贡献者： _Eden_; addis
11879 年霍尔（E. C. Hall）首先观察到，把一载流导体薄片放在磁场中时，如果磁场方向垂直于薄片平面，则在薄片的上、下两侧面会出现微弱的电势差。这一现象称为霍尔效应（Hall effect）。此电势差称为霍尔电势差。实验测定，霍尔电势差的大小与电流 $I$ 及磁感应强度 $B$ 成正比，而与薄片沿 $\mathbf B$ 方向的厚度 $d$ 成反比。它们的关系可写成：
\begin{equation}
V = R_{\mathrm{H}} \frac{I B}{d}~.
\end{equation}
其中 $R_H$ 是
霍尔系数（Hall coefficient），等于
自由电子电荷量的体密度 $ne$ 的倒数（式 4 ），单个电子的带电量为 $-e$。
图 1：霍尔效应示意图（来自维基百科）
1. 半导体中的霍尔效应
1879 年霍耳在研究带电导体在磁场中电学性质时发现了这一效应，后来发现半导体中的霍耳效应比金属大几个数量级。
在载流导体材料中，自由电子为 “载流子”2，那么自由电子定向移动在磁场中漂移产生霍尔电压。在一些半导体元件中，载流子还可以是空穴，此时半导体被称为 P 型半导体；与自由电子不同，空穴的带电量为 $+e$，同样可以在电场作用下定向运动，在磁场中漂移产生霍尔电压。以自由电子为载流子的半导体被称为 N 型半导体。
霍尔系数反比于载流子密度，而导体中自由电子的密度比半导体中载流子的密度要大得多，这意味着导体的霍尔效应很不显著，人们一般用半导体作为霍尔元件。
2. 霍尔电阻的推导
平衡时电场力与洛伦兹力相等
\begin{equation}
Ee = vBe~,
\end{equation}
令 $J$ 为电流密度 $J=nev$
\begin{equation}
E = JB/(ne)~.
\end{equation}
两端电压为
\begin{equation}
V = IB/(d n e)~,
\end{equation}
\begin{equation}
R = V/I = B/(d n e)~.
\end{equation}
于是定义 $R_H=1/(nq)$，我们最终得到了
\begin{equation}
V=R_H\frac{IB}{d}~.
\end{equation}
或者可以对式 5 换一种表达。考虑电阻率 $\rho$3，由于霍尔电阻只和材料的厚度 $d$ 有关，和另两条边的长度 $w,L$ 无关，所以可以定义电阻率 $\rho$ 为 $R\equiv\rho /d$，
\begin{equation}
\rho\equiv Rd=\frac{B}{ne}~.
\end{equation}
那么代入 $R=V/I$ 可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{\rho }{d} =R= \frac{V}{I}\Rightarrow \frac{\rho I}{dw}=\frac{V}{w}~,\\
&\rho \cdot J = E,\quad J= \frac{I}{dw}=\frac{I}{S},\quad E=\frac{V}{w}
\end{aligned}
\end{equation}
因此我们利用电阻率、电流密度、电场强度得到了一个更简单的表达式
\begin{equation}
\rho\cdot J=E~.
\end{equation}
假设电流 $I$ 是沿 $y$ 方向，产生的霍尔电压是沿 $x$ 方向，那么
\begin{equation}
E_x = \rho_{xy} J_y~.
\end{equation}
事实上如果加 $x$ 方向的电流，会产生 $-y$ 方向的霍尔电压，这是因为材料旋转 90 度以后的物理规律一般是不变的。$E_y=-\rho_{xy} J_x\equiv \rho_{yx}J_x$。
$\rho_{xy}=-\rho_{yx}$ 被称为横向的霍尔电阻率。
3. Drude 模型与经典霍尔效应
下面我们从 Drude 模型的视角看待经典霍尔效应，并推导出它当对二维材料加 $z$ 方向的磁场时材料的电导率 $\sigma$ 与电阻率张量 $\rho$ 的理论计算结果。$\sigma$ 与 $\rho$ 的定义为
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mathbf{J}} =\sigma \boldsymbol{\mathbf{E}} ,\quad \sigma= \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy}\\
-\sigma_{yx} & \sigma_{yy}
\end{pmatrix}
~,\\
& \boldsymbol{\mathbf{E}} =\rho \boldsymbol{\mathbf{J}} ,\quad \rho = \sigma^{-1} =
\begin{pmatrix}\rho_{xx}&\rho_{xy}\\-\rho_{yx} & \rho_{yy}\end{pmatrix} ~,\\
& \boldsymbol{\mathbf{E}} = \begin{pmatrix}E_x\\ E_y\end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\mathbf{J}} = \begin{pmatrix}J_x\\J_y\end{pmatrix} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
霍尔效应表明材料可能存在横向的电阻 $\rho_{xy}$，即如果我们通 $x$ 方向的电流，材料 $y$ 方向会产生霍尔电势差。
Drude 模型中，在电场作用的驱动下，材料中的自由电子会往一个方向加速运动，并有一定的几率撞到离子实被弹回。根据式 20 ，我们可以将电子的运动方程改写为
\begin{equation}
m \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = -e(E+ \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )-\frac{m \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\tau} ~.
