导体的静电平衡

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

　　在一类问题中，我们知道各个导体中带有的净电荷或者电势，却不知道具体的分布情况，应该如何求解电荷分布呢？

1. 泊松方程

\begin{matrix} (1) & \nabla \cdot E = ρ / ϵ_{0}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & E = - \nabla V, \end{matrix}

代入得泊松方程

\begin{matrix} (3) & \nabla^{2} V = - ρ / ϵ_{0} . \end{matrix}

由于导体是等势体，而导体外部的空间没有净电荷，所以这相当于对导体外部空间求解边界值为常数的拉普拉斯方程

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} V = 0 . \end{matrix}

若已知导体的电势，那么边界条件已知。若已知导体中的净电荷，由于净电荷只集中于物体表面，所以在表面处有

\begin{matrix} (5) & - \frac{\partial V}{\partial n} = E = σ / ϵ_{0}, \end{matrix}

再进行积分即可得出金属的净电荷。如果只有一块金属，可以先假设金属的

V

为任意常数，解出以后再乘以一个常数使净电荷符合条件即可。

未完成：例题：金属契子

未完成：数值解泊松方程：relaxation method

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