导体的静电平衡

             

  • 本词条处于草稿阶段.

   在一类问题中,我们知道各个导体中带有的净电荷或者电势,却不知道具体的分布情况,应该如何求解电荷分布呢?

1. 泊松方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \rho/\epsilon_0 \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla V \end{equation}
代入得泊松方程
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 V = -\rho/\epsilon_0 \end{equation}
由于导体是等势体,而导体外部的空间没有净电荷,所以这相当于对导体外部空间求解边界值为常数的拉普拉斯方程
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 V = 0 \end{equation}
若已知导体的电势,那么边界条件已知.若已知导体中的净电荷,由于净电荷只集中于物体表面,所以在表面处有
\begin{equation} - \frac{\partial V}{\partial n} = E = \sigma/\epsilon_0 \end{equation}
再进行积分即可得出金属的净电荷.如果只有一块金属,可以先假设金属的 $V$ 为任意常数,解出以后再乘以一个常数使净电荷符合条件即可.

  

未完成:例题:金属契子
未完成:数值解泊松方程:relaxation method

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