随机变量的数字特征(高中)

             

预备知识 离散型随机变量(高中)

1. 数学期望

   一般地,设一个离散型随机变量 $X$ 所有可能的值是 $x_1,x_2,\cdots,x_n$,这些值对应的概率是 $p_1,p_2,\cdots,p_n$,则

\begin{equation} E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n \end{equation}
叫做这个离散型随机变量 $X$ 的均值数学期望(简称期望).

   离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.

   由数学期望的定义可以知道,若随机变量 $X$ 服从参数为 $p$ 的二点分布,则

\begin{equation} E(X) = 1 \cdot p + 0 \cdot(1 - p) = p \end{equation}

   设离散型随机变量 $X$ 服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布,由 $X$ 的分布列

\begin{equation} P(X = k) = C_n^kp^kq^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n \end{equation}
和数学期望的定义式可得
\begin{equation} \begin{aligned} E(X) &= 0\cdot C_n^0p^0q^n+1\cdot C_n^1p^1q^{n-1}+\cdots +k\cdot C_n^kp^kq^{n-k}+\cdots +n\cdot C_n^np^nq^0 \\ &= np(C_{n-1}^0p^0q^{n-1}+C_{n-1}^1p^1q^{n-1}+\cdots +C_{n-1}^{k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}+\cdots+C_{n-1}^{n-1}p^{n-1}q^0) \\ &= np(p+q)^{n-1} \\ &= np \end{aligned} \end{equation}

   若离散型随机变量 $X$ 服从参数为 $N,M,n$ 的超几何分布,则

\begin{equation} E(X) = \frac{nM}{N} \end{equation}
相关证明在教材(人教 B 版)附录部分,不要求掌握

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利