隐函数定理的不动点证明

                     

贡献者: DTSIo

预备知识 多元隐函数的存在定理,巴拿赫不动点定理

1. 隐函数定理的紧凑表述

   我们可以将隐函数定理用比较紧凑的形式表达出来. 在如下的版本中, 已知的"隐式关系"F(x,y) 是一个映射, 其中 xn 维的, ym 维的, 映射的取值也是 m 维的. 这样一来, 对于给定的 x, 求解隐式方程 F(x,y)=0 就相当于从 m 个方程求解 m 个未知量(ym 个分量). 为了这个方程能够求解, 自然期望方程之间需要是"独立"的.

定理 1 隐函数定理

   设 (x0,y0)Rn×Rm 是给定的点. 设在某个开集 B(x0,R)×B(y0,R) 上定义了映射 F:URm, 满足如下条件:

  1. F(x0,y0)=0.
  2. F(x,y)y 是连续可微的, 而且雅可比矩阵 Fy(x0,y0)  是可逆的.

   则存在 r<R 以及映射 f:B(x0,r)B(y0,R), 使得 f(x0)=y0, 而且 F(x,f(x))=0. 换句话说, 在 x0 的某个邻域内, 给定了 x 就可以唯一求解 y, 从而 xy 确定了一个函数关系.

2. 证明

   除了文章多元隐函数的存在定理中给出的归纳证明之外, 还可以用不动点定理给出一个简洁的, 而且是构造性的证明.

   如果要求解未知量 y 的方程 F(x,y)=0, 就需要对它进行适当的变换, 变成不动点方程的形状. 最简单的变换方式, 就是乘上一个 m×m 的常值可逆方阵 A, 将方程重写为 y=y+AF(x,y) . 那么该选择怎样的方阵 A, 才能使得右边(视为 y 的映射)有不动点呢?

   将右边记为 Gx(y), 其中 x 接近 x0, 是已知的. 则 Gx(y)y 的微分是

(1)Gx(y)y=Idm+AFy(x,y) .
根据有限增量定理, 我们应该希望 Gx(y)y 尽可能小, 这样就能保证 yGx(y) 是压缩映射. 因此, 最合适的选择当然是 A=(Fy(x0,y0))1 . 根据定理的条件, 雅可比矩阵 F(x0,y0)y 可逆, 所以 A 是良好定义的; 进一步, 根据定理的条件, 如果 (x,y) 足够地接近 (x0,y0), 那么式 1 的矩阵范数就会小于 1/2. 因此, 存在 r<R, 使得只要 |xx0|r, |y1y0|r, |y2y0|r, 就有 |F(x,y1)F(x,y2)|12|y1y2| . 因此对于 xB¯(x0,r), 映射 yGx(y) 将闭球 B¯(y0,r) 映射到它自己, 而且是压缩映射. 根据巴拿赫不动点定理, 它有唯一一个不动点, 而这正是方程 F(x,y)=0 的解. 给定了 x 后, 解 y 就唯一确定了, 它当然给出了 x 的函数. 证毕.

   由于巴拿赫不动点定理的证明是由迭代序列给出的, 这个证明实际上给出了隐函数 y=f(x) 的近似计算方法: 对于接近 x0x, 函数值 y=f(x) 由迭代序列 yk+1=yk(Fy(x0,y0))1F(x,yk)  所逼近.


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