机械振动(高中)

                     

贡献者: kahoyip

预备知识 圆周运动,功和机械能

   物体或物体的一部分在某个位置附近所做的往复运动叫做机械振动,简称振动

1. 简谐运动

   由弹簧和小球组成的系统,叫做弹簧振子,其中的小球叫做振子.弹簧振子是一种理想模型,研究其运动时,小球被视为质点,并忽略弹簧的质量以及运动过程中的阻力.在弹簧振子的运动过程中,系统的机械能守恒.

图
图 1:弹簧振子

   图 1 为安置在光滑水平面的弹簧振子,弹簧的一端被固定.弹簧处于自然状态时,振子静止,所受合力为零,此时振子所处的位置叫平衡位置

   当沿水平方向拉动(或推动)振子使其偏离平衡位置并释放,振子将在平衡位置的两侧做往复运动(振动).振动过程中,振子在竖直方向上所受合力为零,在水平方向上受到弹簧弹力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的作用.弹力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的方向与偏离平衡位置的位移 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的方向相反,总是指向平衡位置,其作用是将振子拉回平衡位置,这个力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 叫做回复力.以图 1 向右为正方向,根据胡克定律可知:

\begin{equation} F=-kx \end{equation}
式中的负号表示回复力的方向与振子偏离平衡位置的位移方向相反.

   物体在满足式 1 的回复力作用下发生的运动,叫做简谐运动简谐振动),其位移与时间的关系遵循正弦或余弦函数的规律.简谐运动的位移—时间表达式为:

\begin{equation} x=A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \end{equation}
$A$ 为振幅,表示振子偏离平衡距离的最大距离;$\omega$ 为角频率,表示简谐运动物体振动的快慢;$\varphi_0$ 为初相位,表示 $t=0$ 时,简谐运动物体所处的状态.

   由式 2 可知简谐运动是一个周期性往复运动.振子经历 $A$→$O$→$A'$→$O$→$A$ 这样一个完整的振动过程,叫全振动

图
图 2:弹簧振子运动过程的三个特殊位置
表1:一次全振动的物理量变化规律
过程或位置 各物理量的变化情况
$A$ $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 向右,达最大值;$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 及 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 向左,达最大值;$E_k$ 为零,$E_p$ 达最大值
$A$→$O$ $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 向右,减小;$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 及 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 向左,减小;$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 向左,增大;$E_k$ 增大,$E_p$ 减小
首次经过 $O$ $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $、$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 及 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 为零;$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 向左,达最大值;$E_k$ 达最大值,$E_p$ 为零
$O$→$A'$ $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 向左,增大;$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 及 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 向右,增大;$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 向左,减小;$E_k$ 减小,$E_p$ 增大
$A'$ $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 向左,达最大值;$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 及 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 向右,达最大值;$E_k$ 为零,$E_p$ 达最大值
$A'$→$O$ $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 向左,减小;$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 及 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 向右,减小;$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 向右,增大;$E_k$ 增大,$E_p$ 减小
第二次经过 $O$ $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $、$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 及 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 为零;$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 向右,达最大值;$E_k$ 达最大值,$E_p$ 为零
$O$→$A$ $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 向右,增大;$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 及 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 向左,增大;$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 向右,减小;$E_k$ 减小,$E_p$ 增大

   $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 为振子偏离平衡位置的位移,$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 及 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 分别为振子所受回复力及加速度,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 为振子的运动速度,$E_k$ 和 $E_p$ 分别对应振子的动能和弹簧的势能.

2. 匀速圆周运动和简谐运动的联系

   质量为 $m$ 的质点绕点 $O$ 做半径为 $A$、角速度为 $\omega$ 的匀速圆周运动(图 3 ),$t=0$ 时质点与点 $O$ 的连线与 $x$ 轴的夹角为 $\varphi_0$.质点相对圆心 $O$ 的位移在 $x$ 轴上的投影为 $x=A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) $,可见做匀速圆周运动的质点在直径上的投影的运动是简谐运动.

图
图 3:匀速圆周运动

   质点在上述匀速圆周运动的向心加速度大小为 $a=\omega^2 A$,向心加速度在 $x$ 轴的投影为 $a_x=-\omega^2 A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) $,即为简谐运动的加速度,则简谐运动的回复力可表示为

\begin{equation} F_x=ma_x=-m\omega^2 A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) = -m\omega^2 x \end{equation}

   结合式 1 式 3 可知,在简谐运动中有

\begin{equation} \omega^2=\frac km \end{equation}

   简谐运动的振动周期

\begin{equation} T=\frac {2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac mk} \end{equation}

3. 单摆

   一根质量和伸缩量可以忽略不计的细绳(摆线),上端固定,下端系着一个看作质点的物体(摆球),就构成了一个单摆.单摆是实际摆的理想模型,摆球的运动是以摆线固定点为圆心的变速圆周运动,也是在平衡位置1两侧的周期性往复振动,运动过程中机械能守恒.

   单摆运动时的受力分析如图 4 所示,摆球受到了重力和摆线拉力作用.摆线的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力 $T-mg\cos\theta$ 提供了摆球做圆周运动的向心力,摆球重力沿圆弧切线方向的分力 $mg\sin\theta$ 提供了摆球振动的回复力.

图
图 4:单摆受力分析

   当摆角 $\theta$ 很小时,有 $\sin\theta \approx \theta$2,摆球的位移大小 $x$ 近似于 $L\theta$,可得回复力 $F \approx -mgx/L$,符合式 1 的形式,此时可把单摆的摆动近似看成简谐运动,将 $k=mg/L$ 代入式 5 可得单摆做简谐运动的周期为

\begin{equation} T=2\pi\sqrt{\frac Lg} \end{equation}

4. 受迫振动和共振

   从上述内容可以知道,弹簧振子和单摆在不受外力时做简谐运动,其振动周期和频率只与自身的性质有关,这种振动系统不受外力的振动叫做固有振动,对应的振动频率叫做固有频率

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图 5:简谐运动

   实际的振动会受到阻力的作用,系统因克服阻力做功而消耗机械能,振幅逐渐减小.振幅随时间减小的振动,叫做阻尼振动.阻尼越大,振幅减小得越快,当阻尼过大时,系统将不能发生振动.

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图 6:阻尼振动

   在实际的振动中,为了保持振幅不变,我们通常会给系统施加一个周期性的外界驱动力,由于外界驱动力的作用,系统机械能得以补充,并持续振动.系统在周期性的外界驱动力作用下的振动,叫做受迫振动.当系统所做的受迫振动达稳定后,其振动频率等于驱动力的频率,与固有频率无关.

   当驱动力的频率等于系统的固有频率时,系统所做受迫振动的振幅最大,这种现象叫做共振,如音叉共鸣实验所演示的就是声音的共振现象.

  

未完成:补充受迫振动的驱动力频率与振幅曲线


1. ^ 单摆自然悬挂时摆球的位置,单摆运动过程中的最低点
2. ^ 参考:小角正弦极限(简明微积分)


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