霍尔效应

贡献者： _Eden_; addis

　　¹1879 年霍尔（E. C. Hall）首先观察到，把一载流导体薄片放在磁场中时，如果磁场方向垂直于薄片平面，则在薄片的上、下两侧面会出现微弱的电势差。这一现象称为霍尔效应（Hall effect）。此电势差称为霍尔电势差。实验测定，霍尔电势差的大小与电流 $I$ 及磁感应强度 $B$ 成正比，而与薄片沿 $B$ 方向的厚度 $d$ 成反比。它们的关系可写成：

\begin{matrix} (1) & V = R_{H} \frac{I B}{d} . \end{matrix}

其中

R_{H}

是霍尔系数（Hall coefficient），等于自由电子电荷量的体密度 $n e$ 的倒数（式 4 ），单个电子的带电量为

- e

。

图 1：霍尔效应示意图（来自维基百科）

1. 半导体中的霍尔效应

　　 1879 年霍耳在研究带电导体在磁场中电学性质时发现了这一效应，后来发现半导体中的霍耳效应比金属大几个数量级。

　　在载流导体材料中，自由电子为 “载流子”²，那么自由电子定向移动在磁场中漂移产生霍尔电压。在一些半导体元件中，载流子还可以是空穴，此时半导体被称为 P 型半导体；与自由电子不同，空穴的带电量为 $+ e$ ，同样可以在电场作用下定向运动，在磁场中漂移产生霍尔电压。以自由电子为载流子的半导体被称为 N 型半导体。

　　 霍尔系数反比于载流子密度，而导体中自由电子的密度比半导体中载流子的密度要大得多，这意味着导体的霍尔效应很不显著，人们一般用半导体作为霍尔元件。

2. 霍尔电阻的推导

　　平衡时电场力与洛伦兹力相等

\begin{matrix} (2) & E e = v B e, \end{matrix}

令

J

为电流密度

J = n e v

\begin{matrix} (3) & E = J B / (n e) . \end{matrix}

两端电压为

\begin{matrix} (4) & V = I B / (d n e), \end{matrix}

霍尔电阻（Hall resistance）

\begin{matrix} (5) & R = V / I = B / (d n e) . \end{matrix}

于是定义

R_{H} = 1 / (n q)

，我们最终得到了

\begin{matrix} (6) & V = R_{H} \frac{I B}{d} . \end{matrix}

　　或者可以对式 5 换一种表达。考虑电阻率 $ρ$ ³，由于霍尔电阻只和材料的厚度 $d$ 有关，和另两条边的长度 $w, L$ 无关，所以可以定义电阻率 $ρ$ 为 $R \equiv ρ / d$ ，

\begin{matrix} (7) & ρ \equiv R d = \frac{B}{n e} . \end{matrix}

那么代入

R = V / I

可以得到

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \frac{ρ}{d} = R = \frac{V}{I} \Rightarrow \frac{ρ I}{d w} = \frac{V}{w}, \\ ρ \cdot J = E, J = \frac{I}{d w} = \frac{I}{S}, E = \frac{V}{w} \end{aligned} \end{matrix}

因此我们利用电阻率、电流密度、电场强度得到了一个更简单的表达式

\begin{matrix} (9) & ρ \cdot J = E . \end{matrix}

假设电流

I

是沿

y

方向，产生的霍尔电压是沿

x

方向，那么

\begin{matrix} (10) & E_{x} = ρ_{x y} J_{y} . \end{matrix}

事实上如果加

x

方向的电流，会产生

- y

方向的霍尔电压，这是因为材料旋转 90 度以后的物理规律一般是不变的。

E_{y} = - ρ_{x y} J_{x} \equiv ρ_{y x} J_{x}

。

ρ_{x y} = - ρ_{y x}

被称为横向的霍尔电阻率。

3. Drude 模型与经典霍尔效应

　　下面我们从 Drude 模型的视角看待经典霍尔效应，并推导出它当对二维材料加 $z$ 方向的磁场时材料的电导率 $σ$ 与电阻率张量 $ρ$ 的理论计算结果。 $σ$ 与 $ρ$ 的定义为

