贡献者: DTSIo
1. 隐函数定理的紧凑表述
我们可以将隐函数定理用比较紧凑的形式表达出来. 在如下的版本中, 已知的"隐式关系" 是一个映射, 其中 是 维的, 是 维的, 映射的取值也是 维的. 这样一来, 对于给定的 , 求解隐式方程 就相当于从 个方程求解 个未知量( 的 个分量). 为了这个方程能够求解, 自然期望方程之间需要是"独立"的.
定理 1 隐函数定理
设 是给定的点. 设在某个开集 上定义了映射 , 满足如下条件:
- .
- 对 是连续可微的, 而且雅可比矩阵
是可逆的.
则存在 以及映射 , 使得 , 而且 . 换句话说, 在 的某个邻域内, 给定了 就可以唯一求解 , 从而 确定了一个函数关系.
2. 证明
除了文章多元隐函数的存在定理中给出的归纳证明之外, 还可以用不动点定理给出一个简洁的, 而且是构造性的证明.
如果要求解未知量 的方程 , 就需要对它进行适当的变换, 变成不动点方程的形状. 最简单的变换方式, 就是乘上一个 的常值可逆方阵 , 将方程重写为
那么该选择怎样的方阵 , 才能使得右边(视为 的映射)有不动点呢?
将右边记为 , 其中 接近 , 是已知的. 则 对 的微分是
根据有限增量定理, 我们应该希望 尽可能小, 这样就能保证 是压缩映射. 因此, 最合适的选择当然是
根据定理的条件, 雅可比矩阵 可逆, 所以 是良好定义的; 进一步, 根据定理的条件, 如果 足够地接近 , 那么
式 1 的矩阵范数就会小于 1/2. 因此, 存在 , 使得只要 , , , 就有
因此对于 , 映射 将闭球 映射到它自己, 而且是压缩映射. 根据巴拿赫不动点定理, 它有唯一一个不动点, 而这正是方程 的解. 给定了 后, 解 就唯一确定了, 它当然给出了 的函数. 证毕.
由于巴拿赫不动点定理的证明是由迭代序列给出的, 这个证明实际上给出了隐函数 的近似计算方法: 对于接近 的 , 函数值 由迭代序列
所逼近.
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