\end{equation}
其中方程右边的第二项为线性摩擦项，$\tau$ 被称为散射时间，是单个电子相邻两次碰撞间隔的平均时间。
可以将上式对所有自由电子求平均，这样 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 理解为材料中自由电子的宏观平均速度，当电场驱动下平均速度不再随时间变化，那么体系达到了平衡态，可以求出平衡状态下材料的电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} =-ne \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 的关系。
\begin{equation}
\quad e \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} + \frac{m \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\tau} = -eE~.
\end{equation}
设磁场为 $z$ 方向，取电场与电流方向所在的平面为 $xy$ 平面。那么
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
m/\tau & {eB}\\
-eB & m/\tau
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-eE_x \\ -eE_y\end{pmatrix}
~.
\end{equation}
将 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} =-ne \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 带入，
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & eB\tau/m \\
-eB\tau/m & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
J_x\\
J_y
\end{pmatrix} =
\frac{ne^2 \tau}{m }
\begin{pmatrix}
E_x\\
E_y
\end{pmatrix}
~.
\end{equation}
定义电子在磁场中的回旋频率为
\begin{equation}
\omega_B=\frac{eB}{m}~.
\end{equation}
那么
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mathbf{E}} =\rho \boldsymbol{\mathbf{J}} ,\quad \rho=\frac{m}{ne^2\tau} \begin{pmatrix}1 & \omega_B\tau \\ -\omega_B\tau & 1\end{pmatrix} ,
\\
& \boldsymbol{\mathbf{J}} =\sigma \boldsymbol{\mathbf{E}} ,\quad \sigma =\frac{ne^2\tau}{m} \frac{1}{1+\omega_B^2\tau^2} \begin{pmatrix}1 & -\omega_B \tau \\ \omega_B \tau & 1\end{pmatrix} ~,\\
&\qquad \qquad\quad =\sigma_{DC} \cdot \frac{1}{1+\omega_B^2\tau^2} \begin{pmatrix}1 & -\omega_B \tau \\ \omega_B\tau &1\end{pmatrix} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\sigma_{DC} = \frac{ne^2\tau}{m}~.
\end{equation}
为不加磁场时材料的直流电导率，它正比于自由电子密度。电导率张量为对角矩阵，意味着没有横向的电导。
从电阻率张量中可以看出，对角元即纵向电阻与磁场的大小无关
\begin{equation}
\rho_{xx}=\rho_{yy}=\frac{1}{\sigma_{DC}} ~.
\end{equation}
而非对角元随着磁场的增大而增大，材料的横向电阻率正比于电导率：
\begin{equation}
\rho_{xy}=-\rho_{yx} = \frac{1}{\sigma_{DC}}\cdot \omega_B\tau=\frac{\omega_B m}{ne^2}=\frac{B}{ne}=BR_H~.
\end{equation}
与
式 7 的计算结果一致，横向电阻与磁场的大小成正比。
有趣的是我们利用 drude 模型推出的霍尔电阻率与散射时间 $\tau$ 无关，霍尔电阻率是材料的某种基本的特征，而且与内部混乱的散射无关！
Drude 模型的局限性
当磁场强到一定程度，电子回旋频率 $\omega_B=eB/m$ 较大，这使电子的回旋半径较小，往往局限在某个小区域内运动。此时电子的量子效应将对材料的性质有许多方面的影响，导致量子霍尔效应4等许多新奇物理现象，不再能利用 Drude 模型的经典图像来解释了。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 载流子指可以自由移动的带有电荷的物质微粒。
3. ^ 这里电阻率的定义与式 2 中的纵向电阻的定义不同。
4. ^ 可以参考笔记量子霍尔效应。
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