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} J = σ E, σ = (\begin{array}{c} σ_{x x} & σ_{x y} \\ - σ_{y x} & σ_{y y} \end{array}), \\ E = ρ J, ρ = σ^{- 1} = (\begin{array}{c} ρ_{x x} & ρ_{x y} \\ - ρ_{y x} & ρ_{y y} \end{array}), \\ E = (\begin{array}{c} E_{x} \\ E_{y} \end{array}), J = (\begin{array}{c} J_{x} \\ J_{y} \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　霍尔效应表明材料可能存在横向的电阻 $ρ_{x y}$ ，即如果我们通 $x$ 方向的电流，材料 $y$ 方向会产生霍尔电势差。

　　 Drude 模型中，在电场作用的驱动下，材料中的自由电子会往一个方向加速运动，并有一定的几率撞到离子实被弹回。根据式 20 ，我们可以将电子的运动方程改写为

\begin{matrix} (12) & m \frac{d v}{d t} = - e (E + v \times B) - \frac{m v}{τ} . \end{matrix}

其中方程右边的第二项为线性摩擦项，

τ

被称为散射时间，是单个电子相邻两次碰撞间隔的平均时间。可以将上式对所有自由电子求平均，这样

v

理解为材料中自由电子的宏观平均速度，当电场驱动下平均速度不再随时间变化，那么体系达到了平衡态，可以求出平衡状态下材料的电流密度

J = - n e v

与

E

的关系。

\begin{matrix} (13) & e v \times B + \frac{m v}{τ} = - e E . \end{matrix}

设磁场为

z

方向，取电场与电流方向所在的平面为

x y

平面。那么

\begin{matrix} (14) & (\begin{matrix} m / τ & e B \\ - e B & m / τ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - e E_{x} \\ - e E_{y} \end{matrix}) . \end{matrix}

将

J = - n e v

带入，

\begin{matrix} (15) & (\begin{matrix} 1 & e B τ / m \\ - e B τ / m & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} J_{x} \\ J_{y} \end{matrix}) = \frac{n e^{2} τ}{m} (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) . \end{matrix}

定义电子在磁场中的回旋频率为

\begin{matrix} (16) & ω_{B} = \frac{e B}{m} . \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} E = ρ J, ρ = \frac{m}{n e^{2} τ} (\begin{array}{c} 1 & ω_{B} τ \\ - ω_{B} τ & 1 \end{array}), \\ J = σ E, σ = \frac{n e^{2} τ}{m} \frac{1}{1 + ω_{B}^{2} τ^{2}} (\begin{array}{c} 1 & - ω_{B} τ \\ ω_{B} τ & 1 \end{array}), \\ = σ_{D C} \cdot \frac{1}{1 + ω_{B}^{2} τ^{2}} (\begin{array}{c} 1 & - ω_{B} τ \\ ω_{B} τ & 1 \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (18) & σ_{D C} = \frac{n e^{2} τ}{m} . \end{matrix}

为不加磁场时材料的直流电导率，它正比于自由电子密度。电导率张量为对角矩阵，意味着没有横向的电导。

　　从电阻率张量中可以看出，对角元即纵向电阻与磁场的大小无关

\begin{matrix} (19) & ρ_{x x} = ρ_{y y} = \frac{1}{σ_{D C}} . \end{matrix}

而非对角元随着磁场的增大而增大，材料的横向电阻率正比于电导率：

\begin{matrix} (20) & ρ_{x y} = - ρ_{y x} = \frac{1}{σ_{D C}} \cdot ω_{B} τ = \frac{ω_{B} m}{n e^{2}} = \frac{B}{n e} = B R_{H} . \end{matrix}

与式 7 的计算结果一致，横向电阻与磁场的大小成正比。有趣的是我们利用 drude 模型推出的霍尔电阻率与散射时间

τ

无关，霍尔电阻率是材料的某种基本的特征，而且与内部混乱的散射无关！

Drude 模型的局限性

　　当磁场强到一定程度，电子回旋频率 $ω_{B} = e B / m$ 较大，这使电子的回旋半径较小，往往局限在某个小区域内运动。此时电子的量子效应将对材料的性质有许多方面的影响，导致量子霍尔效应⁴等许多新奇物理现象，不再能利用 Drude 模型的经典图像来解释了。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 载流子指可以自由移动的带有电荷的物质微粒。
3. ^ 这里电阻率的定义与式 2 中的纵向电阻的定义不同。
4. ^ 可以参考笔记量子霍尔效应。

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