号），得到两个个相当简洁的表达式，可以方便记忆
\begin{equation}
\Xi = \exp\left(N\right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\Phi = - NkT~,
\end{equation}
理想气体的熵为
\begin{equation}
\begin{aligned}
S &= - \left( \frac{\partial \Phi}{\partial T} \right) _{V, \mu} = Vk\frac{T}{\lambda^3} \frac{\partial z}{\partial T} + kTz \frac{\partial}{\partial{T}} \left(\frac{T}{\lambda^3} \right) \\
& = Vk\frac{T}{\lambda ^3} \left(-\frac{\mu z}{kT^2} \right) + kTz \frac{\partial}{\partial{T}} \left(\frac{(2\pi mk)^{3/2}T^{5/2}}{h^3} \right) \\
& = - \frac{\mu zV}{T\lambda^3} + kTz\frac52 \frac{(2\pi mkT)^{3/2}}{h^3}
= - \frac{\mu zV}{T\lambda^3} + \frac52 \frac{kTz}{\lambda^3}\\
&= Nk \left(\frac52 - \frac{\mu}{kT} \right) ~.
\end{aligned} \end{equation}
这里得出的熵是 $\mu $ 和 $T$ 的函数（从巨正则系综的物理情景来看，得出的所有结果都应该是预先设定的参数 $\mu $ 和 $T$ 的函数）。
为了和巨正则系综比较，把式 7 代入式 10 ， 即把粒子数人为保持不变，一切看成温度的函数。果然得到了理想气体的熵（Sackur-Tetrode 公式）
\begin{equation}
S = Nk \left(\ln \frac{V}{N \lambda^3} + \frac52 \right) ~.
\end{equation}
4. 理解
巨正则系综法的物理情景是：让系统（体积 $V$）与粒子源（化学势 $\mu $）和热源（温度 $T$）保持平热平衡，由 $\mu $ 和 $T$ 决定粒子数 $N$， 压强 $P$， 能量 $E$ 等等。这与微正则系综或正则系宗的物理情景不一样。但是得到的结论却是一样的。
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