机械振动（高中）

贡献者： kahoyip

预备知识　圆周运动，功和机械能

　　物体或物体的一部分在某个位置附近所做的往复运动叫做机械振动，简称振动。

1. 简谐运动

　　由弹簧和小球组成的系统，叫做弹簧振子，有时也简称为振子。弹簧振子是一种理想模型，研究其运动时，小球被视为质点，并忽略弹簧的质量以及运动过程中的阻力。在弹簧振子的运动过程中，系统的机械能守恒。

图 1：弹簧振子

　　图 1 为安置在光滑水平面的弹簧振子，弹簧的一端被固定。弹簧处于自然状态时，小球静止，所受合力为零，此时小球所处的位置叫平衡位置。

　　当沿水平方向拉动（或推动）小球使其偏离平衡位置并释放，小球将在平衡位置的两侧做往复运动（振动）。振动过程中，小球在竖直方向上所受合力为零，在水平方向上受到弹簧弹力 $F$ 的作用。弹力 $F$ 的方向与偏离平衡位置的位移 $x$ 的方向相反，总是指向平衡位置，其作用是将小球拉回平衡位置，这个力 $F$ 叫做回复力。以图 1 向右为正方向，根据胡克定律可知：

\begin{matrix} (1) & F = - k x . \end{matrix}

式中的负号表示回复力的方向与小球偏离平衡位置的位移方向相反。

　　物体在满足式 1 的回复力作用下发生的运动，叫做简谐运动（简谐振动），其位移与时间的关系遵循正弦或余弦函数的规律。简谐运动的位移—时间表达式为：

\begin{matrix} (2) & x = A \cos (ω t + φ_{0}) . \end{matrix}

A

为振幅，表示物体偏离平衡距离的最大距离；

ω

为角频率，表示简谐运动物体振动的快慢；

φ_{0}

为初相位，表示

t = 0

时，简谐运动物体所处的状态。

　　由式 2 可知简谐运动是一个周期性往复运动。振动物体经历 $A$ → $O$ → $A^{'}$ → $O$ → $A$ 这样一个完整的振动过程，叫全振动。

图 2：弹簧振子运动过程的三个特殊位置

表1：一次全振动的物理量变化规律

过程或位置	各物理量的变化情况
$A$	$x$ 向右，达最大值； $F$ 及 $a$ 向左，达最大值； $E_{k}$ 为零， $E_{p}$ 达最大值
$A$ → $O$	$x$ 向右，减小； $F$ 及 $a$ 向左，减小； $v$ 向左，增大； $E_{k}$ 增大， $E_{p}$ 减小
首次经过 $O$	$x$ 、 $F$ 及 $a$ 为零； $v$ 向左，达最大值； $E_{k}$ 达最大值， $E_{p}$ 为零
$O$ → $A^{'}$	$x$ 向左，增大； $F$ 及 $a$ 向右，增大； $v$ 向左，减小； $E_{k}$ 减小， $E_{p}$ 增大
$A^{'}$	$x$ 向左，达最大值； $F$ 及 $a$ 向右，达最大值； $E_{k}$ 为零， $E_{p}$ 达最大值
$A^{'}$ → $O$	$x$ 向左，减小； $F$ 及 $a$ 向右，减小； $v$ 向右，增大； $E_{k}$ 增大， $E_{p}$ 减小
第二次经过 $O$	$x$ 、 $F$ 及 $a$ 为零； $v$ 向右，达最大值； $E_{k}$ 达最大值， $E_{p}$ 为零
$O$ → $A$	$x$ 向右，增大； $F$ 及 $a$ 向左，增大； $v$ 向右，减小； $E_{k}$ 减小， $E_{p}$ 增大

　　 $x$ 为小球偏离平衡位置的位移， $F$ 及 $a$ 分别为小球所受回复力及加速度， $v$ 为小球的运动速度， $E_{k}$ 和 $E_{p}$ 分别对应小球的动能和弹簧的势能。

2. 匀速圆周运动和简谐运动的联系

　　质量为 $m$ 的质点绕点 $O$ 做半径为 $A$ 、角速度为 $ω$ 的匀速圆周运动（图 3 ）， $t = 0$ 时质点与点 $O$ 的连线与 $x$ 轴的夹角为 $φ_{0}$ 。质点相对圆心 $O$ 的位移在 $x$ 轴上的投影为 $x = A \cos (ω t + φ_{0})$ ，可见做匀速圆周运动的质点在直径上的投影的运动是简谐运动。

图 3：匀速圆周运动

　　质点在上述匀速圆周运动的向心加速度大小为 $a = ω^{2} A$ ，向心加速度在 $x$ 轴的投影为 $a_{x} = - ω^{2} A \cos (ω t + φ_{0})$ ，即为简谐运动的加速度，则简谐运动的回复力可表示为

\begin{matrix} (3) & F_{x} = m a_{x} = - m ω^{2} A \cos (ω t + φ_{0}) = - m ω^{2} x . \end{matrix}

　　结合式 1 和式 3 可知，在简谐运动中有

\begin{matrix} (4) & ω^{2} = \frac{k}{m} . \end{matrix}

　　简谐运动的振动周期

\begin{matrix} (5) & T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}} . \end{matrix}

3. 单摆

　　一根质量和伸缩量可以忽略不计的细绳（摆线），上端固定，下端系着一个看作质点的物体（摆球），就构成了一个单摆。单摆是实际摆的理想模型，摆球的运动是以摆线固定点为圆心的变速圆周运动，也是在平衡位置¹两侧的周期性往复振动，运动过程中机械能守恒。

　　单摆运动时的受力分析如图 4 所示，摆球受到了重力和摆线拉力作用。摆线的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力 $T - m g \cos θ$ 提供了摆球做圆周运动的向心力，摆球重力沿圆弧切线方向的分力 $m g \sin θ$ 提供了摆球振动的回复力。

图 4：单摆受力分析

　　当摆角 $θ$ 很小时，有 $\sin θ \approx θ$ ²，摆球的位移大小 $x$ 近似于 $L θ$ ，可得回复力 $F \approx - m g x / L$ ，符合式 1 的形式，此时可把单摆的摆动近似看成简谐运动，将 $k = m g / L$ 代入式 5 可得单摆做简谐运动的周期为

\begin{matrix} (6) & T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} . \end{matrix}

4. 受迫振动和共振

　　从上述内容可以知道，弹簧振子和单摆在不受外力时做简谐运动，其振动周期和频率只与自身的性质有关，这种振动系统不受外力的振动叫做固有振动，对应的振动频率叫做固有频率。

图 5：简谐运动

　　实际的振动会受到阻力的作用，系统因克服阻力做功而消耗机械能，振幅逐渐减小。振幅随时间减小的振动，叫做阻尼振动。阻尼越大，振幅减小得越快，当阻尼过大时，系统将不能发生振动。

图 6：阻尼振动

　　在实际的振动中，为了保持振幅不变，我们通常会给系统施加一个周期性的外界驱动力，由于外界驱动力的作用，系统机械能得以补充，并持续振动。系统在周期性的外界驱动力作用下的振动，叫做受迫振动。当系统所做的受迫振动达稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，与固有频率无关。

　　当驱动力的频率等于系统的固有频率时，系统所做受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振，如音叉共鸣实验所演示的就是声音的共振现象。

未完成：补充受迫振动的驱动力频率与振幅曲线

1. ^ 单摆自然悬挂时摆球的位置，单摆运动过程中的最低点
2. ^ 参考：小角极限（简明微积分）

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。